【暑假初高銜接】初三數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019）-第04講《二次函數(shù)與不等式》同步講學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第04講：二次函數(shù)與不等式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元二次不等式及其解法1．形如的不等式稱為關(guān)于的一元二次不等式．2．一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱：三個(gè)二次)．以二次函數(shù)為例：(1) 作出圖象.(2)圖象與軸的交點(diǎn)是，即當(dāng)時(shí)，．就是說對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩實(shí)根是．(3) 當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的上方．(4) 就是說的解是．當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的下方．就是說的解是．一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù).(2) 觀察相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象．①如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) ．那么(圖1)： ②如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) ．那么(圖2)：無解③如果圖象與軸沒有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根 (也可由根的判別式來判斷) ．那么(圖3)：取一切實(shí)數(shù) 無解解一個(gè)一元二次不等式的話，也可以按以下步驟處理：(1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(2) 若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)；(3) 否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．考點(diǎn)二、簡(jiǎn)單分式不等式的解法說明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)?． (2) 也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào)(比如例(2))：.考點(diǎn)三、含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式．(1) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(2) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(3) 當(dāng)時(shí)，不等式化為：；① 若，則不等式無解；② 若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)．【考點(diǎn)梳理】一、單選題1．不等式的解集為（）A．R B． C． D．2．若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．3．關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知不等式的解集為，則（）A． B． C． D．7．對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B．C． D．9．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（）A．或 B．C．或 D． 10．已知，關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A．B．C．D．11．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．12．關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．13．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B． C． D．14．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．15．不等式的解集為，則的解集為（）A． B．C． D．二、填空題16．二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：342112505 則關(guān)于x的不等式的解集為__________． 17．關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式的解集是或，則關(guān)于x的不等式的解集是________．18．不等式的解集為___________.19．若不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．20．若，則的取值范圍為___________.21．若關(guān)于x的不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.22．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.三、解答題23．解不等式：(1)(2)24．解不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．25．已知一元二次函數(shù)，滿足．(1)求的解析式；(2)解關(guān)于x的不等式．26．解關(guān)于x的不等式27．已知關(guān)于x的不等式的解集為．(1)寫出a和b滿足的關(guān)系；(2)解關(guān)于x的不等式．28．已知關(guān)于的函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.29．已知函數(shù)．(1)求關(guān)于x的不等式的解集；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．30．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．
參考答案：1．B【解析】【分析】分解因式法可求出結(jié)果.【詳解】由，得，得，所以不等式的解集為.故選：B2．C【解析】【分析】由題設(shè)可得，討論的大小關(guān)系求解集，并判斷滿足題設(shè)情況下m的范圍即可.【詳解】不等式，即，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是4，5，6，故；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是0，1，2，故；故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：C3．D【解析】【分析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，恰有一個(gè)零點(diǎn)屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因?yàn)榉匠?/span>恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點(diǎn)或者，另一個(gè)零點(diǎn)屬于，把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)屬于，，解得，當(dāng)時(shí)，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選：D4．D【解析】【分析】將化為，將看成主元，令，分，和三種情況討論，從而可得出答案.【詳解】解：恒成立，即，對(duì)任意得恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，不符題意，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，則，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，則，解得或（舍去），綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)開口向上，且判別式小于0計(jì)算即可【詳解】由題，一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立則，即，解得故選：B6．A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集和一元二次方程根的關(guān)系直接求解即可.【詳解】由不等式的解集知：和是方程的兩根，.故選：A.7．D【解析】【分析】采用分離變量的方式，結(jié)合基本不等式可求得，進(jìn)而得到所求范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，解得：，即的取值范圍為.故選：D.8．A【解析】【分析】由題意，保證當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，只需，求解即可【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A9．