第3章 第2節(jié)　第5課時　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題-2022屆高三數(shù)學一輪復(fù)習講義（新高考）教案

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考點1 討論函數(shù)的零點個數(shù)——綜合性
(2019·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f (x)＝ln x－eq \f(x＋1,x－1).
(1)討論f (x)的單調(diào)性，并證明f (x)有且僅有兩個零點；
(2)設(shè)x0是f (x)的一個零點，證明曲線y＝ln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線y＝ex的切線．
解：(1)f (x)的定義域為(0,1)∪(1，＋∞)．
因為f ′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,?x－1?2)>0，所以f (x)在(0,1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
因為f (e)＝1－eq \f(e＋1,e－1)0，所以f (x)在(1，＋∞)有唯一零點x1，即f (x1)＝0.又00)，
所以g′(x)＝1＋eq \f(3,x2)－eq \f(4,x)＝eq \f(?x－1??x－3?,x2).
令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：
當00.
因為g(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)在(3，＋∞)上只有1個零點，故g(x)在(0，＋∞)上僅有1個零點．
考點2 由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的范圍——綜合性
(2020·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f (x)＝ex－a(x＋2)．
(1)當a＝1時，討論f (x)的單調(diào)性；
(2)若f (x)有兩個零點，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝1時，f (x)＝ex－(x＋2)，f ′(x)＝ex－1.
令f ′(x)0.
所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．
(2)因為f (x)＝ex－a(x＋2)，所以f ′(x)＝ex－a.
若a≤0，則f ′(x)＝ex－a＞0在R上恒成立，
所以f (x)在R上單調(diào)遞增，則最多只有一個零點，不符合題意．
若a＞0，令f ′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a.
當x∈(－∞，ln a)時，f ′(x)＜0；當x∈(ln a，＋∞)時，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．
所以f (x)min＝f (ln a)＝eln a－a(ln a＋2)＝－a(1＋ln a)．
要使f (x)有兩個零點，則f (x)min＝f (ln a)＜0，
即－a(1＋ln a)＜0，所以a＞eq \f(1,e)，即a的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞)).
將本例中的函數(shù)改為“f (x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)”，若函數(shù)f (x)不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．
解：f ′(x)＝ex＋a.
①當a＞0時，f ′(x)＞0，f (x)在R上單調(diào)遞增，
且當x＞1時，f (x)＝ex＋a(x－1)＞0；
當x＜0時，取x＝－eq \f(1,a)，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))＜1＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)－1))＝－a＜0，
所以函數(shù)f (x)存在零點，不滿足題意．
②當a＜0時，令f ′(x)＝ex＋a＝0，則x＝ln(－a)．
當x∈(－∞，ln(－a))時，f ′(x)＜0，f (x)單調(diào)遞減；
當x∈(ln(－a)，＋∞)時，f ′(x)＞0 ，f (x)單調(diào)遞增．
所以，當x＝ln(－a)時，f (x)取得極小值，也是最小值．
函數(shù)f (x)不存在零點，等價于f (ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，
解得－e2＜a＜0.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(－e2，0)．
利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍的方法
(1)分離參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；
(2)利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建不等式求解；
(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．
1．已知曲線f (x)＝ex(ax＋1)在x＝1處的切線方程為y＝bx－e.
(1)求a，b的值；
(2)若函數(shù)g(x)＝f (x)－3ex－m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)f (x)＝ex(ax＋1)，
f ′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f ′?1?＝e·?2a＋1?＝b，,f ?1?＝e·?a＋1?＝b－e，))所以a＝1，b＝3e.
(2)(方法一)g(x)＝f (x)－3ex－m
＝ex(x－2)－m，
函數(shù)g(x)＝ex(x－2)－m有兩個零點，相當于曲線u(x)＝ex(x－2)與直線y＝m有兩個交點. u′(x)＝ex(x－2)＋ex＝ex(x－1)．
當x∈(－∞，1)時，u′(x)0，所以u(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，
所以x＝1時，u(x)取得極小值u(1)＝－e.
又x→＋∞時，u(x)→＋∞；
x