\l "_Tc172580245" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc172580245 \h 2
\l "_Tc172580246" 02 知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc172580246 \h 3
\l "_Tc172580247" 03 考點突破·題型探究 PAGEREF _Tc172580247 \h 4
\l "_Tc172580248" 知識點1：數(shù)列求和常用方法 PAGEREF _Tc172580248 \h 4
\l "_Tc172580249" 解題方法總結(jié) PAGEREF _Tc172580249 \h 5
\l "_Tc172580250" 題型一：通項分析法 PAGEREF _Tc172580250 \h 9
\l "_Tc172580251" 題型二：公式法 PAGEREF _Tc172580251 \h 11
\l "_Tc172580252" 題型三：錯位相減法 PAGEREF _Tc172580252 \h 13
\l "_Tc172580253" 題型四：分組求和法 PAGEREF _Tc172580253 \h 18
\l "_Tc172580254" 題型五：裂項相消法之等差型 PAGEREF _Tc172580254 \h 20
\l "_Tc172580255" 題型六：裂項相消法之根式型 PAGEREF _Tc172580255 \h 25
\l "_Tc172580256" 題型七：裂項相消法之指數(shù)型 PAGEREF _Tc172580256 \h 27
\l "_Tc172580257" 題型八：裂項相消法之三角型 PAGEREF _Tc172580257 \h 32
\l "_Tc172580258" 題型九：倒序相加法 PAGEREF _Tc172580258 \h 36
\l "_Tc172580259" 題型十：分段數(shù)列求和 PAGEREF _Tc172580259 \h 38
\l "_Tc172580260" 題型十一：并項求和法之a(chǎn)n+1+(?1)nan=kn+b型 PAGEREF _Tc172580260 \h 42
\l "_Tc172580261" 題型十二：并項求和法之a(chǎn)n=(?1)nf(n)型 PAGEREF _Tc172580261 \h 45
\l "_Tc172580262" 題型十三：先放縮后裂項求和 PAGEREF _Tc172580262 \h 48
\l "_Tc172580263" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc172580263 \h 53
\l "_Tc172580264" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc172580264 \h 57
\l "_Tc172580265" 06易錯分析·答題模板 PAGEREF _Tc172580265 \h 60
\l "_Tc172580266" 易錯點：用錯位相減法求和時項數(shù)處理不恰當(dāng)出錯 PAGEREF _Tc172580266 \h 60
\l "_Tc172580267" 答題模板：錯位相減法求前n項和 PAGEREF _Tc172580267 \h 61
知識點1：數(shù)列求和常用方法
一．公式法
（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．
【診斷自測】已知等差數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，，求數(shù)列的前項和．
（說明：）
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由得：，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
；
則當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
綜上所述：.
解題方法總結(jié)
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數(shù)型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．

題型一：通項分析法
【典例1-1】觀察如下規(guī)律： ，該組數(shù)據(jù)的前項和為 .
【答案】45
【解析】設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，
則題中數(shù)列的和可以看成，
又因為題中數(shù)列的項數(shù)等于數(shù)列的前項和，
所以，
故題中數(shù)列的前項的和為.
故答案為：.
【典例1-2】求和．
【解析】∵
，
∴．
【方法技巧】
先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前 項和問題應(yīng)該強(qiáng)化的意識．
【變式1-1】數(shù)列9，99，999，的前項和為
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】數(shù)列通項，
．
故選：．
【變式1-2】求數(shù)列1，，，，，的前項之和．
【解析】由于，
所以前項之和
．
【變式1-3】（2024·上海徐匯·模擬預(yù)測）如圖，在楊輝三角中，斜線上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前項和為，則等于 ．
【答案】283
【解析】，，，…，，
而，，，…，，
前19項的和
．
故答案為：283．
題型二：公式法
【典例2-1】（2024·湖北黃岡·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且對一切正整數(shù)恒成立.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當(dāng)時，與兩式相減得.
∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴公比，.
又，∴，
∴
（2）∵由得，
∴
【典例2-2】（2024·高三·四川·學(xué)業(yè)考試）已知等差數(shù)列的前項和為，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求的前項和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，
所以，即，
所以,
所以，即；
（2）由（1）可知，，
所以，
又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以的前項和.
【方法技巧】
針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．
【變式2-1】已知等差數(shù)列的前四項和為10，且成等比數(shù)列
(1)求通項公式
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，
又成等比數(shù)列，所以，即，
整理得，得或，
若，則，，
若，則，得，，.
