第2課時(shí)　多力平衡問(wèn)題　輕繩、輕桿模型[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.熟練運(yùn)用合成法、效果分解法、正交分解法處理平衡問(wèn)題(重點(diǎn))。2.知道輕繩、輕桿上彈力的區(qū)別，并能分析簡(jiǎn)單的平衡問(wèn)題(重難點(diǎn))。一、多力平衡問(wèn)題1．當(dāng)物體受到不在同一條直線上的多個(gè)共點(diǎn)力時(shí)，一般要采用正交分解法。2．用正交分解法解決平衡問(wèn)題的一般步驟：(1)明確研究對(duì)象，對(duì)物體受力分析。(2)建立坐標(biāo)系：使盡可能多的力落在x、y軸上，這樣需要分解的力比較少，計(jì)算方便。(3)根據(jù)共點(diǎn)力平衡的條件列方程：Fx＝0，Fy＝0。例1　小王同學(xué)在家衛(wèi)生大掃除時(shí)用拖把拖地，依靠拖把對(duì)地面的摩擦力來(lái)清掃污漬。如圖所示，他沿推桿方向?qū)ν习咽┘?/span>40 N的推力，且推桿與水平方向的夾角θ＝37°時(shí)，剛好可以勻速推動(dòng)拖把。已知拖把質(zhì)量為1 kg，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：(1)拖地時(shí)地面對(duì)拖把的支持力；(2)拖把與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。答案　(1)34 N，方向豎直向上　(2)解析　(1)對(duì)拖把受力分析，如圖由于拖把做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則拖把受力平衡，豎直方向有FN＝mg＋Fsin θ代入數(shù)據(jù)，解得FN＝34 N，方向豎直向上；(2)由于拖把水平方向受力平衡，可得Ff＝Fcos θ，Ff＝μFN，代入數(shù)據(jù)，解得μ＝。例2　如圖所示，物體的質(zhì)量m＝4.4 kg，用與豎直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把該物體壓在豎直墻壁上，并使它沿墻壁在豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。物體與墻壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，取重力加速度g＝10 m/s2，求推力F的大小。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)答案　88 N或40 N解析　若物體沿墻壁向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力分析如圖甲所示，Fcos θ＝mg＋Ff①Fsin θ＝FN②Ff＝μFN③聯(lián)立①②③得推力F＝88 N④若物體向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力分析如圖乙所示，Fcos θ＋Ff′＝mg⑤Fsin θ＝FN′⑥Ff′＝μFN′⑦聯(lián)立⑤⑥⑦得推力F＝40 N。⑧例3　如圖所示，重力為G的木塊，恰好能沿傾角為θ的斜面勻速下滑，那么要將木塊沿斜面勻速向上推，必須加多大的水平推力F。答案　見(jiàn)解析解析　未施加水平推力F時(shí)，木塊沿斜面勻速下滑，受力分析如圖甲所示：沿斜面方向有：Gsin θ＝Ff垂直于斜面方向有：FN＝Gcos θ且有Ff＝μFN對(duì)木塊施加水平推力F后，木塊沿斜面勻速向上運(yùn)動(dòng)，受力分析如圖乙所示沿斜面方向有Gsin θ＋Ff′＝Fcos θ垂直斜面方向有FN′＝Gcos θ＋Fsin θ且有Ff′＝μFN′聯(lián)立解得F＝。二、輕繩、輕桿模型如圖所示，AB、BC為輕質(zhì)桿，桿的A、C端通過(guò)鉸鏈與墻連接，兩桿都在B處由鉸鏈相連接，要使物體保持靜止，試分析AB、BC桿能否用等長(zhǎng)的細(xì)繩代替？答案　AB桿對(duì)B點(diǎn)產(chǎn)生的是拉力，當(dāng)用輕繩代替時(shí)效果不變，仍能使裝置平衡；BC桿承受的是壓力，如果使用輕繩代替，裝置將無(wú)法保持平衡。繩對(duì)物體的彈力和桿對(duì)物體的彈力有什么區(qū)別？桿的彈力方向是否一定沿著桿？答案　繩對(duì)物體只能產(chǎn)生拉力作用，桿可以產(chǎn)生拉力，也可以產(chǎn)生支持力。繩的彈力方向一定沿繩，桿的彈力方向不一定沿桿。例4　(多選)一重為4 N的球固定在支桿B的上端，今用一段繩子水平拉球，使桿發(fā)生彎曲，已知繩的拉力為3 N，則AB桿對(duì)球的作用力(　　)A．大小為7 NB．大小為5 NC．方向與水平方向成53°角斜向右下方D．