?第17課 中心對稱與中心對稱圖形

課程標準
（1）理解中心對稱和中心對稱圖形的定義和性質，掌握他們之間的區(qū)別和聯系；
（2）掌握關于原點對稱的點的坐標特征，以及如何求對稱點的坐標；
（3）探索圖形之間的變化關系(軸對稱、平移、旋轉及其組合)，靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計．

知識點01 中心對稱和中心對稱圖形
1．中心對稱
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．
這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
【注意】
(1)有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；
(2)位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉180°能夠與另一個圖形重合 (全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的) .
2．中心對稱圖形
　把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
【注意】
(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；
(2)線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.
3．中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯系

中心對稱
中心對稱圖形
區(qū)別
①指兩個全等圖形之間的相互位置關系．
②對稱中心不定．
①指一個圖形本身成中心對稱．
②對稱中心是圖形自身或內部的點．
聯系
如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體(一個圖形)，那么這個圖形就是中心對稱圖形．
如果把中心對稱圖形對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又關于中心對稱．

知識點02 關于原點對稱的點的坐標特征
關于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數.即點關于原點的對稱點坐標為 ，反之也成立.
知識點03 中心對稱、軸對稱、旋轉對稱
1．中心對稱圖形與旋轉對稱圖形的比較：
名稱
定義
區(qū)別
聯系
旋轉對稱圖形
如果一個圖形繞著某一點旋轉一定角度(小于周角)后能與原圖形完全重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形
旋轉角不一定是180°
旋轉對稱圖形只有旋轉180°才是中心對稱圖形，而中心對稱圖形一定是旋轉對稱圖形
中心對稱圖形
如果一個圖形繞某點旋轉180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形
旋轉角必須是180°
2．中心對稱圖形與軸對稱圖形比較：
名稱
定義
基本圖形
區(qū)別
舉例
中心對稱圖形
如果一個圖形繞某點旋轉180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形

繞某一點旋轉180°
線段，平行四邊形，矩形，菱形，圓
軸對稱圖形
如果一個圖形沿著某一條直線翻折180°后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這樣的圖形叫做軸對稱圖形

沿著一條直線翻折180°
線段，等腰三角形，矩形，菱形，正方形，圓
【注意】
中心對稱圖形是特殊的旋轉對稱圖形；掌握三種圖形的不同點和共同點是靈活運用的前提.

考法01 中心對稱和中心對稱圖形
【典例1】下列四個高校?；罩黧w圖案是中心對稱圖形的是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】A．是中心對稱圖形，符合題意；
B．不是中心對稱圖形，不符合題意；
C．不是中心對稱圖形，不符合題意；
D．不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選A．
【即學即練】下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
故選：B．
【典例2】如圖，四邊形與四邊形FGHE關于點O成中心對稱，下列說法中錯誤的是（????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】A．∵與關于點O成中心對稱，
∴，同理可得，正確；
B．∵點B與點G關于點O成中心對稱，
∴，正確；
C．∵與關于點O成中心對稱，
∴，同理可得，正確；
D．∵點D與點E關于點O成中心對稱，
∴，
∴錯誤，
故選：D．
【即學即練】如圖，已知與關于點成中心對稱圖形，則下列判斷不正確的是（ ）

A．∠ABC=∠A'B'C' B．∠BOC=∠B'A'C'
C．AB=A'B' D．OA=OA'
【答案】B
【詳解】因為△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱圖形，
所以可得∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA'，
故選B．
考法02 作圖
【典例3】如圖是一個中心對稱圖形，它的對稱中心是（ ）

A．點A B．點B C．點C D．點A或點C
【答案】B
【詳解】如圖所示，它是一個中心對稱圖形，它的對稱中心是點B．
故選B．

【即學即練】如圖，與關于某個點成中心對稱，則這個點是（????）

A．點D B．點E C．點F D．點G
【答案】B
【詳解】如解圖，連接、，相交于點E，則點E是對稱中心.