綜上所述：或.
（2）若，則，；
若，則，.
【變式2-2】已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)由，的公共項構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項之和．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，
因為
則，解得，
所以，
因為，
所以，則，
所以，
因為，所以，，
所以．
（2）設(shè)數(shù)列的第項與數(shù)列的第項相等，
則，，，
所以，，，
因為，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，當(dāng)時，
當(dāng)時，，則，當(dāng)時，
當(dāng)時，，則，
故的前5項之和．
題型三：錯位相減法
【典例3-1】設(shè)為數(shù)列的前項和，且.
(1)為何值時，是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當(dāng)時，，即，所以，
當(dāng)時，①，②，
①②得：，即，所以，
所以，當(dāng)時，是等比數(shù)列，首項為6，公比為3.
（2）由第（1）問得，，所以，
所以，
，
故
所以.
【典例3-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設(shè)的公差為，則，，
解得，.
故.
（2）由（1）可得，
所以，①
則，②
①②，得
，
所以.
【方法技巧】
錯位相減法求數(shù)列的前n項和的適用條件
若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．
【變式3-1】（2024·青海海南·二模）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為是等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）
由是等比數(shù)列，設(shè)公比為，則由得，所以，
所以，所以，故由得，
所以，所以，所以；
（2）由（1）可得，當(dāng)時，.
當(dāng)時，.經(jīng)檢驗不適合，
所以，所以，
則數(shù)列的前項和，
，
兩式相減可得，
所以.
【變式3-2】已知在等差數(shù)列中，公差大于0，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.
因為，，成等比數(shù)列，得，又因為，
則，解得（舍去）或，
則數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）得，
所以，①
則，②
①-②得 ，
所以.
【變式3-3】（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為．證明：．
【解析】（1）等比數(shù)列滿足，，所以單調(diào)遞增，
設(shè)的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意可得，
解得或（舍去），
所以，．
（2）由（1）可得，
所以
所以，
故，
又，，
即，
所以
．
【變式3-4】（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列滿足：．
(1)請寫出的值，給出一個你的猜想，并證明；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）因為，可得，，，
因此猜想是以1為首項，為公比的等比數(shù)列；
下面證明：
因為，即，
又因為，故是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）知，當(dāng)時，，
累加得，
所以，
當(dāng)時，滿足題意，所以對成立；
故，可得
其中，
設(shè)，則，
兩式相減得，即，
綜上可得，數(shù)列的前項和．
題型四：分組求和法
【典例4-1】已知數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前100項的和.
【解析】（1）當(dāng)時，，整理得，又，得
則數(shù)列是以-2為首項，-2為公比的等比數(shù)列.
則
（2）當(dāng)時，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
則
【典例4-2】在等比數(shù)列{}中，．
(1)求{}的通項公式；
(2)求數(shù)列{}的前n項和Sn．
【解析】（1）由題設(shè)，，則的公比，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
【方法技巧】
（1）分組轉(zhuǎn)化求和
數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．
（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
【變式4-1】在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
【解析】（1）由，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，得，
因此數(shù)列的公比，則，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）得，，
.
【變式4-2】等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
綜上，
【變式4-3】已知等差數(shù)列滿足（），數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，求．
【解析】（1），①，（），②，
得：，
∵為等差數(shù)列，∴，，
，即，
∴，
因為數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，，
即，解得：，
所以；
（2）由（1）可知，，，
且數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列，
其中，，此時，
所以數(shù)列中數(shù)列有項，數(shù)列有項，
，
．
題型五：裂項相消法之等差型
【典例5-1】已知公比為的等比數(shù)列的前項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）由，有，①
又由，有，②
①②得，
整理為，解得或，
由，可得，
可得數(shù)列的通項公式為；
（2）由，
有，
所以
．
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【典例5-2】已知數(shù)列，其中數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和；
【解析】（1）因為，所以，，
因為，所以，
又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，所以的公差，
故數(shù)列的通項公式，
所以，
即的通項公式．
（2）由（1）知，
則．
【變式5-1】已知數(shù)列的前項和為.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1），有，
當(dāng)時，有，
兩式相減得，
當(dāng)時，由，得，
檢驗：當(dāng)時也滿足，
所以
（2）由（1）知，，
所以
，
所以.
【變式5-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列（）中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和為，證明.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，即，解得，
所以，
所以數(shù)列的通項公式為；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化簡得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
【變式5-3】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】（1）由題意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是與的等差中項，得當(dāng)時，
，解得，
所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故.
