1．角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．
(2)分類eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.
(2)公式
3.任意角的三角函數(shù)
4.三角函數(shù)值的符號規(guī)律
三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
5．任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)
設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
eq \([常用結(jié)論])
若α分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，則eq \f(α,2)所在象限如圖：
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)小于90°的角是銳角．( )
(2)銳角是第一象限角，反之亦然．( )
(3)角α的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．( )
(4)若α為第一象限角，則sin α＋cs α＞1.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改編)角－870°的終邊所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [－870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的終邊相同，故－870°的終邊在第三象限．]
3．若角θ同時滿足sin θ＜0且tan θ＜0，則角θ的終邊一定位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [由sin θ＜0知角θ的終邊在三、四象限或y軸負(fù)半軸上，由tan θ＜0知角θ的終邊在二、四象限，故角θ的終邊在第四象限，故選D.]
4．(教材改編)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y))，則sin α＝( )
A.eq \f(\r(,3),2) B．±eq \f(\r(,3),2) C.eq \f(\r(,2),2) D．±eq \f(\r(,2),2)
B [由題意知|r|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋y2＝1，所以y＝±eq \f(\r(,3),2).由三角函數(shù)定義知sin α＝y(tǒng)＝±eq \f(\r(,3),2).]
5．在單位圓中，200°的圓心角所對的弧長為( )
A．10π B．9π C.eq \f(9,10)π D.eq \f(10,9)π
D [單位圓的半徑r＝1,200°的弧度數(shù)是200×eq \f(π,180)＝eq \f(10,9)π，由弧長公式得l＝eq \f(10,9)π.]
1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
A [當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α為第一象限角；
當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α為第三象限角，所以α為第一或第三象限角．故選A.]
2．若角α是第二象限角，則eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
C [∵α是第二象限角，∴eq \f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴eq \f(π,4)＋kπ＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
當(dāng)k為偶數(shù)時，eq \f(α,2)是第一象限角；
當(dāng)k為奇數(shù)時，eq \f(α,2)是第三象限角．
綜上，eq \f(α,2)是第一或第三象限角，故選C.]
3．與－2 015°終邊相同的最小正角是________．
145° [－2 015°＝6×(－360°)＋145°，因此與－2 015°終邊相同的最小正角是145°.]
4．終邊在直線y＝eq \r(3)x上的角的集合是________．
{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z} [如圖，直線y＝eq \r(3)x過原點(diǎn)，傾斜角為60°，
在0°～360°范圍內(nèi)，
終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合為：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．]
[規(guī)律方法] 1.象限角的兩種判斷方法
(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．
(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．
2．終邊在某直線上角的求法四步驟
(1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線．
(2)按逆時針方向?qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角．
(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合．
(4)求并集化簡集合．
【例1】 (1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角；
(2)已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時，扇形的面積最大？
[解] (1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,θ＝8))(舍去)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝4，,θ＝\f(1,2)，))
∴扇形的圓心角為eq \f(1,2).
(2)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40.
又S＝eq \f(1,2)θr2＝eq \f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時，Smax＝100，此時2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴當(dāng)r＝10，θ＝2時，扇形的面積最大．
[規(guī)律方法] 解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項(xiàng)
?1?解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題時，要注意角的單位，一般將角度化為弧度.
?2?求解扇形面積的最值問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.
?3?在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
(1)若扇形的圓心角α＝120°，弦長AB＝12 cm，則弧長l＝________cm.
eq \f(8\r(,3),3)π [設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖．
由sin 60°＝eq \f(6,r)，得r＝4eq \r(,3) cm，
∴l(xiāng)＝|α|·r＝eq \f(2π,3)×4eq \r(,3)＝eq \f(8\r(,3),3)π cm.]
(2)已知扇形AOB的周長為C，當(dāng)圓心角為多少時，扇形的面積最大？
[解] 設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，由題意可知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C＝l＋2r ①,S＝\f(1,2)lr ②))∴l(xiāng)＝C－2r，代入②可得：S＝eq \f(1,2)(C－2r)·r＝eq \f(C,2)r－r2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜r＜\f(C,2)))，
∵S＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r－\f(C,4)))2＋eq \f(C2,16)，0＜r＜eq \f(C,2)，∴當(dāng)r＝eq \f(C,4)時，S最大，此時l＝C－eq \f(C,2)＝eq \f(C,2)，∴α＝eq \f(l,r)＝2.
