1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性．
在必修課程中，我們學(xué)習(xí)了單個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計(jì)特征的刻畫(huà)等知識(shí)與方法．例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，用方差刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度等．這些方法主要適用于通過(guò)樣本認(rèn)識(shí)單個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律． 在現(xiàn)實(shí)中，我們還經(jīng)常需要了解兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的關(guān)系．例如，教育部門為掌握學(xué)生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關(guān)系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預(yù)防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會(huì)影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；商家要根據(jù)顧客的意見(jiàn)改進(jìn)服務(wù)水平，希望了解哪些因素影響服務(wù)水平，以及這些因素是如何起作用的；等等． 為此，我們需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)通過(guò)樣本推斷變量之間關(guān)系的知識(shí)和方法．
本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容有成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、一元線性回歸模型和列聯(lián)表等，這些知識(shí)與方法在解決實(shí)際問(wèn)題中非常有用．可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測(cè)；利用列聯(lián)表可以檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性． 本章的學(xué)習(xí)對(duì)于提高我們解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)都是非常有幫助的．
我們知道，一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系．一般而言，個(gè)子高的人往往體重值較大，個(gè)子矮的人往往體重值較?。砀卟⒉皇菦Q定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時(shí)間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素．像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系(crrelatin)．
兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在．例如：1．子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，父親的個(gè)子高，其子女的個(gè)子也會(huì)比較高；父親個(gè)子矮，其子女的個(gè)子也會(huì)比較矮．但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高．2．商品銷售收入y與廣告支出x之間的關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，廣告支出越多，商品銷售收入越高．但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)．
兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在．例如：3．空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會(huì)上升．但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素．4．糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系．在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)就越高．但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響．
因?yàn)樵谙嚓P(guān)關(guān)系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無(wú)法直接用函數(shù)去描述變量之間的這種關(guān)系．對(duì)上述各例中兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們往往會(huì)根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗(yàn)作出推斷．“經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律”，經(jīng)驗(yàn)的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)驗(yàn)推斷又有不足． 例如，不同經(jīng)驗(yàn)的人對(duì)同一情形可能會(huì)得出不同結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗(yàn)可循等．因此，在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，我們需要借助數(shù)據(jù)說(shuō)話，即通過(guò)樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ停倮媚Ｐ瓦M(jìn)行估計(jì)或推斷．
在對(duì)人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如表8.1-1所示．表中每個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)體的觀測(cè)結(jié)果，它們構(gòu)成了成對(duì)數(shù)據(jù)
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？
為了更加直觀地描述上述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類似于用直方圖描述單個(gè)變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征．用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表8.1-1中每個(gè)編號(hào)下的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了如圖8.1-1所示的統(tǒng)計(jì)圖． 我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖(scatter plt)．
觀察圖8.1—1可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢(shì)．這樣，由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系．
如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)(psitive crrelatin)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)(negative crrelatin)．
由圖8.1—1，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量正相關(guān)．
思考：（1）兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？ （2）你能舉出生活中兩個(gè)變量正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的一些例子嗎？
散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法．觀察散點(diǎn)圖8.1-1，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點(diǎn)落在某條直線附近． 一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)(linear crrelatin)．
觀察散點(diǎn)圖8.1-2，我們發(fā)現(xiàn)：圖(1)中的散點(diǎn)落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說(shuō)明這兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；類似地，圖(2)中的散點(diǎn)落在一條折線附近，這兩個(gè)變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān)；圖(3)中的散點(diǎn)雜亂無(wú)章，無(wú)規(guī)律可言，看不出兩個(gè)變量有什么相關(guān)性． 一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．
兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.
把成對(duì)樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.
一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的增加呈現(xiàn)減小的趨勢(shì).
一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的增加呈現(xiàn)增加的趨勢(shì).
完成教材：第103頁(yè)練習(xí)第3,4題.
1．舉例說(shuō)明什么叫相關(guān)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)別？
例如，身高與腳長(zhǎng)的關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)，身高較高的人腳長(zhǎng)也會(huì)較長(zhǎng)，但身高相同的人腳長(zhǎng)末必相同； 受教育程度和收人水平的關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)，受教育程度高的人收入也較高，但受教育程度相同的人收入未必相同． 相關(guān)關(guān)系是指從總的變化趨勢(shì)來(lái)看，變量之間存在著某種關(guān)系，但這種關(guān)系又不能用函數(shù)關(guān)系完全表達(dá)出來(lái)．相關(guān)關(guān)系是不確定性的數(shù)量關(guān)系，對(duì)其中一個(gè)變量的每個(gè)取值，另一個(gè)變量可能有多個(gè)不同的取值；
而函數(shù)關(guān)系是確定性的數(shù)量關(guān)系，對(duì)自變量的每個(gè)取值，因變量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．
2．根據(jù)下面的散點(diǎn)圖，判斷圖中的兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．
3．下表給出了一些地區(qū)的鳥(niǎo)的種類數(shù)與該地區(qū)的海拔高度的數(shù)據(jù)，鳥(niǎo)的種類數(shù)與海拔高度是否存在相關(guān)關(guān)系？如果是，那么這種相關(guān)關(guān)系有什么特點(diǎn)？
從散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的分布看，鳥(niǎo)的種類數(shù)與海拔高度正相關(guān)，鳥(niǎo)的種類數(shù)在海拔高度1000m以上的明顯多于在海拔高度1000m以下的．但從局部看，不管是在海拔高度1000m以上，還是在海拔高度1000m以下，鳥(niǎo)的種類數(shù)和海拔高度正相關(guān)都不明顯

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8.1 成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第三冊(cè)

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