3．4　函數(shù)的應(yīng)用（一）知識(shí)點(diǎn)一　一次函數(shù)模型形如y＝kx＋b的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中k≠0. 知識(shí)點(diǎn)二　二次函數(shù)模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．頂點(diǎn)式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．3．兩點(diǎn)式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)． 知識(shí)點(diǎn)三　分段函數(shù)模型若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．  知識(shí)點(diǎn)四　冪函數(shù)模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)．2．單調(diào)性：其增長(zhǎng)情況由xα中的α的取值而定．  題型一、一次函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例1．某公司市場(chǎng)營(yíng)銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營(yíng)銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是（       ）A．310元         B．300元         C．390元        D．280元【答案】B【詳解】依題意，解得. 故選：B2．商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個(gè)定價(jià)為20元，茶杯每個(gè)定價(jià)為5元，該商店現(xiàn)推出兩種優(yōu)惠辦法：（1）買一個(gè)茶壺贈(zèng)送一個(gè)茶杯．（2）按購(gòu)買總價(jià)的92%付款．某顧客需購(gòu)茶壺4個(gè)，茶杯若干個(gè)（不小于茶壺?cái)?shù)），若購(gòu)買茶杯數(shù)為x（個(gè)），付款數(shù)為y（元），試用兩種優(yōu)惠辦法分別建立y與x之間的函數(shù)解析式，并指出如果顧客需買茶杯40個(gè)應(yīng)選擇哪種優(yōu)惠辦法．【詳解】由優(yōu)惠辦法（1）可得函數(shù)解析式為；由優(yōu)惠辦法（2）可得函數(shù)解析式為．當(dāng)該顧客買茶杯40個(gè)時(shí)，采用（1）應(yīng)付款（元）；采用（2）應(yīng)付款（元）．由于，故選擇優(yōu)惠辦法（2）． 題型二、二次函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例1．（多選）某商品A以每件2元的價(jià)格出售時(shí)，銷售量為10萬(wàn)件.經(jīng)過調(diào)查，單價(jià)每提高0.2元，銷售量減少5000件，要使商品A銷售總收入不少于22.4萬(wàn)元，該商品A的單價(jià)可定為（       ）A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元【答案】BCD【詳解】設(shè)商品A的單價(jià)為元，則銷量為萬(wàn)件，此時(shí)商品A銷售總收入為萬(wàn)元，根據(jù)題意有，解得，故BCD符合題意.故選:BCD 2．某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示.銷售單價(jià)/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240 請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少40桶，設(shè)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷售利潤(rùn)為y元，在此情況下的日均銷售量為480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)．令520－40x>0，則0<x<13.y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200＝－40(x－6.5)2＋1 490,0<x<13.易知，當(dāng)x＝6.5時(shí)，y有最大值．所以只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大利潤(rùn)． 題型三、分段函數(shù)模型1．李莊村電費(fèi)收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：方案一：每戶每月收管理費(fèi)2元，月用電不超過30度每度0.5元，超過30度時(shí)，超過部分按每度0.6元.方案二：不收管理費(fèi)，每度0.58元.（1）求方案一收費(fèi)元與用電量（度）間的函數(shù)關(guān)系（2）李剛家月用電量在什么范圍時(shí)，選擇方案一比選擇方案二更好？【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.∴（2）設(shè)按第二方案收費(fèi)為元，則.當(dāng)時(shí)，由，得∴∴.當(dāng)時(shí)，由，得∴∴.綜上，.故李剛家月用電量在25度到50度范圍內(nèi)（不含25、50度）時(shí)，選擇方案一比方案二更好. 題型四、冪函數(shù)模型 1．某企業(yè)為努力實(shí)現(xiàn)“碳中和”目標(biāo)，計(jì)劃從明年開始，通過替換清潔能源減少碳排放量，每年減少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均為，并預(yù)計(jì)年后碳排放量恰好減少為今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量為今年碳排放量的，按照計(jì)劃至少再過多少年，碳排放量不超過今年碳排放量的？【詳解】設(shè)今年碳排放量為.（1）由題意得，所以，得.（2）設(shè)再過年碳排放量不超過今年碳排放量的，則，將代入得，即，得.故至少再過年，碳排放量不超過今年碳排放量的.   