1.5   全稱量詞與存在量詞 思維導(dǎo)圖 新課標(biāo)要求1.全稱量詞與存在量詞通過已知的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義。2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定①能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進(jìn)行否定。②能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進(jìn)行否定。 知識梳理1.短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．全稱命題“對中任意一個，有成立”，記作“，”．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．特稱命題“存在中的一個，使成立”，記作“，”．2.全稱命題：，，它的否定：，。全稱命題的否定是特稱命題。特稱命題：，，它的否定：，。特稱命題的否定是全稱命題。  名師導(dǎo)學(xué)知識點1    全稱命題、特稱命題的判斷1.判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的方法判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關(guān)鍵是看量詞．由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達(dá)的意義判斷，同時要會用相應(yīng)的量詞符號正確表達(dá)命題．2.判斷一個命題為真命題應(yīng)給出證明，判斷一個命題為假命題只需舉出反例，具體而言(1)要判定一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合內(nèi)找到一個元素x，使p(x)成立即可，否則命題為假．(2)要判定一個全稱量詞命題為真，必須對給定集合內(nèi)的每一個元素x，p(x)都成立，但要判定一個全稱量詞命題為假時，只要在給定的集合內(nèi)找到一個x，使p(x)不成立即可．【例1-1】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）下列命題中為全稱量詞命題的是（     ）A．有些實數(shù)沒有倒數(shù)B．矩形都有外接圓C．存在一個實數(shù)與它的相反數(shù)的和為0D．過直線外一點有一條直線和已知直線平行【例1-2】（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）用量詞符號“?”“?”表示下列命題，并判斷真假．（1）實數(shù)都能寫成小數(shù)形式；（2）存在實數(shù)m，n，使m－n＝1.            【變式訓(xùn)練1-1】（2021·廣東·華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校高一階段練習(xí)）下列命題為存在量詞命題的是（       ）A．某些二次函數(shù)的圖象與軸有交點B．正方體都是長方體C．不平行的兩條直線都是相交直線D．存在實數(shù)大于或等于2【變式訓(xùn)練1-2】（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題．（1）有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù)；（2）所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；（3）負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；（4）每一個多邊形的外角和都是360°.                           知識點2    全稱量詞命題與存在量詞命題的否定全稱量詞命題否定的關(guān)注點(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，．(2)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，對省略全稱量詞的全稱量詞命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定．存在量詞命題否定的關(guān)注點(1)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞．即p：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，．(2)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，對省略存在量詞的存在量詞命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定．【例2-1】（2022·江蘇南通·高一期末）命題“，”的否定是（       ）A．， B．，C．， D．，【例2-2】（2022·浙江浙江·高一期中），的否定是___________．【變式訓(xùn)練2-1】（2022·安徽阜陽·高一期中）命題“，都有”的否定是（       ）A．，都有 B．，都有C．，使得 D．， 使得【變式訓(xùn)練2-2】（2021·湖北孝感·高一期中）命題“，”的否定是（       ）A．， B．，C．， D．，【變式訓(xùn)練2-3】（2021·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高一階段練習(xí)）寫出下列命題p的否定，并判斷其真假.(1)p：，.(2)p：不論m取何實數(shù)，方程必有實數(shù)根.(3)p：有的三角形的三條邊相等.(4)p：等腰梯形的對角線垂直．     知識點3    全稱量詞命題與存在量詞命題的綜合應(yīng)用（難點）1.依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍問題的求解方法(1)首先根據(jù)全稱量詞和存在量詞的含義透徹地理解題意．(2)其次根據(jù)含量詞命題的真假把命題的真假問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系或函數(shù)的最值問題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)的取值范圍．2.求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略(1)對于全稱量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問題，實質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．(2)對于存在量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問題，實質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 【例3-1】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?