?第八章 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
8.1　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
學(xué)習(xí)目標(biāo)
素養(yǎng)要求
1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)；
2.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性．
1.數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.數(shù)學(xué)建模
【自主學(xué)習(xí)】
一、變量的相關(guān)關(guān)系
1.兩個(gè)變量的關(guān)系
分類
函數(shù)關(guān)系
相關(guān)關(guān)系
特征
兩變量有 的關(guān)系
兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去 另一個(gè)的程度
2.散點(diǎn)圖:將樣本中的每一個(gè)序號(hào)下的成對(duì)數(shù)據(jù)用 中的點(diǎn)表示出來(lái)得到的統(tǒng)計(jì)圖.
3.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)
正相關(guān)
負(fù)相關(guān)
當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)
當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)
4.線性相關(guān):如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在 附近,則稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).
二、樣本的相關(guān)系數(shù)
1.相關(guān)系數(shù):統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用r==來(lái)衡量y與x的 ,這里的r稱為樣本相關(guān)系數(shù)(簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)).
2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
(1) 時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān); 時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān),-1≤r≤1;
(2)|r|越小,兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越 ,|r|越大,兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越 .
(3)|r|=1時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在 上.

【小試牛刀】
1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)
(1）作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．(　?。?br /> (2）勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間是相關(guān)關(guān)系．(　?。?br /> (3）散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段．(　　）
(4）兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，它們的相關(guān)性越強(qiáng)．(　?。?br /> 2.下列圖形中具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量是(　　)

【經(jīng)典例題】
題型一　相關(guān)關(guān)系與線性相關(guān)關(guān)系
點(diǎn)撥：1.函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系
函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.
2.兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法
(1)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)法:借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷;
(2)散點(diǎn)圖法:繪制散點(diǎn)圖,如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的,注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響.
例1 （1）下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是(　　）
A．正方體的棱長(zhǎng)和體積
B．單位圓中角的度數(shù)和所對(duì)弧長(zhǎng)
C．畝產(chǎn)量為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量
D．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量

（2） 對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi）(i＝1，2，…，10），得散點(diǎn)圖如圖(1）；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi）(i＝1，2，…，10），得散點(diǎn)圖如圖(2）.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(　?。?br /> A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)
B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)
D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
【跟蹤訓(xùn)練】1 5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)(單位:分)如下:

A
B
C
D
E
數(shù)學(xué)成績(jī)
80
75
70
65
60
物理成績(jī)
70
66
68
64
62
判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)是否具有線性相關(guān)關(guān)系.




題型二　相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度的判斷
點(diǎn)撥：1.相關(guān)系數(shù)可以反映兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度,即散點(diǎn)集中于一條直線的程度,其符號(hào)反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性.
2.變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,可通過(guò)散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)作出判斷,散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷,用相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度.
例2 用線性回歸模型求得甲、乙、丙3組不同的數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)分別為0.81，－0.98，0.63，其中________(填甲、乙、丙中的一個(gè)）組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)．
【跟蹤訓(xùn)練】2　關(guān)于兩個(gè)變量x和y的7組數(shù)據(jù)如表所示:
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325
試判斷y與x是否線性相關(guān),并刻畫(huà)它們的相關(guān)程度.




【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.已知兩個(gè)變量負(fù)相關(guān),且相關(guān)程度很強(qiáng),則它們的相關(guān)系數(shù)的大小可能是(　　)
A.-0.95 B.-0.13 C.0.15 D.0.96
2.對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系
B.都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系
C.都可以作出散點(diǎn)圖
D.都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系
3.對(duì)兩個(gè)變量x,y的幾組觀測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表,則這兩個(gè)相關(guān)變量的關(guān)系是(　　)
x
10
9
8
7
6
5
y
2
3
3.5
4
4.8
5
A.負(fù)相關(guān) B.正相關(guān)
C.先正后負(fù)相關(guān) D.先負(fù)后正相關(guān)
4.變量x,y的散點(diǎn)圖如圖所示,那么x,y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為(　　)

A.1 B.-0.5 C.0 D.0.5
5.現(xiàn)隨機(jī)抽取了某校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)與入學(xué)后的第一次考試數(shù)學(xué)成績(jī)(y),數(shù)據(jù)如表:
學(xué)生號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
請(qǐng)問(wèn):這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是否具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系?







【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
一、1.確定 精確地決定 2.直角坐標(biāo)系 3.增加的趨勢(shì) 減少的趨勢(shì) 4.一條直線
二、1.線性相關(guān)性的強(qiáng)弱 2. r>0 r

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