（2）由（1）得，則
，
所以
，
所以，
所以.
【變式5-4】設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項和為．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)的前項和為，證明：．
【解析】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
題型六：裂項相消法之根式型
【典例6-1】已知數(shù)列的前n項和為，，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由得：
即，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，
由得，
設(shè)公差為d，，得，
所以，
故數(shù)列的通項公式為．
（2），
所以．
【典例6-2】已知數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）當(dāng)時，由，得：
由 ，
，
由上面兩式相減，得：
所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，得：
（2）
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
【變式6-1】已知數(shù)列，，，為其前n項和，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由題可知數(shù)列是等差數(shù)列，
所以，
，
又因為，所以；
（2）．
所以；
【變式6-2】已知數(shù)列的前n項和為，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由當(dāng)時，，
當(dāng)時，滿足上式，所以，
（2）
，
故．
題型七：裂項相消法之指數(shù)型
【典例7-1】已知等比數(shù)列{}的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，，數(shù)列{}的前n項和，且.
(1)求{}和{}的通項公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列{}的前n項和為.求證：.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，
，即，化為：，解得．
，，即，解得，
．
數(shù)列的前項和，且，
時，，化為：，
，數(shù)列是每項都為1的常數(shù)列，
，化為．
（2）證明：，
數(shù)列的前項和為，
．
【典例7-2】（2024·新疆·三模）若一個數(shù)列從第二項起，每一項和前一項的比值組成的新數(shù)列是一個等比數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等比數(shù)列”，如：1，3，27，729，…….已知數(shù)列是一個二階等比數(shù)列，，，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設(shè)，由題意得數(shù)列是等比數(shù)列，，，
則，即，
由累乘法得：，
于是，故.
（2）由（1）得
，
令，則，
∴
.
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
【變式7-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前n項和，是首項與公差均為1的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2024項的和．
【解析】（1）由是首項與公差均為1的等差數(shù)列得
則，當(dāng)時，，
兩式相減得，，
當(dāng)時，，也滿足上式，故數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）得，，
所以數(shù)列的前2024項的和為：
【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是正項等差數(shù)列的前項和，滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．
因為．所以令，得．
因為，所以．
令，得，即，
所以，所以公差，則．
所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．
（2）由（1）可得，
所以
．
【變式7-3】（2024·云南昆明·三模）正項數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）當(dāng)時，，即，，
所以，同理．
當(dāng)時，，化簡得：
，因為，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因為是等比數(shù)列，所以，即，所以．
（2）由（1）知，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，
，
，
同理當(dāng)為偶數(shù)時，．
所以.
【變式7-4】（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列和的各項均為正，且，是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項和滿足．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由題設(shè)，當(dāng)時或（舍），
由，知，
兩式相減得，
（舍）或，即，
∴數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，．
又．
（2）
則
當(dāng)n為偶數(shù)時，；
當(dāng)n為奇數(shù)時，．
所以.
題型八：裂項相消法之三角型
【典例8-1】數(shù)列各項均為正數(shù)，的前n項和記作，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和．
【解析】（1）當(dāng)時，有相減得，即，各項均為正數(shù)，
所以，
又當(dāng)時，，
解得或(舍)，
所以對任意正整數(shù)n，均有，
故是以首項為1，公差以1的等差數(shù)列，
所以．
（2）由于，
故，
由（1）得，
記前n項和為，則
，
所以.
【典例8-2】已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項和，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和
【解析】（1）數(shù)列中，，為前n項和，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，①，
②，
由②-①得：，，
即，
當(dāng)時，，遞推可得：，，，，
由累乘法可得：，
，又因為，所以，即，經(jīng)檢驗，當(dāng)時符合上式，
所以；
（2）由（1）可知，，所以：
，
所以
；
所以數(shù)列的前n項和.
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
（4），
則
【變式8-1】已知在數(shù)列中，.
(1)求數(shù)列 的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2024項和.
【解析】（1）因為，可得，
所以，當(dāng)時，，
即，又因為，則；
當(dāng)時，成立，所以.
（2）由（1）知，，
所以 ，
因為，
于是，
，
所以，所以數(shù)列的前項的和為.
