??立體幾何初步（公式、定理、結(jié)論圖表）



1．多面體的結(jié)構(gòu)特征
名稱
棱柱
棱錐
棱臺(tái)
圖形



底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
互相平行且相等
相交于一點(diǎn)，但不一定相等
延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
2.正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征
(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．
(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．
3．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
名稱
圓柱
圓錐
圓臺(tái)
球
圖形




母線
互相平行且相等，垂直于底面
長(zhǎng)度相等且相交于一點(diǎn)
延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

軸截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)

旋轉(zhuǎn)圖形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圓
4.三視圖
(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．
(2)在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線．
(3)三視圖的長(zhǎng)度特征：
“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”，即正俯同長(zhǎng)、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬．
5．空間幾何體的直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫，其規(guī)則是：
(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半．
6．多面體的表(側(cè))面積
因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．
7．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱
圓錐
圓臺(tái)
側(cè)面展開圖　



側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l
三者關(guān)系
S圓柱側(cè)＝2πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)lS圓錐側(cè)＝πrl
8.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積
　　　　名稱
幾何體　
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝Sh
臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
9．平面的基本性質(zhì)
(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．
(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．
(4)公理2的三個(gè)推論
推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．
推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．
10．空間直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系的分類

(2)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：.
(3)平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
11．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
直線a在平面α內(nèi)

a?α
有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
直線在平面外
直線a與平面α平行

a∥α
沒有公共點(diǎn)
直線a與平面α斜交

a∩α＝A
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線a與平面α垂直

a⊥α
(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
兩平面平行

α∥β
沒有公共點(diǎn)
兩平面相交
斜交

α∩β＝l
有一條公共直線
垂直

α⊥β且
α∩β＝a
12．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)

∵l∥a，a?α，l?α，
∴l(xiāng)∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)

∵l∥α，l?β，
α∩β＝b，
∴l(xiāng)∥b
13.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)

∵a∥β，b∥β，
a∩b＝P，
a?α，b?α，
∴α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

∵α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
∴a∥b
14．直線與平面垂直
(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
(2)判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．
(3)推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．
(4)直線和平面垂直的性質(zhì)：
①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．
②直線垂直于平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線．
③垂直于同一條直線的兩平面平行．
15．直線和平面所成的角
(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．
(2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.
(3)直線和平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°.
16．二面角的有關(guān)概念
(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范圍是0°≤θ≤180°.
17．平面與平面垂直
(1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．
(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直

?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

?l⊥α


1．特殊的四棱柱

2．球的截面的性質(zhì)
(1)球的任何截面是圓面；
(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；
(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r＝.
3．按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系如下：
S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖．
4．正四面體的表面積與體積
棱長(zhǎng)為a的正四面體，其表面積為a2，體積為a3.
5．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論
(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，
①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a；
②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1，棱長(zhǎng)為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑R內(nèi)＝a，外接球半徑R外＝a.
6．異面直線的判定定理
經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線．
7．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個(gè)角相等．
(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個(gè)邊相同，一個(gè)邊相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．
8．唯一性定理
(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．
9.線、面平行的性質(zhì)
(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．
(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等．
(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．
(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．
(7)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
(8)垂直于同一平面的兩條直線平行．
10．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．
11．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．
12．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．
13．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．
14．過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．

一、空間幾何體概念辨析題的常用方法
定義法
緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定
反例法
通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可
典例1：下列結(jié)論正確的是 (　　)
A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐
B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)
形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐
D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線
D　[A錯(cuò)誤．如圖1所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．

圖1　　　　　　圖2
B錯(cuò)誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．
C錯(cuò)誤．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．]
二、識(shí)別三視圖的步驟
(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；
(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；
(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置．
　典例2：(1)如圖是一個(gè)正方體，A，B，C為三個(gè)頂點(diǎn)，D是棱的中點(diǎn)，則三棱錐A-BCD的正視圖、俯視圖是(注：選項(xiàng)中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)(　　)


A　　　B　　　　C　　　　D
(2)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　)


(1)A　(2)A　[(1)正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見，故為虛線，易知選A.
(2)由題意可知，咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件如圖所示，其俯視圖為選項(xiàng)A中的圖形．]

三、由三視圖確定幾何體的步驟

典例3:(1)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
(2)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　)

A．2 B．2 C．3 D．2
(1)C　(2)B　[(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P-ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，故選C.

