一、單選題
1．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定相關(guān)知識(shí)直接求解.
【詳解】命題“”的否定是“”.
故選：C
2．已知集合，，，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)集合與的關(guān)系可以得到或或，排除后兩種情況即可得解.
【詳解】
或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）
故選：B
3．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】利用特殊值法可判斷ABC選項(xiàng)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)，時(shí)，，則A錯(cuò)誤.
當(dāng)，時(shí)，，則B錯(cuò)誤.
當(dāng)，時(shí)，，則C錯(cuò)誤.
由，得，則D正確.
故選：D.
4．已知函數(shù)在處取得極值5，則（ ）
A．B．C．3D．7
【答案】A
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于,的方程組，解出即可．
【詳解】函數(shù)，
則，
因?yàn)樵谔幦O值5，
所以，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.
故.
故選：A
5．已知，，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較與的大小即可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以．
故選：D.
6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》有“分錢(qián)問(wèn)題”如下：今有與人錢(qián)，初一人與三錢(qián)，次一人與四錢(qián)，次一人與五錢(qián)，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢(qián)，與訖，還斂聚與均分之，人得十錢(qián)，問(wèn)人幾何？意思是：將錢(qián)分給若干人，第一人給3錢(qián)，第二人給4錢(qián)，第三人給5錢(qián)，以此類(lèi)推，每人比前一人多給1錢(qián)，分完后，再把錢(qián)收回平均分給各人，結(jié)果每人分得10錢(qián)，則分到錢(qián)的人數(shù)為（ ）
A．10B．15C．105D．195
【答案】B
【分析】由“將錢(qián)分給若干人，第一人給3錢(qián)，第二人給4錢(qián)，第三人給5錢(qián)，以此類(lèi)推，每人比前一人多給1錢(qián)”可知第一人到最后一個(gè)錢(qián)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為3且公差為1等差數(shù)列，可令其為，設(shè)人數(shù)為，由等差數(shù)列求和公式構(gòu)建方程，可得分到錢(qián)的人數(shù).
【詳解】設(shè)共有人，第一人到最后一個(gè)錢(qián)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為3且公差為1等差數(shù)列，
令其為，則……
解得
故選：B.
7．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，對(duì)于任意的，均有，．若在數(shù)列中去掉的項(xiàng)，余下的項(xiàng)組成數(shù)列，則（ ）
A．12010B．12100
C．11200D．11202
【答案】D
【分析】先由與的遞推關(guān)系式推出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)與的通項(xiàng)公式，找出它們相同的項(xiàng)，從而可求的前100項(xiàng)的和.
【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，
所以，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即，可得，
，，，
，，，
，，不合題意，
所以
.
故選：D.
8．已知是可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于恒成立，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，可判斷各選項(xiàng)．
【詳解】設(shè)，則，由已知得，
所以是上的減函數(shù)，
∴，即，
即，，
故選：D．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：需要利用導(dǎo)數(shù)比較函數(shù)值大小時(shí)，常常根據(jù)已知條件構(gòu)造新函數(shù)（如，，，，求導(dǎo)后得出的單調(diào)性，然后由單調(diào)性比較出大?。?br>二、多選題
9．下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式分別檢驗(yàn)各項(xiàng)即可得出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項(xiàng)正確，
故選：AD.
10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再結(jié)合通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式逐項(xiàng)辨析即可.