【變式8-2】（2024·高三·江西·開學(xué)考試）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)且．若，則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（“|”為整除符號）．
(1)解同余方程：；
(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．
①若，數(shù)列的前n項和為，求；
②若，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由題意（md3），所以或（），
即或（）．
（2）由（1）可得為，所以．
①因為（），所以．
則．
②（）．
因為，
所以
．
【變式8-3】已知數(shù)列的前n項和為，，，
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前1012項和．
【解析】（1）當(dāng)時，因為，所以，
即．又，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以．
（2）由（1）知，，
，
而所以
．
題型九：倒序相加法
【典例9-1】（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，.若，則數(shù)列的前2023項和為 .
【答案】
【解析】由題意知，所以，即，
又因為，所以，
所以，
，
將兩式相加可得：.
故答案為：.
【典例9-2】德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，則的值為 .
【答案】1009
【解析】由函數(shù)，得，
令，
則，
兩式相加得，解得，
所以所求值為1009.
故答案為：1009
【方法技巧】
將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．
【變式9-1】在數(shù)列中，，則…的值是 .
【答案】1005
【解析】由得，
所以，
所以,相加可得,
故答案為：1005
【變式9-2】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為 .
【答案】2022
【解析】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，
即，所以，
所以，
所以
，
因此數(shù)列的前2022項和為，
故答案為：2022
【變式9-3】若函數(shù)，且數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項公式為 ；以，，為三角形三邊的長，作一系列三角形，若這一系列三角形所有內(nèi)角的最大值為，則 .
【答案】
【解析】由，可得
，
又因為，
所以根據(jù)倒序相加法計算，
可得，
所以；
因為三角形以，，為三邊長，又，所以以為長度的邊所對的角是三個內(nèi)角中最大的，
所以的最大值就是這一系列三角形所有內(nèi)角的最大值，
根據(jù)余弦定理，
故是遞增數(shù)列，所以當(dāng)時，取最小值，取最大值，
所以這一系列三角形所有內(nèi)角的最大值為，
因為，所以.
故答案為：；．
題型十：分段數(shù)列求和
【典例10-1】在數(shù)列中，，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求．
【解析】（1）∵，∴，
∴數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．
∵，∴，
∴
（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，則由（1）可得，
由（1）知，令，得，
∴當(dāng)時，，
則
；
當(dāng)時，，則，
∴
【典例10-2】已知數(shù)列的前項和滿足，則 .
【答案】961
【解析】因為，故當(dāng)時，，
因為，即，
故等比數(shù)列的公比為，所以；
由，
故答案為：961.
【方法技巧】
（1）分奇偶各自新數(shù)列求和
（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：
①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項”求和
【變式10-1】（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）因為，，
所以，解得或，
因為，所以，則；
（2）由（1）可得，
所以
.
【變式10-2】已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為，，，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若，，求數(shù)列的前100項和．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，
根據(jù)題意得即
解得或．
又因，所以．
所以的通項公式為．
（2）由（1）得．
即數(shù)列的偶數(shù)項是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，
奇數(shù)項是以為首項，16為公比的等比數(shù)列．
數(shù)列的前100項中偶數(shù)項有50項，奇數(shù)項有50項，
數(shù)列的前100項和．
，
．
所以．
【變式10-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由，可得，所以，
又由，所以，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
當(dāng)時，，所以，
又當(dāng)時，滿足上式，
所以的通項公式為.
（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時，；
當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以
【變式10-4】（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設(shè)的公差為，由題意知，即，
即有，因為，可得，，
所以；
（2）設(shè)數(shù)列的前項中的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，
則
，
，
所以．
題型十一：并項求和法之a(chǎn)n+1+(?1)nan=kn+b型
【典例11-1】數(shù)列滿足，前12項的和為298，則 ．
【答案】4
【解析】當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以，，，
所以 ；
當(dāng)為奇數(shù)時，，即
所以，，，，
，
所以
，所以.
故答案為：.
【典例11-2】已知數(shù)列的前項和為，.當(dāng)時，，則 .
【答案】1 010
【解析】由，，得，
兩式作差可得，，
即（），
所以.
故答案為：1010.
【方法技巧】
四四并項求和.
【變式11-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2020項的和為 ．
【答案】2020
【解析】在中，分別令，得，，兩式相加，得．
在中，分別令，得，，兩式相加，得，所以.
……
依此類推，可得，，，
所以數(shù)列的前2020項，有505組，故和為．
故答案為：2020.
【變式11-2】已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為 .
【答案】
【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，
令，此數(shù)列前項的和
故答案為：
【變式11-3】數(shù)列滿足，前8項的和為106，則
【答案】8
【解析】，
當(dāng)為奇數(shù)時，；
當(dāng)為偶數(shù)時，.
