??隨機(jī)變量及其分布（公式、定理、結(jié)論圖表）



一、 條件概率的概念
1.定義
條件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之間“知二求一”的關(guān)系
設(shè)、為兩個(gè)事件，且，在已知事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率。用符號(hào)表示。讀作：發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率。
2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的區(qū)別
P（A｜B）是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。
P（AB）是事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的概率，無(wú)附加條件。
P（B）是事件B發(fā)生的概率，無(wú)附加條件．
它們的聯(lián)系是：．
二、條件概率的公式與性質(zhì)
1．計(jì)算事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，常有以下兩種方式：
①利用定義計(jì)算．
先分別計(jì)算概率P（AB）及P（B），然后借助于條件概率公式求解．
②利用縮小樣本空間的觀點(diǎn)計(jì)算．
在這里，原來(lái)的樣本空間縮小為已知的條件事件B，原來(lái)的事件A縮小為事件AB，從而，即：，此法常應(yīng)用于古典概型中的條件概率求解．
2．條件概率公式的變形．
公式揭示了P（B）、P（A｜B）、P（AB）的關(guān)系，常常用于知二求一，即要熟練應(yīng)用它的變形公式如，若P（B）＞0，則P（AB）=P（B）·P（A｜B），該式稱為概率的乘法公式．
3.條件概率的性質(zhì)
設(shè)P(A)>0，則
①
②如果B與C是兩個(gè)互斥事件，則
③設(shè)和互為對(duì)立事件，則
三、相互獨(dú)立事件
1.定義：
事件（或）是否發(fā)生對(duì)事件（或）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。
若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立。
2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：
對(duì)于事件A和事件B，用表示事件A、B同時(shí)發(fā)生。
（1）若與是相互獨(dú)立事件，則；
（2）若事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，
即：。
3．相互獨(dú)立事件與互斥事件的比較
互斥事件與相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念，它們之間沒(méi)有直接關(guān)系。
互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是指一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響。
一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录遣豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生的，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提的。相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,這一點(diǎn)與互斥事件的概率和也是不同的。
4. 幾種事件的概率公式的比較
已知兩個(gè)事件A，B，它們發(fā)生的概率為P（A），P（B），將A，B中至少有一個(gè)發(fā)生記為事件A+B，都發(fā)生記為事件A·B，都不發(fā)生記為事件，恰有一個(gè)發(fā)生記為事件，至多有一個(gè)發(fā)生記為事件，則它們的概率間的關(guān)系如下表所示：
概率
A，B互斥
A，B相互獨(dú)立
P（A+B）
P（A）+P（B）

P（A·B）
0
P（A）·P（B）

1－[P（A）+P（B）]


P（A）+P（B）


1
1－P（A）·P（B）
四、全概率公式
1.全概率公式的定義
一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對(duì)任意的事件，有
．
我們稱上面的公式為全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率論中最基本的公式之一．
2.貝葉斯公式
*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
貝葉斯公式的內(nèi)含
(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系．
(2)P(A1)稱為先驗(yàn)概率，P(A1|B)稱為后驗(yàn)概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．

五、隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量
1. “隨機(jī)試驗(yàn)”的概念
一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：
a．試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行．
B．試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)．
c．每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起見(jiàn)，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn)．
2．隨機(jī)變量的定義
一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．
通常用大寫(xiě)拉丁字母X，Y，Z（或小寫(xiě)希臘字母ξ，η，ζ）等表示。
3．離散型隨機(jī)變量的定義
如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。
離散型隨機(jī)變量的例子很多．例如某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù) X 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值為0，1，…，10；某網(wǎng)頁(yè)在24小時(shí)內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值為0, 1,2，….
4. 隨機(jī)變量的分類
隨機(jī)變量有以下兩種：
(1) 離散型隨機(jī)變量:
(2) 連續(xù)型隨機(jī)變量: 如果隨機(jī)變量可以取其一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量．
5. 若是隨機(jī)變量，其中a,b是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）。
六、離散性隨機(jī)變量的分布列
1. 分布列定義：
設(shè)離散型隨機(jī)變量所有可能取得的值為x1,x2,…,x3,…xn,若取每一個(gè)值xi(i=1,2,…，n)的概率為，則稱表

