2024屆福建省華安縣第一中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)模擬數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?/span>，。所以，或，因此，.故選：D.2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法整理復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型，可得其共軛復(fù)數(shù)，利用模的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故其模為.故選：B.3．已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算圓心到直線距離的表達(dá)式，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】圓圓心為半徑為 點(diǎn)到直線的距離為則弦長(zhǎng)為，得解得故選：D．4．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，，則，得，得，即，得，得，故選：．5．若向量滿足，，，則與的夾角為(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】，求得，由即可求夾角.【詳解】由題可知，，∴，∴向量與的夾角為.故選：C.6．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系對(duì)已知式子化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】由，得，所以，因?yàn)?/span>，所以，，所以，所以，故選：C7．是數(shù)列的前項(xiàng)和，則“數(shù)列為常數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先看充分性，數(shù)列為常數(shù)列可以得到數(shù)列為等差數(shù)列，而數(shù)列為等差數(shù)列，舉一反例即可證明數(shù)列不為常數(shù)列，即可得解.【詳解】若數(shù)列為常數(shù)列，則是公差為的等差數(shù)列；若數(shù)列為等差數(shù)列，例如則數(shù)列不為常數(shù)列．故選：A.8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為的中點(diǎn)，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)．下列敘述正確的是（    ）A．當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角的最大值為B．當(dāng)點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)時(shí)，CN∥平面C．當(dāng)點(diǎn)P在棱上時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離的最小值為D．當(dāng)點(diǎn)時(shí)，滿足平面的點(diǎn)P共有2個(gè)【答案】C【分析】與不可能垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；平移與平面相交于一點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用體積相等即可求出點(diǎn)P到平面的距離的最小值為判斷選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，滿足平面的點(diǎn)P共有1個(gè).當(dāng)點(diǎn)為平面的中心時(shí)，故判斷選項(xiàng)D【詳解】由于線面角的最大值為，與不可能垂直，故直線與平面所成角的最大值達(dá)不到.選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為,連接,相交于點(diǎn)，連接,且故平面,面，故不能與平面平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；到平面的距離始終為，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，故,,故，故選項(xiàng)C正確.當(dāng)點(diǎn)時(shí)，滿足平面的點(diǎn)P共有1個(gè).當(dāng)點(diǎn)為平面的中心時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C. 二、多選題9．設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)和事件的概率公式和條件概率公式逐個(gè)分析求解即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以D正確，故選：ACD10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（    ）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于對(duì)稱C．的最小值為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為，，結(jié)合大致圖象判斷各選項(xiàng)即可求解.【詳解】函數(shù)，，大致圖象如下：    由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；函數(shù)的最小值為，故C正確；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知點(diǎn)?是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（    ）A．與雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．的面積為C．雙曲線的離心率為 D．直線是雙曲線的一條漸近線【答案】BCD【分析】結(jié)合雙曲線的定義和條件可得，然后，然后逐一判斷即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，因?yàn)?/span>，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，所以，所以的面積為，故B正確；由勾股定理得，即，所以，故C正確因?yàn)?/span>，所以，即所以雙曲線的漸近線方程為：，即，即，故D正確故選：BCD12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（    ）．A．當(dāng)時(shí)，B．函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)C．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．對(duì)，恒成立【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求出時(shí)的解析式，可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間及極值，再結(jié)合是奇函數(shù)，可作出函數(shù)在上的大致圖象，從而可逐項(xiàng)判斷B、C、D．【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即故A正確．當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，，又，故函數(shù)在僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在沒(méi)有零點(diǎn)，所以函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，又，故函數(shù)是定義在上有3個(gè)零點(diǎn)．故B錯(cuò)誤．作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故C錯(cuò)誤．由圖可知，對(duì)，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值；同時(shí)也考查函數(shù)的零點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)． 三、填空題13．已知展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為         .【答案】【分析】先通過(guò)得到，再寫(xiě)出的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的次數(shù)為即可得到常數(shù)項(xiàng).【詳解】由的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64得，，則的展開(kāi)式的通式為，令，得所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14．若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，且滿足，則的解析式可以是     .【答案】（答案不唯一）【分析】取，求出函數(shù)的值域，驗(yàn)證成立，即可得出結(jié)果.【詳解】取函數(shù)，因?yàn)?/span>，則，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，，則，所以，函數(shù)的解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.15．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為            ．【答案】【分析】利用貝葉斯公式即可求得答案.【詳解】記事件：車床加工的零件為次品，記事件：第臺(tái)車床加工的零件，則，，，，，，任取一個(gè)零件是次品的概率為如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為.故答案為：.16．