1.與等差數(shù)列的定義、性質(zhì)相類比，考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合具體問(wèn)題的計(jì)算，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相結(jié)合，考查等比數(shù)列的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識(shí)]
1．等比數(shù)列的概念
(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：eq \f(an,an－1)＝eq \a\vs4\al(q)(n≥2，q為非零常數(shù))．
(2)如果三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，其中G＝±eq \r(ab).
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；
通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
(1)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為eq \a\vs4\al(qm).
(2)若{an}，{bn}是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．
(3)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(4)當(dāng)q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為eq \a\vs4\al(qn).
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(求公比)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，則公比q等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－2
C．2 D.eq \f(1,2)
解析：選D 由題意知q3＝eq \f(a5,a2)＝eq \f(1,8)，即q＝eq \f(1,2).
2．(項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用)已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2·a4＝16，S3＝7，則a8＝( )
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：選C ∵a2·a4＝aeq \\al(2,3)＝16，∴a3＝4(負(fù)值舍去)，①
又S3＝a1＋a2＋a3＝eq \f(a3,q2)＋eq \f(a3,q)＋a3＝7，②
聯(lián)立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－eq \f(2,3)或q＝2，
∵an>0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128.
3．(前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
解析：選C 由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(忽視判斷項(xiàng)的符號(hào))在等比數(shù)列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的兩根，則a5的值是( )
A．－2 B．－eq \r(2)
C．±eq \r(2) D.eq \r(2)
解析：選B 根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得a3＋a7＝－4，
a3a7＝2，由a3＋a7＝－40，
得a30.
因?yàn)镾8－2S4＝5，所以S8－S4＝5＋S4，
易知S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
所以S12－S8＝eq \f(?S4＋5?2,S4)＝eq \f(25,S4)＋S4＋10≥2eq \r(\f(25,S4)·S4)＋10＝20(當(dāng)且僅當(dāng)S4＝5時(shí)取等號(hào))．
因?yàn)镾12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12，
所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值為20.
創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向
1．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．” 今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說(shuō)：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說(shuō)：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是( )
A．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且a＝eq \f(50,7)
B．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且c＝eq \f(50,7)
C．a(chǎn)，b，c依次成公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，且a＝eq \f(50,7)
D．a(chǎn)，b，c依次成公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，且c＝eq \f(50,7)
解析：選D 由題意可知b＝eq \f(1,2)a，c＝eq \f(1,2)b，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(c,b)＝eq \f(1,2).
∴a，b，c成等比數(shù)列且公比為eq \f(1,2).
∵1斗＝10升，
∴5斗＝50升，
∴a＋b＋c＝50，
又易知a＝4c，b＝2c，∴4c＋2c＋c＝50，
∴7c＝50，∴c＝eq \f(50,7)，故選D.
2．(2021·湖北省部分重點(diǎn)期中聯(lián)考)我國(guó)明代著名樂(lè)律學(xué)家朱載堉在《律學(xué)新說(shuō)》中提出的十二平均律，即現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個(gè)八度音程從一個(gè)c1鍵到下一個(gè)c2鍵的8個(gè)白鍵與5個(gè)黑鍵(如圖)的音頻恰好構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列的原理，c2的頻率正好是c1的2倍．已知標(biāo)準(zhǔn)音a1的頻率為440 Hz，那么頻率為220 eq \r(2) Hz的音名是( )
A．d1 B．f1
C．e1 D.d1
解析：選D 一個(gè)八度音程從一個(gè)c1鍵到下一個(gè)c2鍵的8個(gè)白鍵與5個(gè)黑鍵的音頻恰好構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，記為數(shù)列{mn},1≤n≤13，設(shè)其公比為q.
又c2的頻率正好是c1的2倍，所以2m1＝m1q12，
解得q＝2 SKIPIF 1 < 0 .
故從g1起向左，每一個(gè)單音的頻率與它右邊相鄰的單音的頻率的比為eq \f(1,q)＝2 SKIPIF 1 < 0 .
記a1，g1，g1，…，c1的頻率構(gòu)成等比數(shù)列{ap}，
由220eq \r(2)＝440×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 SKIPIF 1 < 0 ))p－1，得p＝7，故頻率為220eq \r(2) Hz的音名是d1，故選D.
3．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托爾三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0,1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；……，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托爾三分集”．若使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于eq \f(9,10)，則需要操作的次數(shù)n的最小值為(參考數(shù)據(jù)：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：選C 第一次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為eq \f(1,3)；第二次操作去掉兩個(gè)長(zhǎng)度為eq \f(1,9)的區(qū)間，長(zhǎng)度和為eq \f(2,9)；第三次操作去掉四個(gè)長(zhǎng)度為eq \f(1,27)的區(qū)間，長(zhǎng)度和為eq \f(4,27)；……第n次操作去掉2n－1個(gè)長(zhǎng)度為eq \f(1,3n)的區(qū)間，長(zhǎng)度和為eq \f(2n－1,3n)，