B【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集，得到，代入中即可求解.【詳解】由題意得，即，所以即，解得．故選：B10．A【解析】【分析】由利用韋達(dá)定理可得，代入所求不等式解不等式即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁?/span>的解集為，所以即，不等式等價(jià)于，解得.故選：A.11．C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可知是二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，要使得函數(shù)在上時(shí)是減函數(shù)，則必須，即；故選：C.12．C【解析】【分析】由題知對(duì)恒成立，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁?/span>對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．當(dāng)時(shí)，由題意，得，即，解得，綜上，的取值范圍為．故選：C13．A【解析】【分析】先由題給條件求得，，，再解不等式即可.【詳解】關(guān)于x的不等式的解集為，且和1是方程的兩個(gè)根，則，，關(guān)于x的不等式，即，，解得，故不等式的解集為，故選：A14．C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，即可得到答案；【詳解】由題意得：，故選：C15．A【解析】【分析】分析可知關(guān)于的方程的兩根分別為、，利用韋達(dá)定理可求得、的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解.【詳解】由題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為、，則，可得，故所求不等式為，即，解得.故選：A.16．【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即可得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；【詳解】解：∵，∴對(duì)稱軸為，∴，又∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的解集為．故答案為：17．【解析】【分析】由不等式的解集求得，然后再解一元二次不等式．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式的解集是或，所以，解得，所以不等式為，即，或．故答案為：．18．【解析】【分析】先將分式不等式轉(zhuǎn)化為，再解一元二次不等式即可.【詳解】，解得，故解集為，故答案為.19．【解析】【分析】分和兩種情況分析求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為滿足題意；當(dāng)時(shí)，需滿足，解得綜上可得，a的取值范圍為，故答案為：20．【解析】【分析】一元二次不等式，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)；由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可以求出m的范圍.【詳解】由，得.由題意可得，，即.因?yàn)?/span>，所以，故.故答案為：21．【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，可知只需判別式，利用所得不等式求得結(jié)果.【詳解】不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，，解得：故答案為：.22．【解析】【分析】要使對(duì)任意的，恒成立，即在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的下方，可得，解之即可得出答案.【詳解】解：要使對(duì)任意的，恒成立，即在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的下方，由圖像得，要使上述成立，只需，即，則①式解得，②式解得，所以.故答案為：.23．(1)或；(2).【解析】【分析】（1）將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，然后因式分解，進(jìn)而求得答案；（2）將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，進(jìn)而求出答案.(1)由題意，，所以原不等式的解集為{或}.(2)原不等式可化為，則原不等式的解集為．24．(1)或；(2)；(3)，，；(4)，，．【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法步驟，分別求解對(duì)應(yīng)的一元二次不等式解集即可．(1)不等式可化為，即，解得或，∴原不等式的解集為或；(2)不等式可化為，解得，∴不等式的解集為；(3)不等式化為，即，解得，即或，∴原不等式的解集為，，；(4)不等式可化為，即，解得，即或，∴原不等式的解集為，，．25．(1)(2)解集見解析【解析】【分析】（1）將已知代入解析式即可求出c、b的值；（2）不等式化為，計(jì)算討論a的取值范圍，求出不等式對(duì)應(yīng)的方程的解，即可寫出對(duì)應(yīng)不等式的解集.(1)解：函數(shù)，由，得因?yàn)?/span>，所以解得；所以.(2)關(guān)于x的不等式可化為因?yàn)?/span>所以當(dāng)即時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程無實(shí)數(shù)根，又二次函數(shù)的圖像開口向上，所以原不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，時(shí)，原不等式的解集為；時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)即或時(shí)，原不等式對(duì)應(yīng)的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，分別為且所以原不等式解集為.綜上所知，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，原不等式解集為.26．答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】原不等式可化為然后分，和三種情況求解不等式【詳解】解：關(guān)于x的不等式可化為（1）當(dāng)時(shí)，，解得．（2）當(dāng)，所以所以方程的兩根為-1和，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為．當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，．（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榉匠?/span>的兩根為—1和，又因?yàn)?/span>，所以．即不等式的解集是，綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或}，27．(1)(2)【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，結(jié)合不等式的解集即可判斷，得到即可得到a和b滿足的關(guān)系.（2）可用或對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出不等式的解集.(1)解：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?/span>，所以，且，解得．(2)由（1）得則不等式等價(jià)為，即，即．因?yàn)?/span>，所以不等式的解為．即所求不等式的解集為．（說明：解集也可以用a表示）28．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解即可；（2）將所求不等式化為，根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解即可.(1)當(dāng)時(shí)，，由得：或，的解集為或.(2)由得：，當(dāng)時(shí)，令，解得：，，則由得：或，的解集為.29．(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出對(duì)應(yīng)方程的根，再根據(jù)根的大小進(jìn)行討論，即可得解；（2）對(duì)任意的，恒成立，即恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值即可得解.(1)解：由已知易得即為：，令可得與，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；(2)解：由可得，由，得，所以可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的取值范圍是.30．(1)(2)或【解析】【分析】（1）代入解不等式組可得答案；（2）由題意，結(jié)合最大值為0最小值是分、數(shù)形結(jié)合可得答案.(1)當(dāng)時(shí)，不等式，即為，即，所以，所以或，所以原不等式的解集為．(2)，由題意或，這時(shí)解得，若，則，所以；若，即，所以，則，綜上，或．

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