專題4.4 對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)（能力提升卷）考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細(xì)分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！一．    選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2022·全國·高一單元測試）已知，，則（    ）A．1 B．2 C．5 D．4【答案】A【分析】先求得，然后結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】∵，，∴，， ．故選：A2．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸，所以，即又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸有交點(diǎn)，所以，所以，故選：D3．（2022·江蘇省南通中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，且，則（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式即可獲解.【詳解】，，，，， ，故選：A4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（    ）A． B．， C．， D．【答案】C【分析】先確定，再轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上為減函數(shù)，且，即可求得的取值范圍.【詳解】解：若，則在區(qū)間上為增函數(shù)，不可能，舍去；若，則在區(qū)間上為減函數(shù)，且,即的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)是奇函數(shù)，若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則的值域?yàn)椋?/span>    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出的定義域，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值，從而得到的定義域，然后利用反函數(shù)的定義，即可求出的值域．【詳解】因?yàn)?/span>，所以可得或，所以的定義域?yàn)?/span>或，因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，解得，所以的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以與互為反函數(shù)，故的值域即為的定義域.故選：.6．（2021·福建·上杭縣第五中學(xué)高三階段練習(xí)）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內(nèi)信號的平均功率S?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（    ）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【分析】根據(jù)題意寫出算式，再利用對數(shù)的換底公式及題中的數(shù)據(jù)可求解.【詳解】將信噪比從1000提升至5000時，C大約增加了.故選：B.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)將化簡為，從而和c比較大小，同理比較a,c的大小關(guān)系，再根據(jù)兩個指數(shù)冪的大小結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可比較a,b大小，即可得答案.【詳解】由題意：，，故．又，即，所以，即，因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，故，即，所以，所以，所以，所以，故選：B.8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，則f（x）（　　）A．是偶函數(shù)，且在 單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在 單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在 單調(diào)遞增【答案】B【分析】先求出的定義域結(jié)合奇偶函數(shù)的定義判斷的奇偶性，設(shè)t＝||，則y＝lnt，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，即可求出答案.【詳解】解：由，得x≠±．又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，∵11．可得內(nèi)層函數(shù)t＝||的圖象如圖，在（﹣∞，），（，+∞）上單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增，又對數(shù)式y＝是定義域內(nèi)的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，f（x）在（，）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，），（，+∞）上單調(diào)遞減．故選：B． 二．    多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y，z滿足3x＝4y＝6z，則下列說法中正確的是（    ）A．＋＝ B．3x＞4y＞6z C．x＋y＞(＋)z D．xy＞2z2【答案】ACD【分析】設(shè)，則，，，分別代入選項(xiàng)中，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則化解，判斷是否正確即可.【詳解】設(shè)，則，，，則，故A正確；由，，，又，，則，故B錯誤；，因此，故C正確；，因此，故D正確；故選：ACD10．（2021·江西省新干中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，則（    ）A．當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為B．當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為C．當(dāng)時，的值域?yàn)?/span>RD．當(dāng)時，的值域?yàn)?/span>【答案】BC【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】令，解得或，故的定義域?yàn)?/span>因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的值域?yàn)?/span>R；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的值域?yàn)?/span>R．故選：BC．11．（2022·貴州·凱里一中高二期中）已知函數(shù)，若（互不相等），則的值可以是（    ）A． B． C．0 D．1【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)變換的知識作出分段函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可判斷得的取值范圍，由此可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>的圖像是由的圖像保留軸上方的圖像，再把軸下方的圖像沿著軸往上翻折得到的圖像，所以分段函數(shù)的圖象如圖，不妨設(shè)，因?yàn)?/span>，所以由關(guān)于對稱可得，又，所以，故的值可以是，故選：BC..12．（2022·海南昌茂花園學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用函數(shù)的圖象，得，且，對A進(jìn)行判斷，利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，對B進(jìn)行判斷，利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合不等式性質(zhì)，對C進(jìn)行判斷，利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合基本不等式求最值，對D進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?/span>，，所以由函數(shù)的圖象知．對于A，，即可得，即，所以A不正確；對于B，因?yàn)?/span>，且，所以．因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的值域是，因此，即，所以B正確；對于C，因?yàn)?/span>，且，所以，因此C正確；對于D，因?yàn)?/span>，且，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而，因此，所以D正確．故選：BCD． 三．    填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（2022·全國·高一單元測試）已知，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】.【分析】分和兩種情況求解即可.