于是進(jìn)行了n次操作后，所有去掉的區(qū)間長(zhǎng)度之和為Sn＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,9)＋…＋eq \f(2n－1,3n)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n，
由題意，1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≥eq \f(9,10)，即nlgeq \f(2,3)≤lgeq \f(1,10)＝－1，即n(lg 3－lg 2)≥1，解得：n≥eq \f(1,lg 3－lg 2)＝eq \f(1,0.477 1－0.301 0)≈5.679，
又n為整數(shù)，所以n的最小值為6.故選C.
4．河南洛陽(yáng)的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處浮雕共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1 016個(gè)浮雕，這些浮雕構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上，浮雕的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則lg2(a3a5)的值為( )
A．8 B．10
C．12 D．16
解析：選C 依題意得，數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列，因?yàn)樽钕聦拥母〉竦臄?shù)量為a1，所以S7＝eq \f(a1?1－27?,1－2)＝1 016，解得a1＝8，所以an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，所以a3＝25，a5＝27，從而a3×a5＝25×27＝212，所以lg2(a3a5)＝lg2212＝12，故選C.
5．如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形兩直角邊上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去，若共得到1 023個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為eq \r(2)，則最小正方形的邊長(zhǎng)為________．
解析：由題意知，正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以eq \r(2)為首項(xiàng)，以eq \f(\r(2),2)為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1 023個(gè)正方形，則有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，
∴最小正方形的邊長(zhǎng)為eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))9＝eq \f(1,16).
答案：eq \f(1,16)
6．是否存在一個(gè)等比數(shù)列{an}同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①a1＋a6＝11且a1a6＝eq \f(32,9)； ②an＋1>an(n∈N*)；③至少存在一個(gè)m(m∈N*且m>4)，使得eq \f(2,3)am－1，aeq \\al(2,m)，am＋1＋eq \f(4,9)依次構(gòu)成等差數(shù)列？
解：假設(shè)存在滿足條件的等比數(shù)列{an}．
由①可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a6＝11，,a1·a6＝\f(32,9).))
由②可知數(shù)列{an}是遞增的，所以a6>a1，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,3)，,a6＝\f(32,3)))?q＝2.此時(shí)an＝eq \f(1,3)×2n－1.
由③可知2aeq \\al(2,m)＝eq \f(2,3)am－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(am＋1＋\f(4,9)))?2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×2m－1))2＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×2m－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×2m＋\f(4,9)))，
解得m＝3，與已知m>4矛盾，故這樣的數(shù)列{an}不存在．
eq \a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])
一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1a5＝16，a2＝2，則公比q＝( )
A．4 B.eq \f(5,2)
C．2 D.eq \f(1,2)
解析：選C 由題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1·a1q4＝16，,a1q＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－2))(舍去)，故選C.
2．公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，則m的值為( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：選C 由題意得，2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∵a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.
3．已知公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S3＝3a3，則S5＝( )
A．1 B．5
C.eq \f(31,48) D.eq \f(11,16)
解析：選D 由題意得eq \f(a1?1－q3?,1－q)＝3a1q2，解得q＝－eq \f(1,2)或q＝1(舍)，所以S5＝eq \f(a1?1－q5?,1－q)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))5,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(11,16).
4．已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，若a1，a2，a4成等比數(shù)列，則{an}的前10項(xiàng)和S10＝( )
A．165 B．138
C．60 D．30
解析：選A 由a1，a2，a4成等比數(shù)列得aeq \\al(2,2)＝a1a4，即(a1＋3)2＝a1·(a1＋9)，解得a1＝3，則S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝10×3＋45×3＝165.故選A.
5．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足：a1＋3a3＝eq \f(7,2)，S3＝eq \f(7,2)，則a4＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,8)
C．4 D．8
解析：選A 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0.
∵a1＋3a3＝eq \f(7,2)，S3＝eq \f(7,2)，∴a1＋3a1q2＝eq \f(7,2)，a1(1＋q＋q2)＝eq \f(7,2)，聯(lián)立解得a1＝2，q＝eq \f(1,2).
則a4＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝eq \f(1,4).故選A.
二、綜合練——練思維敏銳度