方向與水平方向成53°角斜向左上方答案　BD解析　對(duì)小球進(jìn)行受力分析，如圖所示，繩的拉力FT與重力G的合力F＝＝5 N，sin θ＝＝0.8，得θ＝53°，由平衡條件可知，桿對(duì)球的作用力與F等大反向，故選B、D。例5　如圖甲所示，輕桿OB可繞B點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端O點(diǎn)用細(xì)繩OA拉住，固定在左側(cè)墻壁上，質(zhì)量為m的重物用細(xì)繩OC懸掛在輕桿上的O點(diǎn)，OA與輕桿的夾角∠BOA＝30°，輕桿OB水平。圖乙中水平輕桿OB一端固定在豎直墻壁上，另一端O裝有小滑輪，用一根細(xì)繩跨過(guò)滑輪后懸掛一質(zhì)量為m的重物，圖中∠BOA＝30°，重力加速度為g，求：(1)圖甲中細(xì)繩OA的拉力和輕桿的彈力各是多大？(2)圖乙中細(xì)繩的拉力和輕桿對(duì)滑輪的作用力是多大？答案　(1)2mg　mg　(2)mg　mg解析　(1)由于題圖甲中的輕桿可繞B點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，是轉(zhuǎn)軸桿(“活桿”)，故其受力方向沿桿方向，O點(diǎn)的受力情況如圖a所示，其中FT2＝mg，則O點(diǎn)所受細(xì)繩OA的拉力FT1、輕桿的彈力FN1的合力與細(xì)繩OC的拉力大小相等、方向相反，故FT1＝＝2mg，輕桿的彈力FN1＝＝mg。(2)題圖乙中是用一細(xì)繩跨過(guò)滑輪懸掛重物的，由于O點(diǎn)處是滑輪，它只是改變細(xì)繩中力的方向，并未改變力的大小，且AOC是同一根細(xì)繩，而同一根細(xì)繩上的力處處相等，故圖b中細(xì)繩OA的拉力為FT1′＝FT2′＝mg。由于桿OB不可轉(zhuǎn)動(dòng)，所以輕桿所受彈力的方向不一定沿OB方向，輕桿對(duì)滑輪的作用力FN2一定與兩根細(xì)繩的合力FN2′大小相等、方向相反，FN2＝FN2′＝2mgcos 60°＝mg，即輕桿對(duì)滑輪的作用力大小為mg。1．甲圖中繩OA和繩OC屬于兩根繩，兩繩上的拉力大小不一定相等。乙圖中是一根繩繞過(guò)滑輪或光滑物體，這兩段繩(OA段與OC段)上的拉力一定相等。2．甲圖中輕桿可以繞B點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，是“活桿”(也稱“鉸鏈”)，其受力方向沿桿方向。乙圖中輕桿固定于墻上，是“定桿”，其受力方向不一定沿桿方向。課時(shí)對(duì)點(diǎn)練考點(diǎn)一　多力平衡1．(2022·貴州省高一期中)下列四種情形中，作用在同一物體上的力F大小均相同，物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)，則物體對(duì)水平地面壓力最大的是(　　)答案　C解析　對(duì)各圖物體進(jìn)行受力分析，在水平方向和豎直方向上進(jìn)行正交分解，由平衡條件和幾何關(guān)系可知，四種情況下，地面對(duì)物體的支持力大小分別為FN1＝mgFN2＝mg－Fsin 30°FN3＝mg＋Fsin 30°FN4＝mg－F由牛頓第三定律可知，物體對(duì)水平地面壓力與水平地面對(duì)物體的支持力大小相等，因此C圖中物體對(duì)水平地面的壓力最大，故選C。2．(2023·福州市高一期中)冰壺運(yùn)動(dòng)可以考驗(yàn)參與者的體能與腦力，展現(xiàn)動(dòng)靜之美，取舍之智慧，現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)員推動(dòng)冰壺滑行過(guò)程建立如圖所示模型，運(yùn)動(dòng)員對(duì)質(zhì)量為m的冰壺施加與水平方向夾角為θ的推力F，使冰壺在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．冰壺受到的摩擦力大小為Fcos θB．冰壺受到的摩擦力大小為μ(mg＋Fcos θ)C．冰壺受到的支持力大小為mgD．冰壺對(duì)冰面的壓力大小為Fsin θ答案　A解析　冰壺受力分析如圖所示由此可知，冰壺受到的支持力為FN＝mg＋Fsin θ，根據(jù)牛頓第三定律可知，冰壺對(duì)冰面的壓力大小為FN′＝mg＋Fsin θ，C、D錯(cuò)誤；根據(jù)滑動(dòng)摩擦力的計(jì)算公式可得Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsin θ)，又因?yàn)楸鶋卦谒矫嫔献鰟蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，由平衡條件可得Ff＝Fcos θ，A正確，B錯(cuò)誤。3.(2022·運(yùn)城市高一期末)解放軍戰(zhàn)士往往通過(guò)拖拉廢舊輪胎鍛煉全身肌肉。