【詳解】解：當(dāng)時，由，可得，解得；當(dāng)時，，可得，得，不滿足，故無解.綜上所述a的取值范圍為：.故答案為：.14．（2021·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】先求出函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，設(shè)，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)性和值域，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的單調(diào)性，從而可求出值域.【詳解】解：由題可知，函數(shù)，則，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，設(shè)，，則時，為增函數(shù)，時，為減函數(shù)，可知當(dāng)時，有最大值為，而，所以，而對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，∴函數(shù)的值域?yàn)?/span>.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性，利用“同增異減”求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15．（2021·江蘇·高一單元測試）已知函數(shù)為一次函數(shù)，若，有，當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值之和是_____________．【答案】6【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件求得的值，求得表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，判斷的奇偶性，由此求得的最大值與最小值之和.【詳解】設(shè)，依題意，所以，.，構(gòu)造函數(shù)，，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，在區(qū)間上的最大值和最小值的和為.所以在區(qū)間上的最大值和最小值的和為.故答案為：16．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有6個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，令，結(jié)合圖象可得，方程在內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)根，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得；【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，令，因?yàn)?/span>恰有6個不同的實(shí)數(shù)解，所以在區(qū)間上有2個不同的實(shí)數(shù)解， ，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：． 四．        解答題（共6小題，滿分70分）17．（2021·江蘇·高一單元測試）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；【答案】證明見解析【分析】設(shè)，則，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的互化公式，以及換底公式和對數(shù)的運(yùn)算即可得證.【詳解】設(shè)，則.∴，∴，而，∴，得證.18．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，集合．記集合中最小元素為，集合中最大元素為．(1)求及，的值；(2)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；并用上述結(jié)論比較與的大?。?/span>【答案】(1)，，；(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，再根據(jù)單調(diào)性以及對數(shù)的性質(zhì)即可比較出大?。?/span>（1）因?yàn)?/span>，所以，，即．因?yàn)?/span>，所以，．（2）設(shè)為上任意兩個實(shí)數(shù)，且，則，，，即，所以在上單調(diào)遞增．所以，所以．19．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性并予以證明；（3）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）奇函數(shù)；證明見解析；（3）．【分析】（1）利用對數(shù)的性質(zhì)可得，解不等式即可得函數(shù)的定義域.（2）根據(jù)奇偶性的定義證明的奇偶性即可.（3）由的解析式判斷單調(diào)性，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）要使有意義，則，解得：．∴的定義域?yàn)?/span>.（2）為奇函數(shù)，證明如下：由（1）知： 且，∴為奇函數(shù)，得證．（3）∵在內(nèi)是增函數(shù)，由，∴，解得，∴不等式的解集是.20．（2017·廣東湛江·高一期末）已知．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；（Ⅱ）證明函數(shù)為奇函數(shù)；（Ⅲ）求使＞0成立的x的取值范圍．【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）見解析；（Ⅲ）時， 使的x的取值范圍為（－1，0）；當(dāng)a＞1時，使的x的取值范圍為（0，1）．【詳解】試題分析：（1）有對數(shù)的性質(zhì)，可得，即可求得函數(shù)的定義域；（2）由（1）可知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，化簡的，即可證得函數(shù)為奇函數(shù)；（3）由，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可分和兩種情況分類討論，得到不等式的解集.試題解析：（Ⅰ）解：，∴   解得．  ∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.    （Ⅱ）證明：，且定義域?yàn)椋ǎ?/span>1，1）關(guān)于原點(diǎn)對稱∴ ．∴ 函數(shù)為奇函數(shù)．（Ⅲ）解：當(dāng)a>1時， 由＞0，得，則，，． 時， ．即，解得，∴．綜上可知，時， 使的x的取值范圍為（－1，0）；當(dāng)a＞1時，使的x的取值范圍為（0，1）．點(diǎn)睛：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答涉及到對數(shù)函數(shù)的定義域與值域、函數(shù)的奇偶性的判定與證明、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，本題的解答中熟記對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理分類討論是解答的關(guān)鍵.21．（2022·浙江·寧波中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的定義域；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用對數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的定義域；（2）利用對數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為含參不等式恒成立問題，參變分離后求最值可得答案．【詳解】（1）解：，函數(shù)定義域滿足，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；（2）解：，所以，即因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增所以在上恒成立，又，所以又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以則.22．（2021·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，且．（1）求的值；（2）若令，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）將表示成以為自變量的函數(shù)，并由此求函數(shù)的最大值與最小值及與之對應(yīng)的x的值．【答案】（1）6；（2）；（3），此時；，此時．【分析】（1）根據(jù)題目函數(shù)的解析式，代入計(jì)算函數(shù)值；（2）因?yàn)?/span>，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）根據(jù)換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)取最大值，最小值，接著再求取最值時對應(yīng)的x的值.【詳解】（1）；（2），又，，，所以t的取值范圍為；（3）由，令，，當(dāng)時，，即，解得，所以，此時；當(dāng)時，，即，，此時．【點(diǎn)睛】求函數(shù)最值和值域的常用方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．
 

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