?人教版三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)暑假預(yù)習(xí)與檢測(cè)銜接講義
第9單元 數(shù)學(xué)廣角--集合

在日常生活中，人們常常需要統(tǒng)計(jì)一些數(shù)量，在統(tǒng)計(jì)的過(guò)程中，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)有些數(shù)量重復(fù)出現(xiàn)，為了使重復(fù)出現(xiàn)的部分不致被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，既先不考慮重復(fù)的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排除出去，使計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)．這種計(jì)數(shù)方法稱為包含排除法，也叫做容斥原理或重疊問(wèn)題．
一般方法：
在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考．
容斥原理1：兩量重疊問(wèn)題
A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和=A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)-既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)
用符號(hào)可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符號(hào)“∪”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思，符號(hào)“∩”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思）．

容斥原理2：三量重疊問(wèn)題
A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和=A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)-既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)-既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)-既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是A類、B類、C類的元素個(gè)數(shù)．
用符號(hào)表示為：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C


【例1】同學(xué)們進(jìn)行跳繩和跑步達(dá)標(biāo)練習(xí)，跳繩達(dá)標(biāo)的有24人，跑步達(dá)標(biāo)的有30人，兩項(xiàng)都達(dá)標(biāo)的有20人。根據(jù)上述信息，填寫在圖中。

【分析】?jī)身?xiàng)都達(dá)標(biāo)的有20人，跳繩達(dá)標(biāo)的有24人，減去20就是只是跳繩達(dá)標(biāo)的人數(shù)；同理，跑步達(dá)標(biāo)的有30人，減去20就是只是跑步達(dá)標(biāo)的人數(shù)；據(jù)此解答即可。
【解答】解：24﹣20＝4（人）
30﹣20＝10（人）

【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。
【例2】根據(jù)下面統(tǒng)計(jì)表，把同學(xué)們的名字填在如圖所示中合適的位置，再填空。
三（1）班參加興趣小組情況統(tǒng)計(jì)表
音樂組
周丹
李紅
朱一
楊蘭
馬杰
美術(shù)組
陳東
朱一
宋軍
王麗
楊蘭
既參加音樂組又參加美術(shù)組的有　2　人。

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中參加各興趣小組的名單，完成圖示，并結(jié)合圖示回答問(wèn)題即可。
【解答】解：如圖：

答：既參加音樂組又參加美術(shù)組的有2人。
故答案為：2。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。
【例3】一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)．全班36人中，做對(duì)第一道聰明題的有21人，做對(duì)第二道聰明題的有18人，每人至少做對(duì)一道題．問(wèn)兩道都做對(duì)的有幾人？
【分析】用做對(duì)第一道題的人數(shù)加上第二道題的人數(shù)，然后再減去全班的總?cè)藬?shù)就是兩題都做對(duì)的人數(shù)．
【解答】解：21+18﹣36，
＝39﹣36，
＝3（人）；
答：兩道都做對(duì)的有3人．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于簡(jiǎn)單的容斥原理問(wèn)題，關(guān)鍵是明確兩題都做對(duì)的人數(shù)重復(fù)數(shù)了兩次，所以做對(duì)第一道題的人數(shù)加上做對(duì)第二道題的人數(shù)減去總?cè)藬?shù)就是兩題都做對(duì)的人數(shù)．
【例4】四年級(jí)二班有45人，會(huì)下象棋的有21人，會(huì)下圍棋的有17人，兩種棋都不會(huì)的有10人．兩種棋都會(huì)的有多少人？
【分析】先求出會(huì)下象棋的人數(shù)與圍棋的人數(shù)和，再加上兩樣都不會(huì)下的人數(shù)，這樣就比全班的總?cè)藬?shù)多算了一次兩種棋都會(huì)下的人數(shù)，所以再減去總?cè)藬?shù)45，就是兩種棋都會(huì)下的人數(shù)．
【解答】解：21+17+10﹣45
＝48﹣45
＝3（人）
答：兩種棋都會(huì)下的有3人．
【點(diǎn)評(píng)】本題依據(jù)了容斥原理公式之一：既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)+非A非B元素個(gè)數(shù)﹣元素總個(gè)數(shù)．
【例5】五年級(jí)一班有40人，他們都參加了英語(yǔ)課外興趣小組或信息技術(shù)課小組，已知參加了英語(yǔ)課外小組的有32位同學(xué)，參加了信息技術(shù)課外小組的有20位同學(xué)，那么，兩個(gè)小組都參加的同學(xué)有多少位？
【分析】由容斥原理可知：參加了英語(yǔ)課外小組的有32位同學(xué)加上參加了信息技術(shù)課外小組的有20位同學(xué)，再減去40人就是兩個(gè)小組都參加的同學(xué)．
【解答】解：32+20﹣40
＝52﹣40
＝12（位）
答：兩個(gè)小組都參加的同學(xué)12位．
【點(diǎn)評(píng)】本題為基本的容斥原理題目，其公式為：A類B類元素個(gè)數(shù)總和＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．