，若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍．     延伸探究1．把本例中命題p改為“?x∈A，x∈B”，求m的取值范圍．     2．把本例中的命題p改為“?x∈A，x∈B”，是否存在實數(shù)m，使命題p是真命題？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．      【例3-2】已知命題p：?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求實數(shù)m的取值范圍．       延伸探究1．把本例中的條件變?yōu)椋?/span>“存在實數(shù)x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求實數(shù)m的取值范圍．        2．把本例中的條件“?x∈R”改為“?x≥1”，求實數(shù)m的取值范圍．      【變式訓(xùn)練3-1】（2021·安徽·涇縣中學(xué)高一階段練習(xí)）已知“”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3-2】（2021·廣東·廣州市培英中學(xué)高一階段練習(xí)）已知命題，，若命題是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-3】（多選）（2021·江西·高一期中）命題，是假命題，則實數(shù)b的值可能是（       ）A． B． C． D． 【變式訓(xùn)練3-4】2021·河北·承德市雙灤區(qū)實驗中學(xué)高一期中）解答：(1)已知命題p：“，”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)已知命題q：“滿足，使”為真命題，求實數(shù)a的范圍.        【變式訓(xùn)練3-5】（2021·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第九中學(xué)高一階段練習(xí)）從兩個符號“”“”中任選一個填寫到①的位置，并完成下面的問題.已知集合，，若命題：①，則是真命題，求m的取值范圍.           名師導(dǎo)練A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．（2021·山東臨沂·高一期中）下列命題中，是全稱量詞命題的是（       ）A．，B．當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)C．存在平行四邊形的對邊不平行D．平行四邊形都不是正方形2．（2022·安徽·高一期中）已知命題，則的否定為（       ）A．                 B． C．                 D．3．（2021·河南南陽·高一階段練習(xí)）下列命題中，是全稱命題又是真命題的是（       ）A．對任意的，都有B．菱形的兩條對角線相等C．，D．一次函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)4．（2021·遼寧·高一期末）已知命題：“，方程有解”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（       ）A． B． C． D．5．（多選）（2021·河南·范縣第一中學(xué)高一期中）下列命題中，是全稱量詞命題的有（       ）A．至少有一個x使x2＋2x＋1＝0成立B．對任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．對任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立6．（多選）（2021·湖南·長郡中學(xué)高一期中）下列命題中，是存在量詞命題且為假命題的有(       )A．， B．有的矩形不是平行四邊形C．， D．，7．（多選）（2021·湖南·長沙一中高一期中）下列命題中正確的是（       ）A．已知集合滿足命題“”為真命題，則B．已知集合滿足命題“”為真命題，則C．已知集合滿足命題“”為真命題，則D．已知集合滿足命題“”為假命題，則8．（2021·全國·高一課時練習(xí)）下列語句是全稱量詞命題的是______（填序號）．①有的無理數(shù)的平方是有理數(shù)；②有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)；③對于任意，是奇數(shù)；④存在，是奇數(shù)．9．（2022·廣東茂名·高一期中）命題“，”的否定是___________．10．（2022·貴州銅仁·高一期末）若命題“是假命題”，則實數(shù)的取值范圍是___________.11．（2021·全國·高一課時練習(xí)）指出下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假。(1)若，則是偶數(shù)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，任一有序?qū)崝?shù)對都對應(yīng)一點；(3)存在一個實數(shù)x，使得；(4)至少有一個，使x能同時被2和3整除．          12．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）用量詞符號“”、“”表示下列命題，并判斷下列命題的真假．（1）任意實數(shù)都有，；（2）存在實數(shù)，；（3）存在一對實數(shù)、，使成立；（4）有理數(shù)的平方仍為有理數(shù)；（5）實數(shù)的平方大于：（6）有一個實數(shù)乘以任意一個實數(shù)都等于．        13．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知集合，，且．(1)若命題：“，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若命題：“，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍。               B組-[素養(yǎng)提升]1．（2022·江蘇·高一）已知命題，是假命題，則的取值范圍為（       ）A． B．C．或 D．或2．（2021·全國·高一單元測試）一學(xué)校開展小組合作學(xué)習(xí)模式，高二某班某組王小一同學(xué)給組內(nèi)王小二同學(xué)出題如下：若“，”是假命題，求m的取值范圍．王小二略加思索，反手給了王小一一道題：若“，”是真命題，求m的取值范圍．你認(rèn)為，兩位同學(xué)題中m的取值范圍是否一致？并說明理由．        3．（2021·江蘇·高一單元測試）已知集合，，（1）若，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

1.5 全稱量詞與存在量詞

版本： 人教A版 (2019)

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