1.探索并運用平方差公式進行因式分解，體會轉化思想．（重點）2.能綜合運用提公因式法和平方差公式對多項式進行因式分解．（難點）
①因式分解；②提公因式法分解因式
把一個多項式化成幾個整式的積的形式.
（2）什么叫因式分解？
（3）提公因式法分解因式的步驟？
第一步：找公因式；第二步：提公因式
①看系數；②看字母；③看字母指數；④看整體；⑤確定公因式
填空：(1) （2021?白銀）因式分解：4m-2m2= ；(2) 因式分解：（x-3）-2x（x-3）= ；(3) 一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為14，面積為8，則m2n+mn2的值為 .
（x-3）（1-2x）
把上邊的兩個式子反過來：（1） =(x+4)(x-4);（2） =( )2-( )2=（2a+3b)(2a-3b).
運用平方差公式計算:（1）(x+4)(x-4)= ;（2）（2a+3b)(2a-3b)=( )2-( )2= .
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式的符號表達形式：
把上邊的兩個式子反過來：（1） =(x+4)(x-4);（2） =( )2-( )2=（2a+3b)(2a-3b);
思考 （1）你能將a2-b2分解因式嗎？
整式乘法與因式分解是方向相反的變形，即
(a+b)(a-b) a2-b2
我們就得到a2-b2=(a+b)(a-b).
能運用平方差公式分解因式的多項式的特點：1.必須是二項式；2.兩項異號；3.兩項是數或式的平方的形式.
將具備這些特點的多項式寫成平方差形式，便實現了因式分解.
（2）多項式a2-b2有什么特點？
是a、b兩數的平方差的形式
例1 下列多項式能用平方差公式來分解因式的有 ，不能的請說明原因？①x2+y2；②-y2+x2；③-x2-y2；④-x4+y2；⑤x2-25y2；⑥m2-n2+1.
①③兩項的符號相同，不能用平方差公式分解因式；⑥是三項式，不滿足平方差公式的特點.
解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) ;
(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q) .
例2 分解因式.（1）4x2-9； (2) (x+p)2-(x+q)2 .
解：(1)x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).
例3 分解因式. (1)x4-y4; (2) a3b-ab.
分解因式時，若有公因式，一般先提公因式，然后再運用平方差公式.
一定要檢查是否還有能繼續(xù)分解的因式，若有，則需繼續(xù)分解.
1.（2021?蘇州模擬）若a+b=3，a-b=7，則b2-a2的值為（　?。〢．-21B．21 C．-10D．10
【解析】b2-a2=（b+a）（b-a）=3×（-7）=-21．故選A．
2.分解因式：(1)(a+b)2-4a2； (2)9(m+n)2-(m-n)2.
解：(1)原式=(a+b-2a)(a+b+2a) =(b-a)(3a+b)；
解：(2)原式=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)．
若用平方差公式因式分解后的結果中有公因式，一定要再用提公因式法繼續(xù)分解.
運用平方差公式進行因式分解的步驟(1)寫成兩項平方差的形式，即找到相當于公式中a、b的項；(2)按公式寫出兩項積的形式，即因式分解；(3)兩項中能合并同類項的各自合并.
運用平方差公式進行因式分解時，應注意：(1)當多項式的每一項都含有公因式時，要先提公因式，再運用平方差公式分解;(2)因式分解必須進行到每一個多項式的因式都不能再分解為止.
運用平方差公式分解因式
a2-b2=(a+b)(a-b)
符合“（）2-（）2”的形式的多項式
①有公因式要先提公因式；②必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止
1.（2021?杭州）因式分解：1-4y2=（　?。〢．（1-2y）（1+2y）B．（2-y）（2+y）C．（1-2y）（2+y）D．（2-y）（1+2y）
2.下列各式中與b2-a2相等的是（　?。〢．（b-a）2 B．（-a+b）（a-b）C．（-a+b）（a+b） D．（a+b）（a-b）
3.小明是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x-y，a-b，5，x2-y2，a，x+y，a2-ab分別對應下列七個字：會、城、我、美、愛、運、麗，現將5a2（x2-y2）-5ab（x2-y2）因式分解，分解結果經密碼翻譯呈現準確的信息是（　　）A．我愛美麗城B．我愛城運會C．城運會我愛D．我美城運會
【解析】5a2（x2-y2）-5ab（x2-y2）=5a（x2-y2）（a-b）=5a（x+y）（x-y）（a-b），信息中的漢字有：我、愛、運、會、城．所以經密碼翻譯呈現準確的信息是我愛城運會.故選B．
4.因式分解： (1)（2021?徐州）x2-36=　 　; (2)（2021?樂山）4a2-9= ; (3)9xy3-36x3y= ; (4)（2021?株洲模擬）（x-3）2-9= ; (5)-16x4+81y4= ; (6)（2021?大慶模擬）（p+1）（p-4）+3p= ．
（2a+3）（2a-3）
（9y2+4x2）（3y+2x）（3y-2x）
9xy(y+2x)(y-2x)
5.若將(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，則n的值是 .
6.計算：101×1022-101×982.
解：101×1022-101×982=101×（1022-982）=101×（102+98）×（102-98）=101×200×4=80800．
7.從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）探究：上述操作能驗證的等式是 ；（請選擇正確的一個）A．a2-2ab+b2=（a-b）2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）C．a2+ab=a（a+b）
【解析】（1）圖1剩余部分面積=a2-b2，圖2的面積=（a+b）（a-b）.故有a2-b2=（a+b）（a-b）.故選B．
（2）應用：利用所選（1）中等式兩邊的等量關系，完成下面題目：若x+4y=6，x-4y=5，求x2-16y2+64的值．
解：∵x+4y=6，x-4y=5．∴x2-16y2=（x+4y）（x-4y）=30．∴x2-16y2+64=30+64=94．

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14.2.1 平方差公式

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

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