如圖所示，某戰(zhàn)士拉動(dòng)一質(zhì)量為m的輪胎沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，輪胎與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，繩與水平方向的夾角為30°，重力加速度為g，則繩的拉力大小為(　　)A.   B.C.   D.答案　A解析　設(shè)繩的拉力為F，根據(jù)平衡條件Fcos 30°＝μ(mg－Fsin 30°)，解得F＝，故A正確。4．(2022·湖南隆回縣高一期末)甲、乙兩人在比較滑的水平地面上拔河，甲身材高瘦，乙身材矮胖，兩人力氣差不多，體重也差不多，穿相同材料的鞋子，則(　　)A．甲贏的概率大B．乙贏的概率大C．力氣大的肯定贏D．兩人對(duì)繩子的拉力一樣大，因此贏的概率相同答案　A解析　兩個(gè)人之間的拉力屬于作用力與反作用力，總是大小相等，方向相反；分別對(duì)兩個(gè)人進(jìn)行受力分析如圖由受力分析圖可知，在兩個(gè)人的體重相差不多的情況下，甲受到的拉力斜向下，所以甲受到的支持力大于其重力，而乙受到的拉力斜向上，所以乙受到的支持力小于其重力，由于二人穿相同材料的鞋子，可知甲與地面之間的最大靜摩擦力大于乙與地面之間的最大靜摩擦力，所以甲贏的概率大，與二人力氣的大小無(wú)關(guān)，故選A。5.(2022·連云港市高一期末)如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的箱子，在平行于斜面的拉力F作用下，沿傾角為θ的斜面勻速上滑。已知箱子與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則F的大小為(　　)A．mgsin θ   B．mgcos θC．mgsin θ＋μmgcos θ   D．mgsin θ－μmgcos θ答案　C解析　箱子向上勻速運(yùn)動(dòng)，則受力平衡，對(duì)箱子受力分析，沿斜面方向有F＝mgsin θ＋μFN，垂直斜面方向有FN＝mgcos θ，聯(lián)立兩式解得F＝mgsin θ＋μmgcos θ，故選C。考點(diǎn)二　輕繩、輕桿模型6.(2023·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試)如圖所示，在水平天花板的A點(diǎn)處固定一根輕桿a，桿與天花板保持垂直，桿的下端有一個(gè)輕滑輪O。另一根細(xì)線上端固定在該天花板的B點(diǎn)處，細(xì)線跨過(guò)滑輪O，下端系一個(gè)重為G的物體，BO段細(xì)線與天花板的夾角為θ＝30°。系統(tǒng)保持靜止，不計(jì)一切摩擦。下列說(shuō)法中正確的是(　　)A．細(xì)線BO對(duì)天花板的拉力大小為3GB．a桿和細(xì)線對(duì)滑輪的合力大小為2GC．a桿對(duì)滑輪的作用力大小為1.8GD．a桿對(duì)滑輪的作用力大小為G答案　D解析　由于O點(diǎn)是輕滑輪，細(xì)線上的彈力處處相等，因此細(xì)線BO對(duì)天花板的拉力大小為G，故A錯(cuò)誤；滑輪處于平衡狀態(tài)，a桿和細(xì)線對(duì)滑輪的合力大小為零，故B錯(cuò)誤；兩段細(xì)線上彈力均為G，彈力的合力為2Gsin 30°＝G，則a桿對(duì)滑輪的作用力大小為G，故C錯(cuò)誤，D正確。7．(多選)(2022·安陽(yáng)市高二期末)圖甲中輕桿OA的A端固定在豎直墻壁上，另一端O光滑，一端固定在豎直墻壁B點(diǎn)的細(xì)線跨過(guò)O端系一質(zhì)量為m的重物，OB水平；圖乙中輕桿O′A′可繞A′點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端O′光滑，一端固定在豎直墻壁B′點(diǎn)的細(xì)線跨過(guò)O′端系一質(zhì)量也為m的重物。已知圖甲中∠BOA＝30°，以下說(shuō)法正確的是(　　)A．圖甲輕桿中彈力大小為mgB．圖乙輕桿中彈力大小為mgC．圖甲中輕桿中彈力與細(xì)線OB中拉力的合力方向一定沿豎直方向D．圖乙中輕桿A′O′的力沿A′O′方向答案　ACD解析　由于圖甲輕桿OA為“定桿”，其O端光滑，可以視為活結(jié)，兩側(cè)細(xì)線中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡條件可知，圖甲輕桿中彈力大小為F甲＝2mgcos 45°＝mg，故A正確。圖乙中輕桿O′A′可繞A′點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，為“動(dòng)桿”，另一端O′光滑，可以視為活結(jié)，O′兩側(cè)細(xì)線中拉力大小相等，“動(dòng)桿”中彈力方向沿“動(dòng)桿”方向，“動(dòng)桿”O′A′中彈力大小等于O′兩側(cè)細(xì)線中拉力的合力大小，兩細(xì)線夾角不確定，輕桿中彈力大小無(wú)法確定，故B錯(cuò)誤，D正確。