一．選擇題（共8小題）
1．三年級(jí)舉辦“經(jīng)典誦讀”展示活動(dòng)，其中三（2）班共有45人參加，參加古詩(shī)詞誦讀的有37人，參加美文朗讀的有26人，每位同學(xué)至少參加了一項(xiàng)。兩項(xiàng)都參加的有多少人？下列算式正確的是（　?。?br /> A．45﹣37＝9 （人） B．45﹣26＝19 （人）
C．（26+37）﹣45＝18 （人）
2．同學(xué)們?nèi)?dòng)物園游玩，參觀熊貓館的有25人，參觀猴山的有32人，兩個(gè)景點(diǎn)都參觀的有18人，去動(dòng)物園的一共有（　?。┤?。
A．57 B．50 C．39
3．第一小組訂閱《漫畫》和《兒童文學(xué)》情況如圖所示，（每人至少訂了一種）。求第一小組一共多少人，錯(cuò)誤的關(guān)系式是（　?。?br />
A．只訂（漫畫》的人數(shù)+只訂《兒童文學(xué)》的人數(shù)
B．只訂《漫畫》的人數(shù)+訂《兒童文學(xué)》的人數(shù)
C．只訂《漫畫》的人數(shù)+兩種都訂的人數(shù)+只訂《兒童文學(xué)》的數(shù)
4．三（1）班訂《數(shù)學(xué)報(bào)》和《語(yǔ)文報(bào)》，每人至少訂一份，有22人訂《數(shù)學(xué)報(bào)》，24人訂《語(yǔ)文報(bào)》，11人兩種都訂了，三（1）班有（　?。┤?。
A．57 B．55 C．35
5．三（1）班每人都參與了向?yàn)?zāi)區(qū)小朋友獻(xiàn)愛心活動(dòng)，有20人捐圖書，有15人捐衣物，其中有3人既捐圖書又捐衣物。三（1）班一共有（　?。┤?。
A．35 B．38 C．32
6．四年級(jí)一班的同學(xué)參加跳繩和踢毽子比賽（每人至少報(bào)一項(xiàng)），參加跳繩的有35人，參加踢毽子的有29人。兩項(xiàng)都參加的有21人，四年級(jí)一班有（　?。┤?。
A．64 B．43 C．50
7．三一班有32人參加了午餐配餐、課后延時(shí)服務(wù)，其中參加午餐配餐的有25人，參加課后延時(shí)的有29人。三一班既參加午餐配餐又參加課后延時(shí)服務(wù)的有（　?。┤?。
A．22 B．25 C．32
8．三（1）班有50名同學(xué)，在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中答對(duì)第一題的有25人，答對(duì)第二題的有20人，兩道題都答對(duì)的有10人，請(qǐng)問(wèn)：兩道題都沒有答對(duì)的有（　　）
A．10人 B．15人 C．20人
二．填空題（共8小題）
9．四（1）班做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有32人，做完語(yǔ)文作業(yè)的有29人，兩種作業(yè)都做完的有15人，全班每人至少做完其中的一種作業(yè)。四（1）班有學(xué)生　 　人。
10．佳美水果店昨天進(jìn)了蘋果、香蕉、菠蘿、櫻桃4種水果，今天進(jìn)了梨、菠蘿、草莓、芒果和香蕉5種水果，昨天和今天該水果店一共進(jìn)了　 　種水果。
11．研究100以內(nèi)含有“3”的數(shù)，先填寫右邊的圈，再數(shù)或算得一共有　 　個(gè)這樣的數(shù)。

