?第十三節(jié)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題


導(dǎo)數(shù)與不等式
?考法1　證明不等式
【例1】　已知函數(shù)f(x)＝x＋aex(a∈R)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)x＜0，a≤1時(shí)，證明：x2＋(a＋1)x＞xf′(x)．
[解]　(1)由f(x)＝x＋aex可得f′(x)＝1＋aex.
當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)．
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′(x)＞0可得x＜ln，
由f′(x)＜0可得x＞ln，
所以函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
(2)證明：設(shè)F(x)＝x2＋(a＋1)x－xf′(x)＝x2＋ax－axex＝x(x＋a－aex)．
設(shè)H(x)＝x＋a－aex，則H′(x)＝1－aex.
∵x＜0，
∴0＜ex＜1，又a≤1，∴1－aex≥1－ex＞0.
∴H(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，則H(x)＜H(0)＝0，即x＋a－aex＜0.
由x＜0可得F(x)＝x(x＋a－aex)＞0，所以x2＋(a＋1)x＞xf′(x)．
?考法2　解決不等式恒成立(存在性)問(wèn)題
【例2】　設(shè)f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
(2)如果對(duì)于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解]　(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等價(jià)于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.
令g′(x)＞0得x＜0，或x＞，
令g′(x)＜0得0＜x＜，又x∈[0,2]，
所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以g(x)min＝g＝－，
又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1.
故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，
則滿足條件的最大整數(shù)M＝4.
(2)對(duì)于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等價(jià)于在區(qū)間上，函數(shù)f(x)min≥g(x)max，
由(1)可知在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)＝1.
在區(qū)間上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等價(jià)于a≥x－x2ln x恒成立．
設(shè)h(x)＝x－x2ln x，
h′(x)＝1－2xln x－x，
令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0
得x＞.
即m(x)＝xln x在上是增函數(shù)，
可知h′(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，
又h′(1)＝0，
所以當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h′(x)＜0；
當(dāng)＜x＜1時(shí)，h′(x)＞0.
即函數(shù)h(x)＝x－x2ln x在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，
所以h(x)max＝h(1)＝1，
所以a≥1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．
[規(guī)律方法]　1.利用導(dǎo)數(shù)證明含“x”不等式方法，證明：f(x)＞g(x).,法一：移項(xiàng)，f(x)－g(x)＞0，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，轉(zhuǎn)化證明F(x)min＞0，利用導(dǎo)數(shù)研究F(x)單調(diào)性，用上定義域的端點(diǎn)值.
法二：轉(zhuǎn)化證明：f(x)min＞g(x)max.
法三：先對(duì)所求證不等式進(jìn)行變形，分組或整合，再用法一或法二.
2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題的策略
(1)首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.
(2)也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.
3.“恒成立”與“存在性”問(wèn)題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系，即f(x)≥g(a)對(duì)于x∈D恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值.應(yīng)特別關(guān)注等號(hào)是否成立問(wèn)題.
(2018·全國(guó)卷Ⅰ節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝aex－ln x－1.證明：當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥0.
[解]　證明：當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥－ln x－1.
設(shè)g(x)＝－ln x－1，則g′(x)＝－.
當(dāng)00時(shí)，g(x)≥g(1)＝0.
因此，當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥0.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
【例3】　(2019·黃山模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.
(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；
(2)設(shè)a＝b＝4，若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍．
[解]　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因?yàn)閒(0)＝c，f′(0)＝b，
所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝bx＋c.
(2)當(dāng)a＝b＝4時(shí)，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，
所以f′(x)＝3x2＋8x＋4.
令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.
當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下：
x
(－∞，－2)
－2

－

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
c
↘
c－
↗
所以，當(dāng)c＞0且c－＜0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.
由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c∈時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三個(gè)不同零點(diǎn)．
[規(guī)律方法]　利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法
(1)研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等.
(2)根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置.
(3)可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).
設(shè)函數(shù)f(x)＝－kln x，k＞0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．
[解]　(1)由f(x)＝－kln x(k＞0)，得x＞0且f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0，解得x＝(負(fù)值舍去)．
f(x)與f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的變化情況如下表：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘

↗
所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)，f(x)在x＝處取得極小值f()＝，無(wú)極大值．
(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最小值為f()＝.
因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以≤0，從而k≥e，
當(dāng)k＝e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在區(qū)間(1，]上的唯一零點(diǎn)．
當(dāng)k＞e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f(1)＝＞0，f()＝＜0，
所以f(x)在區(qū)間(1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．

利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題

【例4】　某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路分別為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型．

(1)求a，b的值；
(2)設(shè)公路l與曲線C相切于點(diǎn)P，P的橫坐標(biāo)為t.
①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；
②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．
[解]　(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5)．

將其分別代入y＝，
得
解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
設(shè)公路l交x軸，y軸分別為A，B兩點(diǎn)，如圖所示，
又y′＝－，
則直線l的方程為y－＝－(x－t)，
由此得A，B.
故f(t)＝
＝，t∈[5,20]．
②設(shè)g(t)＝t2＋，t∈[5,20]，
則g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
當(dāng)t∈[5,10)時(shí)，g′(t)＜0，g(t)是減函數(shù)；
當(dāng)t∈(10，20]時(shí)，g′(t)＞0，g(t)是增函數(shù)．
所以當(dāng)t＝10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，
此時(shí)f(t)min＝15.
故當(dāng)t＝10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米．
[規(guī)律方法]　利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的4步驟

某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為1 60元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．
[解]　(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100×2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．
又根據(jù)題意知200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因?yàn)閞>0，又由h>0可得r0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；
當(dāng)r∈(5,5)時(shí)，V′(r)0)．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)u(x)＝e2x，v(x)＝－，
因?yàn)閡(x)＝e2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，v(x)＝－在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
又f′(a)>0，當(dāng)b滿足0

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