?3．3　冪函數(shù)

知識點一　冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．

知識點二　五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．在同一平面直角坐標系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．

2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)

y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x－1
定義域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上減
增
增
在(0，＋∞)上減，
在(－∞，0)上減

知識點三　一般冪函數(shù)的圖象特征
1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．
2．當α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．
特別地，當α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當00必成立，所以，冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限，C正確
故選：C．

4．“”是“”的（???????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，又，
所以，解得，
因為由可推出，而由無法推出，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.

5．（多選）若函數(shù)的定義域為且為奇函數(shù)，則可能的值為（???????）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【詳解】對于A，當時，定義域為，不符合題意，故選項A不正確；
對于B，當時，的定義域為且為奇函數(shù)，故選項B正確；
對于C，當時，的定義域為且為偶函數(shù)，故選項C不正確；
對于D，當時，的定義域為且為奇函數(shù)，故選項D正確；
故選：BD.

6．（多選）下列說法中錯誤的是（???????）
A．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限
B．的圖象是一條直線
C．若函數(shù)的定義域為，則它的值域為
D．若函數(shù)的值域為是，則它的定義域一定是
【答案】BCD
【詳解】對于A，由冪函數(shù)的圖象知，它不經(jīng)過第四象限，所以A對；
對于B，因為當時，無意，即在無定義，所以B錯；
對于C，函數(shù)的定義域為，則它的值域為，不是，所以C錯；
對于D，定義域不一定是，如，所以D錯.
故選：BCD.

7．（多選）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列命題正確的有（???????）
A．函數(shù)為增函數(shù)
B．函數(shù)為減函數(shù)
C．若，則
D．若，則
【答案】AC
【詳解】設冪函數(shù)為實數(shù)，∵其圖像經(jīng)過點，∴，解得，
∴，其定義域為，且在上為增函數(shù)，A正確；
時，，選項C正確；
∵函數(shù)是上凸函數(shù)，
∴對定義域內(nèi)任意的，都有成立，選項D錯誤.
故選：AC.

8．寫出一個在區(qū)間上單調(diào)遞減的冪函數(shù)__________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】由題意知：為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故答案為：（答案不唯一）.

9．寫出一個同時具有下列三個性質(zhì)的函數(shù)：________.①；②在上單調(diào)遞增；③.
【答案】或其他
【詳解】例如，是單調(diào)遞增函數(shù)，，滿足三個條件.
故答案為：.（答案不唯一）

10．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.
【答案】
【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得.
，故，，.
當時 ，不關(guān)于軸對稱，舍去；
當時 ，關(guān)于軸對稱，滿足；
當時 ，不關(guān)于軸對稱，舍去；
故，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
故或或，解得或.
故答案為：

11．已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；
(3)求函數(shù)的值域．
【詳解】(1)依題意，即，解得，因為，所以或或，所以或或
(2)若定義域為，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；
若定義域為，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若定義域為，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；
(3)若，則為奇函數(shù)，當時，所以時，所以函數(shù)的值域為；
若，則為偶函數(shù)，當時，所以時，所以函數(shù)的值域為；
若，則為奇函數(shù)，當時，所以時，所以函數(shù)的值域為；
12．已知冪函數(shù)．
(1)若的圖象在時位于直線的上方，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若的圖象在時位于直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．
【詳解】(1)根據(jù)題意，當時，，
因為指數(shù)函數(shù)（以為自變量，底數(shù)為常數(shù)）是單調(diào)減函數(shù)，
故，即的取值范圍為.
(2)根據(jù)題意，當時，，
因為指數(shù)函數(shù)（以為自變量，底數(shù)為常數(shù)）是單調(diào)增函數(shù)，
故，即的取值范圍為.

13．比較下列各組數(shù)的大?。?br /> (1)，1，
(2)，
(3)，
【答案】(1)；(2)；(3).
【詳解】(1)，冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故；
(2)，冪函數(shù)在上減函數(shù)，故；
(3)函數(shù)為減函數(shù)，，
又函數(shù)在上是增函數(shù)，，即.

14．已知，函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，且與x軸、y軸均無交點，求m的值．
【答案】1，3，5，7.
【詳解】因為冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且與x軸、y軸均無交點，所以，解得，
因為，所以的值為奇數(shù)，
所以當時，，圖象關(guān)于原點對稱，滿足題意；
當時，，圖象關(guān)于y軸對稱，不滿足題意；
當時，，圖象關(guān)于原點對稱，滿足題意；
當時，，圖象關(guān)于y軸對稱，不滿足題意；
當時，，圖象關(guān)于原點對稱，滿足題意；
當時，，圖象關(guān)于y軸對稱，不滿足題意；
當時，，圖象關(guān)于原點對稱，滿足題意；
綜上所述：m的值為：1，3，5，7.

15．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)滿足條件?，試求實數(shù)的取值范圍．
【詳解】(1)因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則有，所以，
所以；
(2)因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又函數(shù)在上遞增，且?，
所以?，
所以，解得，
所以滿足條件??的實數(shù)??的取值范圍為?.

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