?考法1 利用三角函數(shù)的定義求值
【例2】 (1)已知點(diǎn)P在角eq \f(4π,3)的終邊上，且|OP|＝4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．(－2，－2eq \r(3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
C．(－2eq \r(3)，－2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
(2)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cs α＝－eq \f(5,13)，則eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝________.
(1)A (2)－eq \f(2,3) [(1)設(shè)P(x，y)，由三角函數(shù)的定義知，eq \f(y,4)＝sin eq \f(4π,3)，eq \f(x,4)＝cseq \f(4π,3)，即y＝4sineq \f(4π,3)＝－2eq \r(3)，x＝4cseq \f(4π,3)＝－2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，－2eq \r(3))，故選A.
(2)r＝eq \r(x2＋36)，由cs α＝－eq \f(5,13)得eq \f(－x,\r(x2＋36))＝－eq \f(5,13)
解得x＝eq \f(5,2)或x＝－eq \f(5,2)(舍去)
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－6))，
所以sin α＝－eq \f(12,13)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(12,5)，
則eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝－eq \f(13,12)＋eq \f(5,12)＝－eq \f(2,3).]
?考法2 三角函數(shù)值的符號判定
【例3】 (1)若sin αtan α＜0，且eq \f(cs α,tan α)＜0，則角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不確定
(1)C (2)A [(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α異號，從而可判斷角α為第二或第三象限角．
由eq \f(cs α,tan α)＜0可知cs α，tan α異號，從而可判斷角α為第三或第四象限角．
綜上可知，角α為第三象限角．
(2)sin 2＞0，cs 3＜0，tan 4＞0，則sin 2·cs 3·tan 4＜0，故選A.]
?考法3 三角函數(shù)線的應(yīng)用
【例4】 函數(shù)y＝eq \r(,2cs x－1)的定義域?yàn)開_______．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
[∵2cs x－1≥0，
∴cs x≥eq \f(1,2).
由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)．
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．]
[規(guī)律方法] 1.利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法
(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．
(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解．
2．利用三角函數(shù)線求解三角不等式的方法
對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意實(shí)線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集．
(1)點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運(yùn)動eq \f(2π,3)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
(2)若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－eq \r(3)，m)(m≠0)且sin θ＝eq \f(\r(2),4)m，則cs θ的值為________．
(3)函數(shù)y＝lg(2sin x－1)的定義域?yàn)開_______．
(1)A (2)－eq \f(\r(6),4) (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))k∈Z [(1)由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，y＝sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2).
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，故選A.
(2)由題意知r＝eq \r(3＋m2)，
∴sin θ＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2),4)m，
∵m≠0，∴m＝±eq \r(5)，∴r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
∴cs θ＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4).
(3)由題意知2sin x－1＞0，即sin x＞eq \f(1,2)，
根據(jù)三角函數(shù)線，畫出x滿足條件的終邊范圍．(如圖陰影所示)
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)＜x＜2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))
1．(2014·全國卷Ⅰ)若tan α>0，則( )
A．sin 2α>0 B．cs α>0
C．sin α>0 D．cs 2α>0
A [∵tan α>0，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)是第一、三象限角．
∴sin α，cs α都可正、可負(fù)，排除B，C.
而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，
結(jié)合正、余弦函數(shù)圖象可知，A正確．
取α＝eq \f(π,4)，則tan α＝1>0，而cs 2α＝0，故D不正確．]
2．(2014·大綱全國卷)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cs α＝( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
D [因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cs α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(4,5).]角α的弧度數(shù)公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧長用l表示)
角度與弧度的換算
①1°＝eq \f(π,180) rad；
②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧長公式
弧長l＝|α|r
扇形面積公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函數(shù)
正弦
余弦
正切
定義
設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，記作sin α
x叫做α的余弦，記作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，記作tan α
三角函數(shù)線
有向線段MP為正弦線
有向線段OM為余弦線
有向線段AT為正切線
象限角與終邊相同的角
扇形的弧長、面積公式
三角函數(shù)的定義

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