12．302班全體同學(xué)喜歡球類運(yùn)動(dòng)的情況如下：喜歡足球的有35人，喜歡籃球的有24人，兩項(xiàng)都喜歡的有17人，302班共有　 　人，只喜歡足球一個(gè)項(xiàng)目的有　 　人。
13．40名同學(xué)參加興趣小組，參加合唱小組的有23人，參加舞蹈隊(duì)的有26人，既參加合唱小組又參加舞蹈隊(duì)的有　 　人。
14．三（1）班一共有48名學(xué)生，每人至少參加一項(xiàng)陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)。其中參加跳繩的有27人，參加踢毽子的有26人，兩項(xiàng)都參加的有　 　人。
15．三（1）班有32人訂閱了《小學(xué)科學(xué)》，有24人訂閱了《紙上天文館》，有12人兩種刊物都訂閱了，每人至少訂閱了其中的一種刊物，三（1）班共有　 　人。
16．東風(fēng)小學(xué)組織同學(xué)們參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，三年級(jí)參加跳遠(yuǎn)的有6人，參加跳高的有8人，同時(shí)參加這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有3人。參加這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有　 　人，只參加跳高的有　 　人。
三．判斷題（共5小題）
17．任意給出5個(gè)不同的自然數(shù)，其中兩數(shù)之差是4的倍數(shù)的至少有一對(duì)．　 　（判斷對(duì)錯(cuò)）
18．同學(xué)們到動(dòng)物園游玩，參觀熊貓館的10人，參觀大象館的8人，兩個(gè)館都參觀的是3人，去動(dòng)物園的一共有18人．　 ?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
19．參加語(yǔ)文課外小組的有8人，參加數(shù)學(xué)課外小組的有9人，其中有3人兩樣都參加，參加課外小組的一共有14人．　 　（判斷對(duì)錯(cuò)）
20．三年級(jí)一共有31人參加了舞蹈組或美術(shù)組，其中參加舞蹈組的有19人，參加美術(shù)組的有24人，兩個(gè)小組都參加的有12人．　 ?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
21．三（1）班讀過(guò)《安徒生童話》的有20人，讀過(guò)《格林童話》的有27人，有8人兩種書都讀過(guò)，至少每人讀過(guò)其中的一本，這個(gè)班共有學(xué)生55人．…　 ?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
四．應(yīng)用題（共4小題）
22．實(shí)驗(yàn)小學(xué)三（一）喜歡籃球的有9人，喜歡足球的有15人，兩種球都喜歡的有4人。
（1）填寫如圖；
（2）喜歡足球或喜歡籃球的一共有多少人？

23．三（1）班有50人，下課后每人都至少做完了一門作業(yè)，其中做完語(yǔ)文作業(yè)的有35人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有40人，兩種作業(yè)都做完的有多少人？
24．四（3）班學(xué)生都訂了報(bào)紙，其中訂《中國(guó)少年報(bào)》的有38人，訂《少年智力開發(fā)報(bào)》的有35人．已知四（3）班共有52名學(xué)生，則兩種報(bào)紙都訂了的學(xué)生有多少人？
25．某班一次考試有52人參加，共有5道題，每道題做錯(cuò)的人數(shù)如下：
題號(hào)
1
2
3
4
5
人數(shù)
4
6
10
20
39
又知道每人至少做對(duì)一道題，做對(duì)一道題的有7人，5道題全做對(duì)的有6人，做對(duì)2道題的人數(shù)和3道題的人數(shù)一樣多，那么做對(duì)4道題的有多少人？
五．操作題（共1小題）
26．商店昨天進(jìn)的水果品種有：菠蘿，水蜜桃，梨，西瓜，草莓，蘋果，紅桔．
商店今天又進(jìn)了一些水果，品種有：梨，草莓，蘋果，香蕉．
（1）把兩天進(jìn)的水果品種填在合適的圈里．
（2）商店兩天一共進(jìn)了　 　種水果．