故選：B.
【典例4】在下列某品牌T恤的四個洗滌說明圖案的設計中,沒有運用軸對稱知識的是 (????)
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、即運用了軸對稱也利用了旋轉對稱，故本選項錯誤；
B、利用了軸對稱，故本選項錯誤；
C、沒有運用旋轉，也沒有運用軸對稱，故本選項正確；
D、即運用了軸對稱也利用了旋轉對稱，故本選項錯誤；
故選C．
【即學即練】在平面直角坐標系中，與關于原點成中心對稱的是（????）
A．B．C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、△ABC與△A'B'C'關于y軸對稱，所以A選項不符合題意；
B、△ABC與△A'B'C'關于x軸對稱，所以B選項不符合題意；
C、△ABC與△A'B'C'關于（-，0）對稱，所以C選項不符合題意；
D、△ABC與△A'B'C'關于原點對稱，所以D選項符合題意；
考法03 利用圖形變換的性質進行計算或證明
【典例5】如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若，，AC=1，則BB′的長為（???）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴BB′=2AB=4．
故選：B．
【即學即練】如圖，已知點A與點C關于點O對稱，點B與點D也關于點O對稱，若，．則AB的長可能是（???）

A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】C
【詳解】解：∵點與點關于點對稱，點與點也關于點對稱，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故選：C．
【典例6】如圖，在面積為12的□ABCD中，對角線BD繞著它的中點O按順時針方向旋轉一定角度后，其所在直線分別交AB、CD于點E、F，若AE=2EB，則圖中陰影部分的面積等于（）

A．3 B．1 C． D．
【答案】A
【詳解】∵□ABCD，
∴AO＝OC,∠CAB＝∠DCO.
∵在△AOE和△COF中AO＝OC,∠CAB＝∠DCO，∠AOE＝∠COF.
∴△AOE≌△COF.
∴S△FCO＝S△OAE.
∵面積為12的□ABCD，
∴S△DAB＝6.
過點D做DG⊥AB,OH⊥AB,
∵O為中點,
∴OH＝DG.
∴S陰影＝SOAB＝ S△DAB＝3.
故選A.
【即學即練】如圖，在平行四邊形中，，為對角線，，邊上的高為4，則圖中陰影部分的面積為（??）

A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【詳解】由題意，圖中陰影部分的每一塊關于平行四邊形的中心對稱圖形都在平行四邊形上，且都是非陰影的部分，所以由中心對稱圖形的性質可得：
所求的面積=．
故選C．

題組A 基礎過關練
1．下列圖形中，為中心對稱圖形的是（????）
A． B．C． D．
【答案】B
【詳解】解：A、不符合定義，故該選項不符合題意；
B、符合定義，故該選項符合題意；
C、不符合定義，故該選項不符合題意；
D、不符合定義，故該選項不符合題意；
故選：B．
2．下列手機手勢解鎖圖案中，是中心對稱圖形的是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：B．
3．徽章交換是現代奧林匹克運動會特有的文化活動．一枚小小的徽章不僅是參與奧運盛會的證明，更是交流奧林匹克精神與世界文化的小窗口．在2022年北京冬奧會上徽章交換依然深受歡迎．下列徽章圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意，
B、既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，不符合題意，
C、既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，不符合題意，
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，
故選：D．
4．在平面直角坐標系中，把點P（-3，2）繞原點O順時針旋轉180°，所得到的對應點P'的坐標為（???）
A．（3，2） B．（2，3） C．（-2，3） D．（3，-2）
【答案】D
【詳解】解：∵把點P（-3，2）繞原點O順時針旋轉180°，
∴所得到的對應點與點P關于原點對稱，
∴(3,-2)，
故選：D．
5．下列圖形是中心對稱圖形的有（　　?。?

A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【詳解】解：第一個圖形旋轉180°不能重合，故不是中心對稱圖形；
第二個圖形旋轉180°能重合，故是中心對稱圖形；
第三個圖形旋轉180°能重合，故是中心對稱圖形；
第四個圖形旋轉180°不能重合，故不是中心對稱圖形；
第五個圖形旋轉180°不能重合，故不是中心對稱圖形；
則有兩個中心對稱圖形，
故選：B．
6．如圖，在平面直角坐標系中，若與關于E點成中心對稱，點A，B，C的對應點分別為，，，則對稱中心E點的坐標是（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：如圖，連接AA1、CC1，則交點就是對稱中心E點．
∴E（3，?1）．
故選：A．

7．點關于原點的對稱點的坐標為______．
【答案】
【詳解】解:∵關于原點對稱的兩個點，橫坐標與縱坐標都互為相反數，
∴點關于原點的對稱點的坐標是．
故答案為：．
8．已知點與關于原點對稱，則___________．
【答案】－3
【詳解】解：∵點A（1，m）與點A′（n，?3）關于坐標原點對稱，
∴n＝?1，m＝3，
∴
故答案為：－3．
9．已知△ABC的頂點A、B、C在格點上，按下列要求在網格中畫圖．