已知等差數(shù)列中，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最小值是          【答案】4【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，，將視為一個(gè)數(shù)列，通過(guò)相鄰項(xiàng)比較尋找其單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意等差數(shù)列的公差 ，故，所以，由于，單調(diào)遞減，，所以，從而,故答案為：4 四、解答題17．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2) 【分析】（1）由題意可得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）可得的通項(xiàng)公式，從而得到，再利用裂項(xiàng)相消求和即可．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，整理得，所以，又，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）結(jié)合（1）可得，所以，則，所以18．如圖，在四棱錐中，M為PD的中點(diǎn)，E為AM的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PB上．(1)取DM中點(diǎn)G，設(shè)平面EFG與直線PC交于點(diǎn)H，再?gòu)囊韵聝蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求；條件①：；條件②：∥平面ABCD．(2)若平面底面ABCD，，，，，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)3(2) 【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)和三角形相似得到，，然后利用面面平行的判定定理得到平面∥平面，最后利用面面平行的性質(zhì)定理得到，即可得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量的方法求二面角的余弦值即可.【詳解】（1）條件①：連接，，在中，點(diǎn)和點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，∴，∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，,∴，，∴，∵，平面，平面，∴∥平面，同理可的，∥平面，∵，平面，平面，∴平面∥平面，∵平面平面，平面平面，∴，∵，∴.條件②：在中，點(diǎn)和點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，∴，∵，平面，平面，∴∥平面，∵，平面，平面，∴平面∥平面，∵平面平面，平面平面，∴，∵，∴.（2）作交于，∵平面平面，，∴平面，如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵，，∴，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，，設(shè)平面與平面的銳二面角為，∴.19．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)證明：；(2)若，且的面積為3，求的內(nèi)切圓面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理，利用邊角互換的做題思想，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，可得答案.（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合配方法，代入（1）的等量關(guān)系，建立方程，求得角的余弦，進(jìn)而求得三角形周長(zhǎng)，可得答案.【詳解】（1），由正弦定理，得，，或若，則，顯然不可能，，即，由正弦定理，得，又，.（2）（方法一）的面積為，即，由余弦定理，得，，，整理得，，且，，且，，且，，解得，設(shè)面積為，內(nèi)切圓半徑為，則，的內(nèi)切圓面積為.（方法二）以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正方向，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，  設(shè)，由（1）可知，且，點(diǎn)在焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線：的右支上，.的面積為，解得，代入雙曲線方程，解得，或，易知，且，設(shè)面積為，內(nèi)切圓半徑為，則，的內(nèi)切圓面積為.20．2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中．(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬(wàn)元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．【答案】(1)業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽(2)的取值范圍為：（單位：萬(wàn)元）. 【分析】（1）分別求出第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲或丙與甲進(jìn)行比賽業(yè)余隊(duì)獲勝的概率，比較兩者的大小即可得出答案.（2）由已知萬(wàn)元或萬(wàn)元，分別求其對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范圍.【詳解】（1）第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：;第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：，因?yàn)?/span>，所以，所以.所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.（2）由已知萬(wàn)元或萬(wàn)元.由（1）知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為，專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為，所以，非平局的概率為，平局的概率為.的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（萬(wàn)元）而，所以的取值范圍為：（單位：萬(wàn)元）.21．已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左頂點(diǎn)為D，右焦點(diǎn)為F．（1）求橢圓C的離心率和的面積；（2）已知直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線的垂線，垂足為G，判斷是否存在常數(shù)t，使得直線經(jīng)過(guò)y軸上的定點(diǎn)？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），的面積；（2）存在；．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上求出，進(jìn)而求出，最后求出離心率及三角形的面積；（2）先根據(jù)兩種特殊情況求出定點(diǎn)，從而可以獲得，再證明實(shí)數(shù)時(shí)，使得直線經(jīng)過(guò)y軸上定點(diǎn).【詳解】解：（1）依題意，，解得．因?yàn)?/span>，即，所以，，所以離心率，的面積．（2）由已知，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，交y軸于點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，交y軸于點(diǎn)．若直線經(jīng)過(guò)y軸上定點(diǎn)，則，即，直線交y軸于點(diǎn)．下面證明存在實(shí)數(shù)，使得直線經(jīng)過(guò)y軸上定點(diǎn)．聯(lián)立消y整理，得，設(shè)，．則，．設(shè)點(diǎn)，所以直線的方程：．令，得．因?yàn)?/span>，所以．所以直線過(guò)定點(diǎn)．綜上，存在實(shí)數(shù)，使得直線經(jīng)過(guò)y軸上定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．22．已知函數(shù)．(1)若曲線與直線相切，求實(shí)數(shù)a的值(2)若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)a的取值范圍為或. 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)在切線上和曲線上，結(jié)合對(duì)數(shù)方程即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論即可求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>且設(shè)的圖像與直線相切于，則,所以，所以；（2）的定義域?yàn)?/span>且，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，滿足要求；當(dāng)；由及，得，由及，得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為，因?yàn)楹瘮?shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，所以，所以.綜上所述，a的取值范圍為或.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一般先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定函數(shù)的零點(diǎn)區(qū)間或零點(diǎn)個(gè)數(shù). 

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