【暑假初高銜接】初三數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019）-2.2《基本不等式》同步講學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2．2　基本不等式知識(shí)點(diǎn)一　基本不等式1．如果a>0，b>0，≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 2．變形：ab≤2，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．a＋b≥2，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．知識(shí)點(diǎn)二　用基本不等式求最值用基本不等式≤求最值應(yīng)注意：一正二定三相等.(1)a，b是正數(shù)；(2)①如果ab等于定值P，那么當(dāng)a＝b時(shí)，和a＋b有最小值2；②如果a＋b等于定值S，那么當(dāng)a＝b時(shí)，積ab有最大值S2.(3)討論等號(hào)成立的條件是否滿足．題型一、基本不等式比較大小1．已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（）A． B． C． D．2．(多選)當(dāng)a，時(shí)，下列不等關(guān)系不成立的是（）A． B． C． D． 3．（多選）若，且，則在四個(gè)數(shù)中正確的是（）A． B． C． D．題型二、基本不等式求和的最小值1．（1）若，求的最小值，并求此時(shí)的值．（2）若實(shí)數(shù)，求的最小值，并求此時(shí)的值．（3）求函數(shù)的最小值．（4）已知，求的最小值.（5）已知，求函數(shù)的最大值． 2．已知，求的最小值．題型三、基本不等式求積的最大值1．（1）已知，且，求的最大值；（2）已知，，且，求的最大值．（3）已知，，且滿足，求的最大值 2．（1）已知，求函數(shù)的值域；（2）已知，求的最大值． 3．已知正數(shù)滿足，求下列式子的最大值．(1)(2) 題型四、二次與二次（或一次）的商式的最值1．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.（3）已知，求最小值. 2．若，求函數(shù)的最小值. 題型五、基本不等式“1”的妙用求最值1．觀察下面的解答過(guò)程：已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最小值．解：∵， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合得，時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為．請(qǐng)類比以上方法，解決下面問(wèn)題：(1)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值；(2)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值． 2．（1）若正數(shù)滿足，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值．（3）已知且，求的最小值． 3．已知，，且，求的最小值．題型六、條件等式求最值 1．求解下列問(wèn)題：(1)若，且，求的最小值；(2)若，且，求的最小值. 2．設(shè)x＞0，y＞0.(1)若x+2y＝4 ，求的最大值；(2)若x+2y＝5 ，求的最小值；(3)求的最小值. 3．已知正數(shù)a，b滿足(1)求ab的最大值；(2)求的最小值． 4．已知正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值. 題型七、基本不等式的恒成立問(wèn)題1．已知，．(1)若，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值；(3)若．且恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最小值． 2．已知，，且.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值. 題型八、對(duì)勾函數(shù)求最值1．(1)已知，求的最大值，并求此時(shí)x的值；(2)已知，求的最小值(提示：利用圖像助解)． 2．已知，則的最值為（）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 3．（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）若函數(shù)在上的最小值為6，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍. 4．求下列函數(shù)的最值：（1）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最大值（2）已知，求的最小值．題型九、有關(guān)基本不等式的應(yīng)用題1．某地政府為增加農(nóng)民收人，根據(jù)當(dāng)?shù)氐赜蛱攸c(diǎn)，積極發(fā)展農(nóng)產(chǎn)品加工業(yè).經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，加工某農(nóng)產(chǎn)品需投入固定成本3萬(wàn)元，每加工噸該農(nóng)產(chǎn)品，需另投入成本萬(wàn)元，且已知加工后的該農(nóng)產(chǎn)品每噸售價(jià)為10萬(wàn)元，且加工后的該農(nóng)產(chǎn)品能全部銷售完.(1)求加工后該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與加工量（噸）的函數(shù)關(guān)系式；(2)求加工后的該農(nóng)產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值. 2．如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制）的矩形生態(tài)種植園．