六．解答題（共5小題）
27．同學(xué)們一起去“豐收農(nóng)家樂”采摘．采摘草莓的有23人，采摘黃瓜的18人，草莓和黃瓜都采摘的有9人．
（1）填寫如圖．
（2）去“豐收農(nóng)家樂”的一共有　 　人．

28．通過(guò)調(diào)查三（1）班所有同學(xué)知道，每位同學(xué)家中都至少擁有小汽車和摩托車中的一種，有小汽車的25戶，有摩托車的38戶，兩種交通工具都擁有的有18戶．
（1）根據(jù)以上信息填寫如圖．
（2）三（1）班一共有　 　人．

29．三年級(jí)（1）班參加書法、繪畫興趣組的學(xué)生名單如下表：
書法組
馮玉
李欣
廖國(guó)健
張瑤
周振榮
周可平
繪畫組
李欣
盧曉東
邱志強(qiáng)
張瑤
陳宇
周振榮
（1）填一填
（2）參加書法組和繪畫組的學(xué)生一共有多少人？
（3）兩個(gè)興趣組都參加的有多少人？

30．在一次課外圖書閱讀調(diào)查中：三（5）班學(xué)生喜歡讀故事書的35人，喜歡讀科技書的18人，其中9人兩類書都喜歡讀，
（1）在圖中括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)．
（2）三（5）班共有多少人？