(2)先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖1所示．

圖1　　　　　　　圖2
圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖2所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝×16＝4，OM＝2，
∴MN＝＝＝2.故選B.]
四、由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法
解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)．
典例4：如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為 (　　)


A　　　　B　　　　　　C　　　　D
A　[由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A，故選A.]
五、空間幾何體的直觀圖
1．用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧
在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線．
2．原圖形與直觀圖面積的關(guān)系
按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S直觀圖＝S原圖形；(2)S原圖形＝2S直觀圖．
典例5：(1)已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝，AB＝3，以AB所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為(　　)

A. B. C. D．2
(2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是(　　)

A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四邊形
(1)C　(2)C　[(1)法一(作圖求解)：如圖，取AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，y軸交DC于點(diǎn)E，O，E在斜二測(cè)畫法中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，E′，過E′作E′F′⊥x′軸，垂足為F′，

因?yàn)镺E＝＝1，
所以O(shè)′E′＝，E′F′＝.
所以直觀圖A′B′C′D′的面積為
S′＝×(1＋3)×＝，
故選C.
法二(公式法)：由題中數(shù)據(jù)得等腰梯形ABCD的面積S＝×(1＋3)×1＝2.
由S直觀圖＝S原圖形，
得S直觀圖＝×2＝，故選C.
(2)如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.

所以O(shè)C＝＝＝6(cm)，
所以O(shè)A＝OC，由題意得OA綊BC，故四邊形OABC是菱形，故選C.]
六、求解幾何體表面積的類型及求法
求多面體的表面積
先求各個(gè)面的面積，再相加即可
求旋轉(zhuǎn)體的表面積
可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系
求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)
通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積
典例6：(1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　)

A．48＋π　　　　　　　 B．48－π
C．48＋2π D．48－2π
(2)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
(1)A　(2)B　[(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A.
(2)因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2×π×()2＋2π××2＝12π.]
七、求體積的常用方法
直接法
對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算
割補(bǔ)法
首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算
等體積法
選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

典例7：(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　)

A.＋1　　　　　　　　 B.＋3
C.＋1 D.＋3
(2)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為 ．

(1)A　(2)　[(1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1，高為3的半個(gè)圓錐和三棱錐S -ABC組成的，

如圖，三棱錐的高為3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其體積V＝××π×12×3＋××2×1×3＝＋1.故選A.
(2)四棱錐A1-BB1D1D的底面BB1D1D為矩形，其面積S＝1×＝，又四棱錐的高為點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離，即h＝A1C1＝，所以四棱錐的體積V＝××＝.]
八、空間幾何體與球接、切問題的求解方法
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．
(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
典例8：(1)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　)
A．12　　　　　　　 B．18
C．24 D．54
(2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)
A. B．2
C. D．3
(1)B　(2)C　[(1)如圖，E是AC中點(diǎn)，M是△ABC的重心，O為球心，連接BE，OM，OD，BO.因?yàn)镾△ABC＝AB2＝9，所以AB＝6，BM＝BE＝＝2.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝＝2，所以當(dāng)D，O，M三點(diǎn)共線且DM＝OD＋OM時(shí)，三棱錐D-ABC的體積取得最大值，且最大值Vmax＝S△ABC×(4＋OM)＝×9×6＝18.故選B.

(2)如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，

則垂足為BC的中點(diǎn)M.因?yàn)锳B＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
所以球O的半徑R＝OA
＝＝，故選C.]
九、共點(diǎn)、共線、共面問題的證明方法
(1)證明點(diǎn)共線問題：①公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本公理3證明這些點(diǎn)都在交線上；②同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．
(2)證明線共點(diǎn)問題：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn)．
(3)證明點(diǎn)、直線共面問題：①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．
典例9：(1)以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)
①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；
②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；
③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
(2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：

①E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
②CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
(1)B　[①正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的四點(diǎn)矛盾；②中若點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不一定共面，故②錯(cuò)誤；③中，直線b，c可能是異面直線，故③錯(cuò)誤；④中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線段不共面，故④錯(cuò)誤．]
(2)[證明]　①如圖，連接EF，CD1，A1B.
∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，

∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
②∵EF∥CD1，EF

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