第01講：數(shù)與式【考點梳理】考點一、乘法公式【公式1】平方差公式：【公式2】完全平方公式：【公式3】完全立方公式：【公式4】（完全平方公式）【公式5】(立方和公式)【公式6】(立方差公式) 考點二、指數(shù)式當(dāng)時，. 當(dāng)時，⑴零指數(shù)，  ⑵負(fù)指數(shù).⑶分?jǐn)?shù)指數(shù) 為正整數(shù)).冪運算法則：.⑷考點三、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1)  (2) (3)  (4) 如果有，那么叫做的次方根，其中為大于的整數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，. 四、分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)． 【專題突破】一、單選題1．已知實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為（       ） A． B． C． D．2．實數(shù)，，，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（       ） A．表示的數(shù)可以是 B．C． D．3．下列說法正確的是（       ）①若，則②，則；③若，則；④實數(shù)x，y，z滿足，則的最大值是20A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④4．若，則的值是（       ）A． B． C． D．5．已知，，則代數(shù)式的值為（       ）A． B． C． D．6．已知、為不同的兩個實數(shù)，且滿足，，當(dāng)為整數(shù)時，的值為（       ）A．或 B．或 C．或 D．或 7．如果，，那么代數(shù)式的值是（       ）A． B． C． D．8．若，則等于（ ）A．4 B．2 C．－2 D．19．下列運算正確的是（       ）A． B．C． D．10．乘積等于（       ）A． B．C． D．11．若是的三條邊，且，則這個三角形是（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形12．小明同學(xué)做了下面四道計算題：①；②；③；④，其中正確的是（       ）A．① B．② C．③ D．④13．已知a＝+2，b＝2﹣，則a2020b2019的值為（　?。?/span>A．﹣﹣2 B．﹣+2 C．1 D．﹣114．已知m，n是方程x2＋5x＋3＝0的兩根，則m＋n的值為（       ）A．－2 B．2 C．±2 D．以上都不對15．已知均為正整數(shù)，且滿足，則（       ）A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空題16．設(shè)，且，求=_________.17．_____________.18．已知，，則的值為____________.19．若為非零實數(shù)，且，則____________.20．已知是方程的兩個實數(shù)根，且，則____．21．已知，求=_______.22．計算___________23．已知，，則的值為__________．三、解答題24．已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為.求值：（1）；   （2）. 25．閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行類似于二次根式的運算時，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）請用兩種不同的方法化簡：；（2）化簡：.    26．回答下列問題.（1）正數(shù)，滿足，求的值.（2）若，求的值.27．已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝，求a4+b4+c4的值．28．若x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩根．（1）求| x1-x2|的值；   （2）求的值；   （3）．29．計算或化簡下列各式(1);(2).   30．（1）化簡：；（2）先化簡再求值：，其中．
參考答案：1．A【詳解】由數(shù)軸可知 ， ， ， ， ， .故選：A2．C【詳解】A選項，由于，所以A選項錯誤.B選項，由于，所以，所以B選項錯誤.C選項，由于，所以，所以，所以C選項正確.D選項，，所以，所以D選項錯誤.故選：C3．A【解析】【分析】先利用配方法將等式變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性即可判斷①；利用整式的乘法法則求出，由此即可判斷②；先將兩個已知等式相加可得，令，則，解一元二次方程求出的值，由此即可判斷③；先求出，從而可得，再利用完全平方公式求出的值，然后利用偶次方的非負(fù)性求出最大值即可判斷④．【詳解】解：，，，，，說法①正確；，，，說法②正確；，，令，則，解得或，即或，說法③錯誤；，，，，則的最大值是28，說法④錯誤；綜上，說法正確的是①②，故選：A．4．D【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求得，從而求得.【詳解】依題意可知，所以.故選：D5．B【解析】【分析】由已知可得：，，把變形并代入計算即可求解.【詳解】由已知可得：，故選：B6．A【解析】【分析】由已知可得，可得出，求出的可能取值，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，可得，因為，且，則，因為為整數(shù)，則也為整數(shù)，且或，故或.故選：A.7．A【解析】【分析】轉(zhuǎn)化所求的代數(shù)式，結(jié)合已知條件求得正確答案.【詳解】.故選：A8．B【解析】【分析】由得出，再求即可.【詳解】因為，所以即故選：B9．D【解析】【分析】根據(jù)乘法的分配律即可判斷A；根據(jù)完全平方公式即可判斷B；根據(jù)指數(shù)冪的乘方即可判斷C；根據(jù)分?jǐn)?shù)的減法運算即可判斷D.【詳解】解：對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D.10．C【解析】【分析】利用平方差公式將式子展開，進(jìn)而對式子化簡.【詳解】原式=故選：C.11．D【解析】【分析】先將等式進(jìn)行因式分解為，再對兩個因式進(jìn)行討論即可．【詳解】解：，，，，或，或，，，為的三條邊，為等腰三角形或直角三角形．故選：D12．C【解析】【分析】由整數(shù)指數(shù)冪的運算可判斷①④ ；由完全平方公式可判斷② ；由平方差公式可判斷③【詳解】由題意，①由整數(shù)指數(shù)冪的運算，，故①錯誤；②由完全平方公式，，故②錯誤；③由平方差公式，，故③正確；④由整數(shù)指數(shù)冪的運算，，故④錯誤故選：C13．