(1)△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△A1B1C；
(2)畫△A1B1C關于點O的中心對稱圖形△A2B2C2．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【詳解】(1)解：△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△A1B1C如圖所示；

(2)解：△A1B1C關于點O的中心對稱圖形△A2B2C2如圖所示；
10．如圖3×3網格圖都是由9個相同的小正方形組成，每個網格圖中有3個小正方形已涂上陰影，請在余下的6個空白小正方形中，按下列要求涂上陰影：

（1）選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
（2）選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【詳解】（1）選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，如下圖所示：
；
（2）選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，如下圖所示：
．
題組B 能力提升練
1．下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：A．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
C．不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：B．
2．觀察如圖所示的圖形，下列對該圖形描述正確的是(???)

A．它是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形 B．它是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形
C．它是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 D．它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形
【答案】B
【詳解】解：根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念可知，這個圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故B正確．
故選：B．
3．已知點P(a?1，a+2)在x軸上，則點Q(?a，a?1)關于原點對稱的點的坐標為（??????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵點P(a?1，a+2)在x軸上，
∴a+2=0，
解得a=-2，
∴Q（2，-3）
則點Q（2，-3）關于原點對稱的點的坐標為：（-2，3）．
故選：B．
4．在直角坐標系中，已知點A(2a，a-b+1)，B(b，a+1)關于原點對稱，則a，b的值是（? ? ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【詳解】解：∵點關于原點對稱，
得
解得．
故選：A．
5．如圖，在平面直角坐標系中，有一只蝸牛從點的位置沿著射線的方向爬行到另一象限的點，恰好，則點的坐標為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，且點在射線上，
點與點A關于原點對稱，
點的坐標為．
故選：B．
6．如圖，△ABC與關于O成中心對稱，下列結論中不成立的是（????）

A． B．
C．點B的對稱點是 D．
【答案】B
【詳解】解：∵△ABC與關于O成中心對稱，
∴，，點B的對稱點，
故A，C，D正確，不符合題意．
∵和不是對應角，
∴不一定相等，故B錯誤，符合題意．
故選B．
7．在直角坐標系中，若點，點關于原點中心對稱，則______．
【答案】-2
【詳解】解：∵坐標系中點A（1，a）和點B（b，1）關于原點中心對稱，
∴b＝?1，a＝?1，
則a＋b＝?1?1＝?2．
故答案為：?2．
8．如圖，將正方形網格放置在平面直角坐標系中，其中每個小正方形的邊長均為1，△ABC經過平移后得到△A1B1C1，若AC上一點P(1.2，1.4)平移后對應點為P1、點P1繞原點順時針旋轉180°，對應點為P2，則點P2的坐標為__________．

【答案】(2.8，3.6)
【詳解】解：∵點A到點經過了向下平移5，向左平移4，
∴點P經過相同的移動，得到P1坐標，
∵P坐標為(1.2，1.4)，
∴1.2-4=-2.8，1.4-5=-3.6，
即點P1的坐標為(-2.8，-3.6)，
∵點P1繞原點順時針旋轉180°，對應點為P2，
∴P2、P1關于原點對稱，
∴點P2的坐標為(2.8，3.6)，
故答案為：(2.8，3.6)．
9．圖1，圖2，圖3都是由邊長為a的小菱形構成的網格，每個網格圖中都有3個小菱形已經涂上了陰影，請在余下的小菱形中，分別按下列要求選取一個涂上陰影．

(1)使得4個陰影小菱形組成一個既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形（圖1）；
(2)使得4個陰影小菱形組成一個軸對稱圖形但不是中心對稱圖形（圖2）；
(3)使得4個陰影小菱形組成一個中心對稱圖形但不是軸對稱圖形（圖3）．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【詳解】（1）解：圖形如圖所示：

（2）圖形如圖所示：

（3）圖形如圖所示：

10．如圖，已知四邊形．

(1)畫出四邊形向上平移5格后的四邊形；
(2)畫出四邊形關于點成中心對稱的四邊形；
(3)畫出四邊形關于直線成軸對稱的四邊形．
【答案】(1)畫圖見解析
(2)畫圖見解析
(3)畫圖見解析
【詳解】（1）解：如圖所示，四邊形即為所求；
（2）如圖所示，四邊形即為所求；
（3）如圖所示，四邊形即為所求；