【詳解】方法一：
∵等差數(shù)列滿足，，
∴由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有，解得，
∴，，
對(duì)于A，，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，，當(dāng)取與最接近的整數(shù)即或時(shí)，最大，∴，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
方法二：
∵等差數(shù)列滿足，
∴，∴
對(duì)于A，，∴，故A正確；
對(duì)于B，，，，∴，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11．在數(shù)列中，，且對(duì)任意不小于2的正整數(shù)n，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．成等比數(shù)列
D．
【答案】BCD
【分析】先求出，然后當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，從而可求得，然后逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以，所以，
所以，所以，
所以
因?yàn)椴粷M足上式，所以，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以B正確，
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，所以成等比數(shù)列，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，所以D正確，
故選：BCD
12．定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是（ ）
A．B．函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)
C．函數(shù)是周期函數(shù)D．
【答案】ACD
【分析】由為奇函數(shù)可得，由取導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合條件可得，判斷B，再由條件判斷函數(shù)，的周期，由此計(jì)算，判斷C，D.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
取可得，A對(duì)，
因?yàn)椋?br>所以，又，即，
，故，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)，
因?yàn)椋?br>所以，為常數(shù)，
因?yàn)?，所以?br>所以，取可得，
所以，又，即，
所以，所以，
所以，故函數(shù)為周期為4的函數(shù)，
因?yàn)?，所以，?br>所以，
所以
，
所以，
故的值為0，D正確；
因?yàn)椋?br>故函數(shù)也為周期為4的函數(shù)，C正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于結(jié)合，，且為奇函數(shù)三個(gè)條件，得到函數(shù)，的周期，利用對(duì)稱(chēng)性和周期性判斷各個(gè)選項(xiàng).
三、填空題
13．已知，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】由于可得，而已知，代入可求得的最小值.
【詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
14．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)結(jié)合題意直接求解
【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，，，
所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等比數(shù)列，
所以．
故答案為：4
15．已知函數(shù)，的最大值為，最小值為，則 .
【答案】
【分析】構(gòu)造，定義判斷奇偶性，利用對(duì)稱(chēng)性有，即可求結(jié)果.
【詳解】令，且，
，
所以為奇函數(shù)，且在上連續(xù)，
根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：在上的最大、最小值關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則，故.
故答案為：
16．已知點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在直線上，則A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值是 ．
【答案】
【分析】分析函數(shù)單調(diào)性得圖象，確定A，B兩點(diǎn)之間距離的最小值的情況，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，從而求得最小距離.
【詳解】由題意可得，令得
所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
所以的圖象如下圖：

要使得A，B兩點(diǎn)之間距離最小，即直線與平行時(shí)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，
與的距離即為A，B兩點(diǎn)之間最小的距離，
令，解得．由，
所以直線的方程為，即
則與的距離的距離，
則A，B兩點(diǎn)之間的最短距離是．
故答案為：．
四、解答題
17．已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)的極值．
【答案】(1)
(2)極小值，無(wú)極大值
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求在處的斜率，進(jìn)而得到切線方程；
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)區(qū)間，再求極值即可.
【詳解】（1）由題知，，，
∴，而，
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2）令得；令得，
∴的單調(diào)減區(qū)間是，的單調(diào)增區(qū)間是．
∴當(dāng)時(shí)，取極小值，無(wú)極大值．
18．不等式的解集是，集合．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)若集合A是B的子集．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意知，且方程的兩個(gè)根為，代入求解即可；
（2）由（1）化簡(jiǎn)集合，再分類(lèi)討論，利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)即可得解.
【詳解】（1）由題意知，且方程的兩個(gè)根為，代入得
，解得.
（2）由（1）知 ，故集合，
于是有，可得，
若，可得，解得；
若， 可得，解得；
若符合條件.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的關(guān)系結(jié)合等差的定義求解即可；
（2）由錯(cuò)位相減法求解即可；
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，?br>所以，，即，，
所以是公差為2的等差數(shù)列．
因?yàn)?，所以?br>（2）．
，①
．②
①②得
，所以．
20．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.
【答案】(1)結(jié)論見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類(lèi)探討的正負(fù)作答.
（2）等價(jià)變形給定等式，結(jié)合時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，由，，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式推理作答.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得則，由得，
若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，而，時(shí)，恒成立，
因此當(dāng)時(shí)，存在且，滿足，
若，則成立；
若，則，記，，
則，
即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，
于是，
而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，
又，則有，則，
所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)問(wèn)題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).

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