設(shè)數(shù)列的前項和為，
，解得.
故答案為：.
【變式11-4】數(shù)列滿足，前16項和為540，則 ．
【答案】-2
【解析】因為數(shù)列滿足，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
所以，，，，
則，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因為前16項和為540，
所以，
所以，解得．
故答案為：．
【變式11-5】已知數(shù)列中，為前項和，且，，則
【答案】3025
【解析】因為，所以，
所以，，即數(shù)列為周期數(shù)列，周期為，
因為，所以，
所以
故答案為：
題型十二：并項求和法之a(chǎn)n=(?1)nf(n)型
【典例12-1】已知數(shù)列的通項公式為，的前項和為，則 .
【答案】
【解析】當(dāng)時，則，
當(dāng)時，則，
當(dāng)時，.
，
，因此，.
故答案為.
【典例12-2】（2024·云南保山·二模）數(shù)列的通項公式，其前項和為，則 ．
【答案】
【解析】,
,
,
,
∴
故答案為
【方法技巧】
兩兩并項求和.
【變式12-1】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，對任意，有
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求的前100項的和.
【解析】（1）由，，
兩式相減得，即，
因為，所以，即，
故是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
記，則，
【變式12-2】在數(shù)列中，，且.
(1)求的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1），
是公比為2的等比數(shù)列.
，
.
（2），
所以.
當(dāng)n為偶數(shù)，
.
當(dāng)n為奇數(shù)
綜上：.
【變式12-3】已知等差數(shù)列中的前n項和為，且成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，記，求數(shù)列的前40項的和.
【解析】（1）設(shè)公差為，則，即
解得或 ，所以或；
（2）因為數(shù)列為遞增數(shù)列，，，，
所以
；
所以.
【變式12-4】數(shù)列通項為，為其前項的和，則 .
【答案】
【解析】當(dāng)時，；
同理可得：當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
∴，
，
∴
.
故答案為：.
題型十三：先放縮后裂項求和
【典例13-1】設(shè)數(shù)列前項和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．
(1)求、的通項公式；
(2)記，求證：．
【解析】（1）對任意的，，
當(dāng)時，由可得，
上述兩個等式作差得，所以，，
所以，，所以，，
令，則，故數(shù)列為常數(shù)列，且，
所以，，
也滿足，故對任意的，.
故，所以，.
（2）因為，解得，
所以，，
當(dāng)時，成立；
當(dāng)時，
，
此時，
綜上所述，對任意的，.
【典例13-2】記為數(shù)列的前項和，已知是首項為3，公差為1的等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：當(dāng)時，.
【解析】（1）∵是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，∴，
∴.∴當(dāng)時，，.
又不滿足，
∴的通項公式.
（2）當(dāng)時，，
，
∴，
∴.
【方法技巧】
先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．
【變式13-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）因為，，
所以，
故；
（2）證明：當(dāng)n＝1時，；
當(dāng)時，，
則，
故；
綜上，.
【變式13-2】（2024·天津河北·二模）已知是等差數(shù)列，其前項和為是等比數(shù)列，已知，是和的等比中項.
(1)求和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)記，求證：.
【解析】（1）由題意，
，
又是和的等比中項，得，
又，解得，
；
（2），
設(shè)，
則，
將以上兩式相減得
，
；
（3）
，
，
.
結(jié)論得證.
【變式13-3】如圖，已知點列在曲線上，點列在x軸上，，，為等腰直角三角形．
(1)求，，；（直接寫出結(jié)果）
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)設(shè)，證明：．
【解析】（1）由為等腰直角三角形，所以直線的直線斜率為1，
故直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，可解得或，
從而可得，可得的橫坐標(biāo)為1，因為，解得，
由，所以，可得，
可得，解得；
（2）由題意可得，所以，
所以，所以，
所以，
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，
（3）由（1）可得，
所以，
所以，
，
所以.
【變式13-4】（2024·山東煙臺·三模）在數(shù)列中，已知，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，為數(shù)列的前n項和，證明：.
【解析】（1）由可得，則，即，
故是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
故，則，.
（2）.
易得，故.
又，
故
.
綜上有，即得證.
1．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，所以，．
由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)時，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，
由累乘法可得，且，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
2．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折次，那么 .
【答案】 5
【解析】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設(shè)，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【解析】（1）因為,故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項和
.