題組C 培優(yōu)拔尖練
1．襄陽市正在創(chuàng)建全國文明城市，某社區(qū)從今年6月1日起實施垃扱分類回收．下列圖形分別是可回收物、廚余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的標志，其中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選不符合題意；
B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項正確，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選不符合題意；
故選：C．
2．下列說法正確的是（?????）
A．能夠互相重合的兩個圖形成軸對稱
B．圖形的平移運動由移動的方向決定
C．如果一個旋轉對稱圖形有一個旋轉角為120°，那么它不是中心對稱圖形
D．如果一個旋轉對稱圖形有一個旋轉角為180°，那么它是中心對稱圖形
【答案】D
【詳解】解：A、一個圖形沿著某條直線翻折后能夠與另一個圖形重合，則兩個圖形關于某條直線成軸對稱，錯誤；
B、圖形的平移運動由移動的方向和距離決定，錯誤；
C、如果一個旋轉對稱圖形，有一個旋轉角為120度，那么它也有可能有一個旋轉角為180度，所以它有可能是中心對稱圖形，錯誤；
D、如果一個旋轉對稱圖形有一個旋轉角為180度，那么它一定是中心對稱圖形，正確；
故選D．
3．將一張正方形紙片，按如圖①，②的步驟，沿虛線對折兩次，然后沿圖③中的虛線剪去一個角得到圖④，將圖④展開鋪平后的圖形（????）

A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
C．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形 D．是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形
【答案】D
【詳解】解：將圖④展開鋪平后的圖形大致如下：

故圖④展開鋪平后的圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
故選：D．
4．如圖，與關于點D成中心對稱，連接AB，以下結論錯誤的是（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵與關于點D成中心對稱，
∴，，
∴
∴選項A、C、D正確，選項B錯誤；
故選B．
5．如圖，在平面直角坐標系中，，，，請確定一點D，使得以點A，B，C，D為頂點的四邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，則點D的坐標可能是（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】A.若點D的坐標為（0，-1），則四邊形ABDC是正方形，既是軸對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B. 若點D的坐標為（2，-1）,點A，點D，點C在同一條直線上，故此選項不符合題意；
C. 若點D的坐標為（0，-2），則四邊形ABDC是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D.若點D坐標為（-1，1），則四邊形ADBC既不是軸對稱圖形，也不中心對稱圖形，故此選項不符合題意．
故選：C．
6．如圖，線段與線段關于點對稱，若點、、，則點的坐標為（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：設D（m，n），
∵線段AB與線段CD關于點P對稱，
點P為線段AC、BD的中點．
∴，
∴m=-a+2，n=-b，
∴D，
故選：C．
7．已知和關于原點對稱，則________．
【答案】4
【詳解】解：∵點P(m-3,2)與點Q(5,n+4)關于原點對稱，
∴m-3=-5，n+4=-2，
∴m=-2，n=-6，
∴m-n=-2-(-6)=4，
故答案為：4．
8．如圖，四邊形是菱形，點是兩條對角線的交點，過點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分，當菱形的兩條對角線長分別為12和16時，則陰影部分面積為_________．

【答案】48
【詳解】如圖所示：

∵菱形的兩條對角線的長分別為12和16，
菱形的面積，
∵是菱形兩條對角線的交點，菱形是中心對稱圖形，
∴，四邊形四邊形，
四邊形四邊形，
∴陰影部分的面積，
故答案為：48．
9．如圖所示的正方形網格中，△ABC的頂點均在格點上，在所給直角坐標系中解答下列問題：

(1)作出△ABC繞原點逆時針旋轉90°得到的．
(2)作出△ABC關于原點成中心對稱的；
(3)點D在坐標平面上，如果以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點D的坐標為 　?。?br /> 【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3）
【詳解】（1）
如圖，即為所求；

（2）如圖，即為所求；

（3）點D在坐標平面上，如果以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3），
故答案為：（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3），
10．如圖，在4×4的方格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）在圖1中，畫出一個與△ABC成中心對稱的格點三角形；
（2）在圖2中，畫出一個與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形；
（3）在圖3中，畫出△ABC繞著點C按順時針方向旋轉90°后的三角形；
（4）在圖4中，畫出所有格點△BCD，使△BCD為等腰直角三角形，且S△BCD=4．

【答案】解：（1）如圖①，△DEC為所作；
（2）如圖②，△ADC為所作；
（3）如圖③，△DEC為所作；
（4）如圖④，△BCD和△BCD′為所作．

【詳解】解：（1）如圖①，△DEC為所作；
（2）如圖②，△ADC為所作；
（3）如圖③，△DEC為所作；
（4）如圖④，△BCD和△BCD′為所作．

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版本： 人教版

年級： 九年級上冊

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