1．劉先生購(gòu)買了一部手機(jī)，欲使用某通訊網(wǎng)絡(luò)最近推出的全年免流量費(fèi)用的套餐，經(jīng)調(diào)查收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：套餐月租本地話費(fèi)長(zhǎng)途話費(fèi)套餐甲12元0.3元/分鐘0.6元/分鐘套餐乙無(wú)0.5元/分鐘0.8元/分鐘劉先生每月接打本地電話時(shí)間是長(zhǎng)途電話的5倍（手機(jī)雙向收費(fèi)，接打話費(fèi)相同）．(1)設(shè)劉先生每月通話時(shí)間為x分鐘，求使用套餐甲所需話費(fèi)的函數(shù)及使用套餐乙所需話費(fèi)的函數(shù)；(2)請(qǐng)你根據(jù)劉先生每月通話時(shí)間為劉先生選擇較為省錢的套餐．【詳解】(1)因?yàn)閯⑾壬吭陆哟虮镜仉娫挄r(shí)間是長(zhǎng)途電話的5倍，所以他每月接打本地電話時(shí)間為，接打長(zhǎng)途．若選擇套餐甲，則月租12元，本地話費(fèi)，長(zhǎng)途話費(fèi)，則；若選擇套餐乙，則月租0元，本地話費(fèi)，長(zhǎng)途話費(fèi)，則．(2)∵，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)應(yīng)選擇套餐乙省錢；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)應(yīng)選擇套餐甲省錢；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)甲乙兩種套餐話費(fèi)一樣． 2．暑假期間，某旅行社為吸引中學(xué)生去某基地參加夏令營(yíng)，推出如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：若夏令營(yíng)人數(shù)不超過30，則每位同學(xué)需交費(fèi)用600元；若夏令營(yíng)人數(shù)超過30，則營(yíng)員每多1人，每人交費(fèi)額減少10元（即：營(yíng)員31人時(shí)，每人交費(fèi)590元，營(yíng)員32人時(shí)，每人交費(fèi)580元，以此類推），直到達(dá)到滿額70人為止.（1）寫出夏令營(yíng)每位同學(xué)需交費(fèi)用（單位：元）與夏令營(yíng)人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)夏令營(yíng)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可以獲得最大收入？最大收入是多少？【詳解】（1）由題意可知每人需交費(fèi)關(guān)于人數(shù)的函數(shù)：（2）旅行社收入為，則，即，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，為開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸，所以在對(duì)稱軸處取得最大值，.綜上所述：當(dāng)人數(shù)為45人時(shí)，最大收入為20250元. 3．某人驅(qū)車以的速度從地駛往處的地，到達(dá)地并停留后，再以的速度返回地，試將此人驅(qū)車走過的路程（單位：）表示為時(shí)間（單位：）的函數(shù).【詳解】由題知，A地到B地花費(fèi)在路上的時(shí)間，從B地返回A地花費(fèi)在路上的時(shí)間，所以根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的表達(dá)式為. 4．小王進(jìn)行投資研究，發(fā)現(xiàn)投資開餐館的收益與投資金額的關(guān)系是，的部分圖象如圖1；投資運(yùn)輸運(yùn)營(yíng)的收益與投資金額的關(guān)系是，的部分圖象如圖2.（收益與投資金額單位：萬(wàn)元）（1）求，的解析式；（2）小王準(zhǔn)備將自己的存款100萬(wàn)元全部投資餐館和運(yùn)輸運(yùn)營(yíng)，如何分配才能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬(wàn)元？【詳解】（1）由圖1，得，解得，∴，由圖2，得，解得，∴.（2）設(shè)最大收益為萬(wàn)元，投資餐館資金為萬(wàn)元，投資運(yùn)輸運(yùn)營(yíng)萬(wàn)元.由題意得.∴，由，解得，故在為增函數(shù)，由，解得，故在為減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，.∴投資餐館資金為93.75萬(wàn)元，投資運(yùn)輸運(yùn)營(yíng)6.25萬(wàn)元，才能使投資獲得最大收益，其最大收益為萬(wàn)元.   1．某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資額的函數(shù)；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元（精確到1萬(wàn)元）？【詳解】(1)設(shè)投資額為萬(wàn)元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，由題設(shè)，，由圖可知（1），所以，又（4），所以，所以，；(2)設(shè)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為萬(wàn)元，，，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)為萬(wàn)元，即4.0625萬(wàn)元． 2．某市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：里程收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過3公里的部分10元（起步價(jià)）超過3公里但不超過8公里的部分每公里2元超過8公里的部分每公里3元 (1)設(shè)里程為公里時(shí)乘車費(fèi)用為元，請(qǐng)根據(jù)題意完善下列解題過程：①當(dāng)時(shí)，_________；②當(dāng)時(shí)，__________；③當(dāng)時(shí)，__________.