4．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項和為．若．
(1)求數(shù)列前項和；
(2)設(shè)，．
（?。┊?dāng)時，求證：；
（ⅱ）求．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
當(dāng)時，則，即
可知，
，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，則；
若，則，
當(dāng)時，，可知為等差數(shù)列，
可得，
所以，
且，符合上式，綜上所述：.
1．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，令，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由題意知：，
即：化簡得.
所以數(shù)列的通項公式.
（2）因為
所以
化簡得：.
2．有理數(shù)都能表示成，且，m與n互質(zhì)）的形式，進(jìn)而有理數(shù)集且，m與n互質(zhì)}．任何有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．反之，任一有限小數(shù)也可以化為的形式，從而是有理數(shù)；那么無限循環(huán)小數(shù)是否為有理數(shù)？
思考下列問題：
（1）是有理數(shù)嗎？請說明理由．
（2）是有理數(shù)嗎？請說明理由．
【解析】無限循環(huán)小數(shù)也可以化成，且，m與n互質(zhì)）的形式，故無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，
（1）由，
，可以化為的形式，故是有理數(shù)；
（2）由，
，可以化為的形式，故是有理數(shù).
3．已知數(shù)列的首項，且滿足．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列．
（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n．
【解析】（1）由題意，數(shù)列滿足，可得，
可得，即，
又由，所以，
所以數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得，所以
設(shè)數(shù)列的前項和為，
則
，
若，即，
因為函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以滿足的最大整數(shù)的值為.
4．求和：
（1）（；
（2）．
【解析】（1）
=
=
（2）當(dāng)時：
當(dāng)時：記
化簡得：
綜上所述：
5．求下列數(shù)列的一個通項公式和一個前n項和公式：
1，11，111，1111，11111，…．
【解析】設(shè)該數(shù)列為 ，其前n項和為
因為

所以該數(shù)列的一個通項公式為，
6．在數(shù)列中，已知，．
(1)求證：是等比數(shù)列．
(2)求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由，得，
即，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得.
所以
.
7．若數(shù)列的首項，且滿足，求數(shù)列的通項公式及前10項的和．
【解析】，，
是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
，即，
.
易錯點：用錯位相減法求和時項數(shù)處理不恰當(dāng)出錯
易錯分析：在利用錯位相減法去求和時，對相減后的項處理不恰當(dāng)，容易導(dǎo)致漏掉項或者添加項出錯.
答題模板：錯位相減法求前n項和
1、模板解決思路
錯位相減法求前n項和是一種巧妙的方法，特別適用于等比數(shù)列。其核心思路在于，首先將原數(shù)列的每一項都乘以公比，形成錯位后的新數(shù)列。然后，將原數(shù)列與新數(shù)列進(jìn)行相減，從而消去大部分項，簡化求和過程。最后，通過簡單的代數(shù)運算即可求出前n項和。
2、模板解決步驟
第一步：寫出等比數(shù)列的前n項和公式，明確首項、公比和項數(shù)。
第二步：將數(shù)列的每一項都乘以公比，形成錯位后的新數(shù)列。
第三步：將原數(shù)列與新數(shù)列進(jìn)行相減，消去大部分項，得到簡化的表達(dá)式。
第四步：對簡化后的表達(dá)式進(jìn)行代數(shù)運算，求出前n項和。
【易錯題1】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，當(dāng)時，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由題意，得，
當(dāng)時，由，得.
又，化簡，得.
又，所以數(shù)列從第2項起，是以2為公比的等比數(shù)列，
所以.
綜上，.
（2）由（1）得，
所以當(dāng)時，①
②
①-②，得，
所以.
當(dāng)時，也滿足上式.
綜上，.
【易錯題2】已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足.求數(shù)列的前n項和；
【解析】（1）因為①，
當(dāng)時，，當(dāng)時，②，
得，即；因為符合，所以；
（2）由（1）知，所以，，
所以，兩式相減得，
，
所以；
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）公式法
（2）奇偶討論、并項分類
（3）倒序相加法
（4）裂項相消法
（5）錯位相減法
2023年甲卷（理）第17題，12分
2023年II卷第18題，12分
2023年I卷第20題，12分
高考對數(shù)列求和的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．?dāng)?shù)列的求和主要考查等差、等比數(shù)列的前 項和公式及非等差、等比數(shù)列的求和方法，其綜合性較強(qiáng)．?dāng)?shù)列求和問題以解答題的形式為主，偶爾出現(xiàn)在選擇填空題當(dāng)中，常結(jié)合函數(shù)、不等式綜合考查．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式．
（2）掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法．

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