1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＞0?a＞b?a，b∈R?，,a－b＝0?a＝b?a，b∈R?，,a－b＜0?a＜b?a，b∈R?；))
(2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＞1?a＞b?a∈R，b＞0?，,\f(a,b)＝1?a＝b?a∈R，b＞0?，,\f(a,b)＜1?a＜b?a∈R，b＞0?.))
2．不等式的性質(zhì)
(1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c；(單向性)
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性)
(4)加法法則：a>b，c>d?a＋c>b＋d；(單向性)
(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；(單向性)
a>b，c0，c>d>0?ac>bd；(單向性)
(7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；(單向性)
(8)開方法則：a>b>0?eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n≥2，n∈N)；(單向性)
3．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系
eq \([常用結(jié)論])
1．有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)
若a＞b＞0，m＞0，則
(1)eq \f(b,a)＜eq \f(b＋m,a＋m)；eq \f(b,a)＞eq \f(b－m,a－m)(b－m＞0)；
(2)eq \f(a,b)＞eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)＜eq \f(a－m,b－m)(b－m＞0)．
2．有關(guān)倒數(shù)的性質(zhì)
a＞b，ab＞0?eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
3．a(chǎn)＞b＞0,0＜c＜d?eq \f(a,c)＞eq \f(b,d).
4．簡單的分式不等式
(1)eq \f(f?x?,g?x?)≥0?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f?x?·g?x?≥0，,g?x?≠0；))
(2)eq \f(f?x?,g?x?)＞0?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f?x?g?x?＞0，,g?x?≠0.))
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)a>b?ac2>bc2.( )
(2)a>b>0，c>d>0?eq \f(a,d)>eq \f(b,c).( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c0.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改編)下列四個(gè)結(jié)論，正確的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cb>0?eq \r(3,a)>eq \r(3,b)；
④a>b>0?eq \f(1,a2)>eq \f(1,b2).
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正確；對于②，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知acb>0可知a2>b2>0，所以eq \f(1,a2)y>0，則( )
A.eq \f(1,x)－eq \f(1,y)>0 B．sin x－sin y>0
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))y0
C [函數(shù)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x>y>0時(shí)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x0?eq \f(1,x)0時(shí)，不能比較sin x與sin y的大小，故B錯(cuò)誤；x>y>0?xy>0eq \(?,/)ln(xy)>0eq \(?,/)ln x＋ln y＞0，故D錯(cuò)誤．]
3．若a＝20.6，b＝lgπ3，c＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,5)))，則( )
A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
A [因?yàn)閍＝20.6＞20＝1，又lgπ1＜lgπ3＜lgππ，所以0＜b＜1，c＝lg2sineq \f(2π,5)＜lg21＝0，于是a＞b＞c.故選A.]
4．已知角α，β滿足－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，0＜α＋β＜π，則3α－β的范圍是________．
(－π，2π) [設(shè)3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,n－m＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝1，))
從而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，
又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π，
∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.]
[規(guī)律方法] 利用不等式的性質(zhì)判斷正誤及求代數(shù)式的范圍的方法
?1?利用不等式的范圍判斷正誤時(shí)，常用兩種方法：
一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.
?2?比較大小常用的方法
①作差?商?法：作差?商??變形?判斷，
②構(gòu)造函數(shù)法：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，
③中間量法：利用中間量法比較兩式大小，一般選取0或1作為中間量.
?3?由a

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