1．(2021·福州模擬)已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足a1＋a3＝3，a3＋a5＝6，則a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＝( )
A．62 B．62eq \r(2)
C．61 D．61eq \r(2)
解析：選A 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，
∵a1＋a3＝3，a3＋a5＝6，
∴a1(1＋q2)＝3，a1(q2＋q4)＝6，聯(lián)立解得a1＝1，q2＝2.
∵eq \f(an＋1an＋3,anan＋2)＝q2＝2，a1a3＝1×(1×2)＝2，∴{anan＋2}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＝eq \f(2?1－25?,1－2)＝62.故選A.
2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2與a8的等比中項(xiàng)為eq \r(2)，則aeq \\al(2,4)＋aeq \\al(2,6)的最小值是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：選C ∵等比數(shù)列{an}中，a2與a8的等比中項(xiàng)為eq \r(2)，∴a4a6＝a2a8＝2.
則aeq \\al(2,4)＋aeq \\al(2,6)≥2a4a6＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a4＝a6＝eq \r(2)時(shí)取等號(hào)．故選C.
3．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝1，an＋1－an＝eq \f(bn＋1,bn)＝3，n∈N*，則數(shù)列{ban}的前10項(xiàng)和為( )
A.eq \f(1,2)(310－1) B.eq \f(1,8)(910－1)
C.eq \f(1,26)(279－1) D.eq \f(1,26)(2710－1)
解析：選D 由an＋1－an＝3，知數(shù)列{an}為公差為3的等差數(shù)列，則an＝1＋(n－1)×3＝3n－2；由eq \f(bn＋1,bn)＝3，知數(shù)列{bn}為公比為3的等比數(shù)列，則bn＝3n－1.所以ban＝33n－3＝ 27n－1，則數(shù)列{ ban }為首項(xiàng)為1，公比為27的等比數(shù)列，則數(shù)列{ ban }的前10項(xiàng)和為eq \f(1－2710,1－27)＝eq \f(1,26)(2710－1)．故選D.
4．(2021·邵陽(yáng)模擬)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq \f(S4,S2)＝3，則eq \f(S6,S4)＝( )
A．2 B.eq \f(7,3)
C.eq \f(3,10) D．1或2
解析：選B 設(shè)S2＝k(k≠0)，S4＝3k，∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數(shù)列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴eq \f(S6,S4)＝eq \f(7k,3k)＝eq \f(7,3)，故選B.
5．(多選)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，a5＝27a2，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．q＝3 B．?dāng)?shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列
C．S5＝121 D．2lg an＝lg an－2＋lg an＋2(n≥3)
解析：選ACD 因?yàn)閍1＝1，a5＝27a2，所以有a1·q4＝27a1·q?q3＝27?q＝3，因此選項(xiàng)A正確；
因?yàn)镾n＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(1,2)(3n－1)，所以Sn＋2＝eq \f(1,2)(3n＋3)，
因?yàn)閑q \f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq \f(\f(1,2)?3n＋1＋3?,\f(1,2)?3n＋3?)＝1＋eq \f(2,1＋31－n)≠常數(shù)，所以數(shù)列{Sn＋2}不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B不正確；
因?yàn)镾5＝eq \f(1,2)(35－1)＝121，所以選項(xiàng)C正確；
an＝a1·qn－1＝3n－1>0，
因?yàn)楫?dāng)n≥3時(shí)，lg an－2＋lg an＋2＝lg(an－2·an＋2)
＝lg aeq \\al(2,n)＝2lg an，所以選項(xiàng)D正確．
6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：a2a8＝16a5，a3＋a5＝20，若存在兩項(xiàng)am，an使得eq \r(aman)＝32，則eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值為( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(9,10)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(9,5)
解析：選A 設(shè)公比為q，q>0.
∵數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，∴a2a8＝aeq \\al(2,5)＝16a5，
∴a5＝16，又a3＋a5＝20，∴a3＝4，
∴q＝2，∴a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.
∵eq \r(aman)＝32，∴2m－12n－1＝210，即m＋n＝12，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \f(1,12)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq \f(1,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq \f(1,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2 \r(\f(n,m)·\f(4m,n))))＝eq \f(3,4)(m，n∈N*)，
當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m，即m＝4，n＝8時(shí)“＝”成立，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值為eq \f(3,4)，故選A.
7．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，則λ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：選A 法一：依題意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，
因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以aeq \\al(2,2)＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故選A.
法二：Sn＝2n＋1＋λ＝2×2n＋λ，易知q≠1，因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，
所以Sn＝eq \f(a1,1－q)－eq \f(a1,1－q)qn，據(jù)此可得λ＝－2.故選A.
8．設(shè)數(shù)列{(n2＋n)an}是等比數(shù)列，且a1＝eq \f(1,6)，a2＝eq \f(1,54)，則數(shù)列{3nan}的前15項(xiàng)和為( )
A.eq \f(14,15) B.eq \f(15,16)
C.eq \f(16,17) D.eq \f(17,18)
解析：選B 等比數(shù)列{(n2＋n)an}的首項(xiàng)為2a1＝eq \f(1,3)，第二項(xiàng)為6a2＝eq \f(1,9)，故公比為eq \f(1,3)，所以(n2＋n)an＝eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n－1＝eq \f(1,3n)，所以an＝eq \f(1,3n?n2＋n?)，則3nan＝eq \f(1,n2＋n)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，其前n項(xiàng)和為1－eq \f(1,n＋1)，當(dāng)n＝15時(shí)，前15項(xiàng)和為1－eq \f(1,16)＝eq \f(15,16).