綜上，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是(2)若計(jì)價(jià)器中顯示的里程數(shù)為5公里，問乘客需支付多少費(fèi)用?(3)若某乘客微信支付了32元的費(fèi)用，問該乘客的乘車?yán)锍淌嵌嗌俟?/span>?【詳解】(1)根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)列式，可得．時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，所以，故答案為：①10；②；③；10；；(2)由（1）知時(shí)，；(3)由函數(shù)式知時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，而，所以時(shí)，，． 3．某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗(yàn)．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時(shí)間（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當(dāng)每毫升血液含藥量不低于4微克時(shí)，該藥能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒藥，多長(zhǎng)時(shí)間后該藥能起到有效抗病毒的效果？(2)某次實(shí)驗(yàn)：先給小白鼠服用1粒藥，6小時(shí)后再服用1粒，請(qǐng)問這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為多少小時(shí)？【詳解】(1)設(shè)服用1粒藥，經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克，可得，解得，所以小時(shí)后該藥能起到有效抗病毒的效果．(2)設(shè)經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；若，藥物濃度，  解得，若，藥物濃度，               化簡(jiǎn)得，所以；                           若，藥物濃度，解得，所以；                                           綜上，                                                               所以這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為小時(shí)． 4．某公司一年需要一種計(jì)算機(jī)元件8000個(gè)，每個(gè)電子元件單價(jià)為a元，每天需同樣多的元件用于組裝整機(jī)，該元件每年分n次進(jìn)貨，每次購(gòu)買元件的數(shù)量均為x，每次單價(jià)不變，購(gòu)一次貨需手續(xù)費(fèi)500元．已購(gòu)進(jìn)而未使用的元件要付庫(kù)存費(fèi)，可以認(rèn)為平均庫(kù)存量為件，每個(gè)元件的庫(kù)存費(fèi)是一年2元．（1）將公司每年總費(fèi)用F表示成x的函數(shù)；（2）請(qǐng)你幫公司核算一下，每年進(jìn)貨幾次花費(fèi)最小．【詳解】（1）由題意可知，n＝，F＝8000a+500n+2?x＝x+500?+8000a，即：F＝x++8000a；（2）由（1）可知，F＝x++8000a＝+500n+8000a＝4000+8000a．當(dāng)且僅當(dāng)，即n＝4時(shí)，總費(fèi)用最少，故每年進(jìn)貨4次花費(fèi)最小． 5．某公司研發(fā)芯片耗費(fèi)資金2千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A芯片的毛收入（平萬(wàn)元）與投入的資金x（千萬(wàn)元）成正比，已知每投入1千萬(wàn)元，獲得毛收入0.25千萬(wàn)元；生產(chǎn)B芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金x（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式為，其圖像如圖所示.（1）試分別求出生產(chǎn)A，B兩種芯片的毛收入與投入資金的函數(shù)關(guān)系式.（2）如果公司只生產(chǎn)一種芯片，生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？（3）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時(shí)生產(chǎn)A，B兩種芯片，設(shè)投入x千萬(wàn)元生產(chǎn)B芯片，用表示公司所獲利潤(rùn)，當(dāng)x為多少時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？并求最大利潤(rùn).（利潤(rùn)=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研發(fā)耗費(fèi)資金）【詳解】（1）由題易得生產(chǎn)A芯片的毛收入為；將，，代入，得，所以，所以，生產(chǎn)B芯片的毛收入為.（2）由，得；由，得；由，得.所以，當(dāng)投入資金大于16千萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A芯片的毛收入更大；當(dāng)投入資金等于16千萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A，B芯片的毛收入相等；當(dāng)投入資金小于16千萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)B芯片的毛收入更大.（3）設(shè)投入x千萬(wàn)元生產(chǎn)B芯片，則投入千萬(wàn)元資金生產(chǎn)A芯片.公司所獲利潤(rùn).故當(dāng)，即千萬(wàn)元時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為9千萬(wàn)元. 

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