設(shè)生態(tài)種植園的長(zhǎng)為，寬為． (1)若生態(tài)種植園面積為，則為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最??？(2)若使用的籬笆總長(zhǎng)度為，求的最小值． 3．運(yùn)貨卡車以千米/時(shí)的速度勻速行駛300千米，按交通法規(guī)限制(單位千米/時(shí))，假設(shè)汽車每小時(shí)耗油費(fèi)用為元，司機(jī)的工資是每小時(shí)元．（不考慮其他因所素產(chǎn)生的費(fèi)用）(1)求這次行車總費(fèi)用(元)關(guān)于(千米/時(shí))的表達(dá)式；(2)當(dāng)為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低？求出最低費(fèi)用的值．題型十、證明不等式1．證明：(1)；(2)． 2．已知.證明：； 3．已知正數(shù)，滿足，證明： 1．若，，，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D． 2．若，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D． 3．若，且，試找出2，2ab中的最大者． 4．(1)當(dāng)x＞0時(shí)，求＋4x的最小值；(2)當(dāng)x＞1時(shí)，求2x＋的最小值. 5．已知，求最大值. 6．（1）已知，求的最小值；（2）已知，，求的最大值. 7．當(dāng)x<時(shí)，求函數(shù)y＝x＋的最大值. 8．已知，且，求的最小值. 9．（1）已知，求的最大值．（2）已知，求的最大值． 10．（1）若對(duì)成立，求a的取值范圍；（2）若x>-3，求函數(shù)最小值. 11．已知，，，求的最小值并求出此時(shí)a，b的值. 12．已知，且，求ab的最大值. 13．已知x，y都是正實(shí)數(shù)．(1)求證：；(2)若，求的最小值． 14．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 15．已知.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 16．如圖，公園的管理員計(jì)劃在一面墻的同側(cè)，用彩帶圍成四個(gè)相同的長(zhǎng)方形區(qū)域.若每個(gè)區(qū)域的面積為m，要使圍成四個(gè)區(qū)域的彩帶總長(zhǎng)最小，則每個(gè)區(qū)域的長(zhǎng)和寬分別是多少米？求彩帶總長(zhǎng)的最小值. 17．某商廈欲在春節(jié)期間對(duì)某新上市商品開(kāi)展促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該商品的銷售量為萬(wàn)件與促銷費(fèi)用萬(wàn)元滿足.已知萬(wàn)件該商品的進(jìn)價(jià)成本為萬(wàn)元，商品的銷售價(jià)格定為元/件.(1)將該商品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；(2)促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，商家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？ 1．（多選）已知，則a，b滿足（）A． B． C． D．2．（多選）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D． 3．（多選）若，則（）A． B． C． D． 4．（多選）設(shè)a＞0，b＞0，則（）A． B．C． D． 5．（多選）已知，，且，則（）A． B． C． D． 6．（多選）若a＞b＞0＞c，則( )A． B． C． D． 7．若正數(shù)，滿足，求的最小值. 8．（1）求函數(shù)的最小值；（2）解關(guān)于的不等式：. 9．（1）已知，求函數(shù)的值域；（2）已知，，且，求：的最小值． 10．若，求的最小值； 11．已知，，且.(1)求的最大值.(2)若，求的最小值. 12．已知正數(shù)滿足.(1)求的最大值；(2)求的最小值. 13．已知，求函數(shù)的最小值． 14．（1）已知，，，求的最小值，及此時(shí)x、y的值；（2）已知，，，求的最小值，及此時(shí)x、y的值． 15．（1）比較與的大小.（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍. 16．求下列函數(shù)的最值(1)已知，求的最小值；(2)已知0＜x＜1，求的最大值；(3)已知，且，求的最小值. 17．（1）設(shè)，，且，求的取值范圍；（2）設(shè)，若，求的最大值． 18．（1）已知，求函數(shù)的最小值；（2）已知，且，求的最大值． 19．已知正數(shù)，，滿足．(1)求的最大值；(2)證明：． 20．已知均為正數(shù)，且.(1)求的最小值；(2)證明：. 21．已知.求的最小值. 22．某廠家擬在2021年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量（即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）x（單位：萬(wàn)件）與年促銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）滿足（ k 為常數(shù)），如果不舉行促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品的年銷售量是1萬(wàn)件．已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）.(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）表示為年促銷費(fèi)用m的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？(3)若該廠家2021年的促銷費(fèi)用不高于2萬(wàn)元，則當(dāng)促銷費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該廠家的利潤(rùn)最大？

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