A【解析】【分析】由積的乘方與同底數(shù)冪的乘法，可得a2020b2019＝（ab）2019?a，然后由平方差公式求解即可求得答案.【詳解】解：∵，∴a2020b2019＝（ab）2019?a＝[（+2）（2﹣）]2019?（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2.故選：A.【點睛】此題考查了二次根式的乘法以及積的乘方與同底數(shù)冪的乘法.注意掌握積的乘方與同底數(shù)冪的乘法公式的逆用.14．A【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到，，且，，利用，代入原式可得結(jié)果.【詳解】因為m，n是方程x2＋5x＋3＝0的兩根，所以，，所以，，所以m＋n.故選：A.【點睛】本題考查了韋達(dá)定理，屬于基礎(chǔ)題.15．D【解析】【分析】根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【詳解】，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化，掌握分?jǐn)?shù)的變形是解題基礎(chǔ)．16．【解析】【分析】可對左右同時平方，結(jié)合平方關(guān)系即可求解【詳解】對左右同時平方得同時由可判斷，則，故答案為【點睛】本題考查利用整體法求解表達(dá)式數(shù)值，和的平方與差的平方的關(guān)系，可簡單記為：17．【解析】【分析】根據(jù)根式的化簡和分母有理化即可得出答案.【詳解】解：化簡得：，整理得：.故答案為：.【點睛】本題考查二次根式的乘除法和利用分母有理化化簡根式.18．24【解析】【分析】由題得即得解.【詳解】由題得.故答案為2419．或【解析】【分析】由于與不能同時為0，不妨設(shè)，由解得或，再代入即可得出結(jié)果.【詳解】由有意義，可知與不能同時為0．不妨設(shè)，由，化為，解得或，把代入，可得，把代入，可得，故答案為：或.【點睛】本題主要考查了方程的解法和求代數(shù)式的值，屬于基礎(chǔ)題20．【解析】【分析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為是方程的兩個實數(shù)根，所以，由，又因為，所以，所以．故答案為：.21．１【解析】將式子三個一分組，每組都有因式x2+x+1，求得答案.【詳解】由，則.故答案為：１.【點睛】本題考查了多項式化簡求值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.22．【解析】【分析】把分母有理化，可得，然后合并同類項可求.【詳解】當(dāng)為正整數(shù)時，，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查分母有理化，平方差公式是去掉分母中根號的利器，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).23．.【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式，展開，代入已知即可求解.【詳解】根據(jù)完全平方公式可得：，所以，解得：.【點睛】本題主要考查了三個數(shù)的和的完全平方公式，屬于中檔題.24．（1）；（2）.【解析】【分析】利用韋達(dá)定理可得，再對所求式子進(jìn)行變行，即；；兩根和與積代入式子，即可得到答案；【詳解】解：因為一元二次方程的兩個實數(shù)根為，所以由根與系數(shù)關(guān)系可知.（1）；（2）.25．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分母有理化和平方差公式計算；（2）先分母有理化，然后合并即可.【詳解】（1）方法一：原式＝＝；方法二：原式＝＝；（2）原式＝.【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可，屬于基礎(chǔ)題.26．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意解得，的關(guān)系，代入所求式子即可得結(jié)果.（2）利用偶次根式性質(zhì)先化簡所求的根式，再將代入計算.【詳解】（1）由可得，即，則或，由，為正數(shù)，可得，則.（2）.27．0.005．【解析】【分析】先對a+b+c＝0兩邊平方，從而得出2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，再對2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，兩邊平方，從而得出a2b2+a2c2+b2c2＝0.0025和(a2+b2+c2)2＝0.01，即可得出a4+b4+c4．【詳解】解：∵a+b+c＝0，∴(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，∵a2+b2+c2＝＝0.1，∴2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，∵(2ab+2ac+2bc)2＝4(a2b2+a2c2+b2c2+2a2bc+2ab2c+2abc2)＝0.01，∵2a2bc+2ab2c+2abc2＝2abc(a+b+c)＝0，∴a2b2+a2c2+b2c2＝0.0025①,(a2+b2+c2)2＝a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)＝0.01②由①②得出，a4+b4+c4＝0.005．【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，是中檔題，有一定的難度，要準(zhǔn)確把握公式的反復(fù)使用．28．（1）；（2）；（3）-．【解析】【分析】(1)利用韋達(dá)定理求出，將| x1-x2|平方并用表示出即可得解；(2)利用韋達(dá)定理求出，將通分并用表示出即可得解；(3) 利用韋達(dá)定理求出，將分解因式并用表示出即可得解.【詳解】x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩根， 由韋達(dá)定理得，，(1)，則；(2)；(3).29．(1);(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可得；（2）利用立方差與立方和以及平方差公式因式分解可得.【詳解】(1)原式.(2)原式.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算性質(zhì)，考查了立方，立方差與平方差公式，屬于基礎(chǔ)題.30．（1）（2）【解析】【分析】（1）將和寫成完全平方形式，開方可得結(jié)果.（2）利用完全平方式和平方差公式先化簡式子，然后將代入即可得到答案.【詳解】（1），，（2）將已知式子化簡得，其中，故   

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