9．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于( )
A．80 B．30
C．26 D．16
解析：選B 由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．
設(shè)S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.
10．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若a1＝－24，a4＝－eq \f(8,9)，則當(dāng)Tn取得最大值時(shí)，n的值為( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝－24q3＝－eq \f(8,9)，所以q3＝eq \f(1,27)，q＝eq \f(1,3)，易知此等比數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn為負(fù)數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn為正數(shù)，所以Tn取得最大值時(shí)，n為偶數(shù)，排除B；而T2＝(－24)2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝24×8＝192，T4＝(－24)4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))6＝84×eq \f(1,9)＝eq \f(84,9)>192，T6＝(－24)6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))15＝86×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))9＝eq \f(86,39)＝eq \f(84,9)×eq \f(82,37)0，且b5b6＋b4b7＝4，則b1b2…b10＝________.
解析：因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＋a5＋a9＝π，
所以3a5＝π?a5＝eq \f(π,3)，
所以cs(a2＋a8)＝cs(2a5)＝cseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2).
又因?yàn)閿?shù)列{bn}為等比數(shù)列，bn>0，且b5b6＋b4b7＝4，
所以2b5b6＝4?b5b6＝2，所以b1b2…b10＝(b5b6)5＝25＝32.
答案：－eq \f(1,2) 32
12．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9＝2aeq \\al(2,5)，a2＝1，則a1＝________.
解析：∵a3a9＝aeq \\al(2,6)，∴aeq \\al(2,6)＝2aeq \\al(2,5)，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∴q2＝2，由于q>0，解得q＝eq \r(2)，∴a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
13．等比數(shù)列{an}中，已知各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，則eq \f(a13＋a14,a14＋a15)＝________.
解析：設(shè){an}的公比為q.由題意得a1＋2a2＝a3，則a1(1＋2q)＝a1q2，q2－2q－1＝0，所以q＝eq \f(2＋\r(8),2)＝1＋eq \r(2)(舍負(fù))，則eq \f(a13＋a14,a14＋a15)＝eq \f(1,q)＝eq \r(2)－1.
答案：eq \r(2)－1
14．在數(shù)列{an}中，aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)證明：∵aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(an＋2＋1,an＋1＋1).
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴eq \f(a2＋1,a1＋1)＝2，
∴數(shù)列{an＋1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋1＝3·2n－1，
∴an＝3·2n－1－1，∴Sn＝eq \f(3?1－2n?,1－2)－n＝3·2n－n－3.
15．(2020·新高考全國(guó)卷Ⅰ)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記bm為{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100.
解：(1)設(shè){an}的公比為q.
由題設(shè)得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.
解得q＝2或q＝eq \f(1,2)(舍去)．所以a1＝2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.
(2)由題設(shè)及(1)知b1＝0，且當(dāng)2n≤m

相關(guān)教案

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第6章第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第6章第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析），共18頁(yè)。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練教案6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練教案6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析），共18頁(yè)。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練教案6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練教案6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析），共18頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)教案 更多

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第5章_第3節(jié)_等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含答案解析）

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第5章_第3節(jié)_等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含答案解析）
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第5章_第2節(jié)_等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含答案解析）

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第5章_第2節(jié)_等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含答案解析）
高中數(shù)學(xué)高考第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 教案

高中數(shù)學(xué)高考第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 教案
2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)練：6.3《等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和》 (含答案詳解)教案

2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)練：6.3《等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和》 (含答案詳解)教案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部