x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.
2.分布列的性質(zhì)
離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：
（1）Pi≥0,i=1,2，…，n；
（2）P1+P2+…+Pn=1
3. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)及其分布列
一般地，若ξ是隨機(jī)變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f(ξ)也是隨機(jī)變量，也就是說(shuō)，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量。
已知離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布列：
①ξ與η一一對(duì)應(yīng)時(shí)，ξ的每個(gè)取值的概率就對(duì)應(yīng)著η的每個(gè)取值的概率；
②如果ξ有多個(gè)取值對(duì)應(yīng)一個(gè)η的值，那么這個(gè)η值的概率就是這多個(gè)ξ值的概率的和。
七、離散性隨機(jī)變量的分布列的求法
1.求隨機(jī)變量的概率分布有以下幾步：
（1）要確定隨機(jī)變量的可能取值有哪些.明確取每個(gè)值所表示的意義；
（2）分清概率類型，計(jì)算取得每一個(gè)值時(shí)的概率（取球、抽取產(chǎn)品等問(wèn)題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣）；
（3）列表對(duì)應(yīng)，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證.
八、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
每次試驗(yàn)只考慮兩種可能結(jié)果與，并且事件發(fā)生的概率相同。在相同的條件下重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。
總之，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在同樣的條件下重復(fù)的，各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中，每一次的試驗(yàn)結(jié)果只有兩種，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的。
九、二項(xiàng)分布與超幾何分布
1. 定義：
在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是，則此事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生次的概率是
，（）．
于是得到離散型隨機(jī)變量的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P


…

…

由于表中第二行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式
中各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作．
2．如何求有關(guān)的二項(xiàng)分布
（1）分清楚在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，共進(jìn)行了多少次重復(fù)試驗(yàn)，即先確定n的值，然后確定在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是多少，即確定p的值，最后再確定某事件A恰好發(fā)生了多少次，即確定k的值；
（2）準(zhǔn)確算出每一種情況下，某事件A發(fā)生的概率；
（3）用表格形式列出隨機(jī)變量的分布列。
3、幾何分布：
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都為，事件第一次發(fā)生時(shí)所做的試驗(yàn)次數(shù)是隨機(jī)變量，且，，稱離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，記作：。
若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且則
期望
方差
4、超幾何分布：
若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則期望
十、離散型隨機(jī)變量的期望
1.定義：
一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為



…

…
P


…

…
則稱…… 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．
2．性質(zhì)：
①；
②若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，有；
的推導(dǎo)過(guò)程如下：：
的分布列為



…

…



…

…
P


…

…
于是……
＝……)……)＝
∴。
十一、離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
1.一組數(shù)據(jù)的方差的概念：
已知一組數(shù)據(jù)，，…，，它們的平均值為，那么各數(shù)據(jù)與的差的平方的平均數(shù)
＋＋…＋叫做這組數(shù)據(jù)的方差。
2.離散型隨機(jī)變量的方差：
一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為



…

…
P


…

…
則稱＝＋＋…＋＋…稱為隨機(jī)變量的方差，式中的是隨機(jī)變量的期望．
的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．
3.期望和方差的關(guān)系：

4.方差的性質(zhì)：
若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，；
十二、正態(tài)分布
1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)
正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：，（）
其中x是隨機(jī)變量的取值；μ為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.
2．正態(tài)分布
（1）定義
如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)隨機(jī)變量滿足：，
則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。記為。
（2）正態(tài)分布的期望與方差
若，則的期望與方差分別為：，。
3. 正態(tài)曲線
如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。

4．正態(tài)曲線的性質(zhì)：
①曲線位于軸上方，與軸不相交；
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；
③曲線在時(shí)達(dá)到峰值；
④當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無(wú)限靠近.
⑤曲線與軸之間的面積為1；
⑥決定曲線的位置和對(duì)稱性；
當(dāng)一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。

⑦確定曲線的形狀；
當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示。


典例1：某企業(yè)擬對(duì)某條生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)，現(xiàn)有兩種方案可供選擇：方案 A 是報(bào)廢原有生產(chǎn)線，重建一條新的生產(chǎn)線；方案 B 是對(duì)原有生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)改造．由于受諸多不可控因素的影響，市場(chǎng)銷售狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生變化．該企業(yè)管理者對(duì)歷年產(chǎn)品銷售市場(chǎng)行情及回報(bào)率進(jìn)行了調(diào)研，編制出下表：
市場(chǎng)銷售狀態(tài)
暢銷
平銷
滯銷
市場(chǎng)銷售狀態(tài)概率 (0

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