根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，圖甲中輕桿彈力與細(xì)線OB中拉力的合力方向一定與豎直細(xì)線的拉力方向相反，即豎直向上，故C正確。8．(2022·重慶市育才中學(xué)高一期末)圖甲為家庭常用的燃?xì)庠顚?shí)物圖，灶面上有一個(gè)支架。共有4個(gè)均勻分布的支撐面，對(duì)放在上面的廚具起到支撐作用。現(xiàn)把一個(gè)高壓鍋放在支架上，并抽象成示意圖乙，已知支架的每個(gè)支撐面與水平方向夾角α＝37°。高壓鍋和里面的食物總質(zhì)量為4.8 kg。則每個(gè)支撐面給高壓鍋的支持力為(忽略高壓鍋和支撐面之間的摩擦力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)A．12 N   B．15 NC．20 N   D．48 N答案　B解析　設(shè)每個(gè)支撐面給高壓鍋的支持力的豎直分量為F，F＝mg＝12 N，由平衡條件可得，FN＝，解得FN＝15 N，B正確。9.(2022·廣州市八校期末聯(lián)考)如圖所示，質(zhì)量為m的木塊在與水平方向成α角的推力F(大小未知)作用下，沿豎直墻壁向上勻速運(yùn)動(dòng)。已知木塊與墻壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g。求：(1)推力F的大小；(2)若將推力的方向改為豎直向上推動(dòng)木塊，且木塊仍做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則推力F′為多大。答案　(1)　(2)mg解析　(1)以木塊為研究對(duì)象，木塊受到重力、支持力、推力和摩擦力作用，受力情況如圖所示。水平方向：FN＝Fcos α，豎直方向：Fsin α＝mg＋Ff，又：Ff＝μFN，聯(lián)立解得：F＝。(2)若將推力的方向改為豎直向上推動(dòng)木塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，木塊只受重力和推力，根據(jù)平衡條件可得：F′＝mg。10．(2022·山東省青島第一中學(xué)高一期末)繩OC與豎直方向成30°角，O為質(zhì)量不計(jì)的光滑滑輪，已知物體B質(zhì)量為100 kg，物體A質(zhì)量為20 kg，物體A和B均靜止，g＝10 m/s2，求：(1)物體B所受地面的摩擦力和支持力分別為多大？(2)OC繩的拉力為多大？答案　(1)100 N　900 N　(2)200 N解析　(1)由于物體A保持靜止，故有FT＝mAg＝200 N對(duì)物體B受力分析，受重力、拉力、支持力和靜摩擦力，如圖所示繩OC與豎直方向成30°角，根據(jù)幾何關(guān)系可知繩OB與水平方向夾角為30°，由平衡條件可得FN＋FTsin 30°＝mBgFTcos 30°＝Ff代入數(shù)據(jù)解得FN＝900 N，Ff＝100 N(2)對(duì)滑輪受力分析，受三個(gè)拉力，如圖所示根據(jù)平衡條件有FTOC＝2FTcos 30°＝200 N。11．(2023·蘇州市高一期末)如圖所示，三段不可伸長(zhǎng)的輕繩OA、OB、OC共同懸掛一質(zhì)量為m1＝1.2 kg的甲物體，地面上固定有一傾角θ＝37°的粗糙斜面，輕繩OA沿水平方向，輕繩OC平行于斜面，且C端與放置在斜面上的質(zhì)量為m2＝50 kg的乙物體相連，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)均處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度取g＝10 m/s2，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求：(1)輕繩OA、OC的拉力大小；(2)乙物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ至少為多大。答案　(1)16 N　20 N　(2)0.8解析　(1)對(duì)結(jié)點(diǎn)O進(jìn)行受力分析，受到三段繩子的拉力如圖所示對(duì)甲物體可得FTB＝m1g＝12 N根據(jù)幾何關(guān)系可得FTA＝＝ N＝16 NFTC＝＝ N＝20 N(2)對(duì)乙受力分析如圖，恰好不滑動(dòng)時(shí)由力的平衡條件可得m2gsin 37°＋FTC′＝Ff最大靜摩擦力Ff＝μFN，支持力FN＝m2gcos 37°聯(lián)立解得μ＝0.8。

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5 共點(diǎn)力的平衡

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