31．30名學(xué)生報(bào)名參加美術(shù)小組．其中有26人參加了美術(shù)組，17人參加了書法組．問(wèn)兩個(gè)組都參加的有多少人？
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】根據(jù)容斥問(wèn)題公式：既A又B＝A+B﹣總?cè)藬?shù)，用參加古詩(shī)詞誦讀的人數(shù)加上參加美文朗讀的人數(shù)，減去全班總?cè)藬?shù)即可求出兩項(xiàng)都參加的人數(shù)。
【解答】解：根據(jù)題意，求兩項(xiàng)都參加的人數(shù)，用參加古詩(shī)詞誦讀的人數(shù)加上參加美文朗讀的人數(shù)，減去全班總?cè)藬?shù)，算式正確的是：
（26+37）﹣45＝18 （人）
故選：C。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查容斥問(wèn)題，關(guān)鍵利用容斥問(wèn)題公式：總?cè)藬?shù)＝A+B﹣既A又B，計(jì)算即可。
2．【分析】根據(jù)容斥問(wèn)題公式，用參觀熊貓館的25人加上參觀猴山的32人，再減去兩個(gè)景點(diǎn)都參觀的18人，就是去動(dòng)物園的總?cè)藬?shù)。
【解答】解：25+32﹣18
＝57﹣18
＝39（人）
答：去動(dòng)物園的一共有39人。
故選：C。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。
3．【分析】訂閱《漫畫》的人數(shù)包括只訂閱《漫畫》的人數(shù)和兩種都訂閱的人數(shù)；同理，訂閱《兒童文學(xué)》的人數(shù)包括只訂閱《兒童文學(xué)》的人數(shù)和兩種都訂閱的人數(shù)；據(jù)此求出第一小組一共有多少人即可。
【解答】解：只訂《漫畫》的人數(shù)+訂《兒童文學(xué)》的人數(shù)＝只訂《漫畫》的人數(shù)+只訂《兒童文學(xué)》的人數(shù)+兩種都訂閱的人數(shù)＝第一小組一共的人數(shù)
所以只訂《漫畫》的人數(shù)+只訂《兒童文學(xué)》的人數(shù)＝第一小組一共的人數(shù)說(shuō)法錯(cuò)誤。
故選：A。
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。
4．【分析】有22人訂《數(shù)學(xué)報(bào)》，24人訂《語(yǔ)文報(bào)》，11人兩種都訂了，根據(jù)容斥原理可知，把訂《數(shù)學(xué)報(bào)》和訂《語(yǔ)文報(bào)》的人數(shù)相加，再減去重疊的人數(shù)11人即可。
【解答】解：22+24﹣11
＝46﹣11
＝35（人）
答：三（1）班有35人。
故選：C。
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)容斥原理之一：A類B類元素個(gè)數(shù)總和＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)，求出訂報(bào)紙的人數(shù)是完成本題的關(guān)鍵。
5．【分析】由容斥原理可知：捐衣物的有15人加上捐圖書的有20人，就把兩樣都捐的3人重復(fù)多算了一次，再減去3即可得出答案。
【解答】解：15+20﹣3
＝35﹣3
＝32（人）
答：三（1）班一共有32人。
故選：C。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查容斥原理的實(shí)際運(yùn)用，關(guān)鍵是理解總?cè)藬?shù)包括三部分的人數(shù)，知識(shí)點(diǎn)是：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B。
6．【分析】根據(jù)容斥原理，用跳繩的35人加參加踢毽子的29人，求出和，然后再減去兩項(xiàng)都參加的21人（重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是四年級(jí)一班總?cè)藬?shù)。
【解答】解：35+29﹣21
＝64﹣21
＝43（人）
答：參四年級(jí)一班有43人。
故選：B。
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。
7．【分析】由題意，用25+29就是只參加午餐配餐的、只參加課后延時(shí)的以及兩樣都參加的人數(shù)的2倍，再減兩樣都參加的總?cè)藬?shù)，即可解決問(wèn)題。
【解答】解：25+29﹣32
＝54﹣32
＝22（人）
答：三一班既參加午餐配餐又參加課后延時(shí)服務(wù)的有22人。
故選：A。
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。
8．【分析】先用25+20＝45求出兩者的和，再減去重疊的人數(shù)10，求出至少答對(duì)一題的人數(shù)，列式為：25+20﹣10＝35人，然后用50減去35人，就是兩題都沒答對(duì)的人數(shù)，據(jù)此解答。
【解答】解：50﹣（25+20﹣10）
＝50﹣35
＝15（人）
答：兩題都沒答對(duì)的有15人。
故選：B。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是理解10人是兩題都答對(duì)的學(xué)生的重疊部分，知識(shí)點(diǎn)是：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B。
二．填空題（共8小題）
9．【分析】容斥原理公式：A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。四（1）班學(xué)生總數(shù)＝做完數(shù)學(xué)作業(yè)的+做完語(yǔ)文作業(yè)的﹣兩種作業(yè)都做完的人數(shù)；據(jù)此列式解答即可。
【解答】解：32+29﹣15
＝61﹣15
＝46（人）
答：四（1）班有學(xué)生46人。
故答案為：46。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了容斥原理的公式，要熟練掌握。
10．【分析】利用兩天進(jìn)的水果種類和（4+5）去掉重復(fù)的2種水果（香蕉、菠蘿）即可求得答案。
【解答】解：4+5﹣2＝7（種）
答：昨天和今天該水果店一共進(jìn)了7種水果。
故答案為：7。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查容斥原理的實(shí)際運(yùn)用，用總數(shù)去掉重復(fù)的即可解決問(wèn)題。
11．【分析】根據(jù)題意可得，列舉出十位上含有“3”的數(shù)，個(gè)位和十位都含有“3”的數(shù)，然后把三部分的個(gè)數(shù)相加即可。
【解答】解：

9+1+9＝19（個(gè)）
答：一共有19個(gè)這樣的數(shù)。
故答案為：19。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。
12．【分析】根據(jù)容斥問(wèn)題公式，用喜歡足球的35人加上喜歡籃球的24人，減去兩項(xiàng)都喜歡的有17人，求全班人數(shù)；用喜歡足球的人數(shù)減去兩項(xiàng)都喜歡的人數(shù)，就是只喜歡足球的人數(shù)。
【解答】解：35+24﹣17
＝59﹣17
＝42（人）
35﹣17＝18（人）
答：302班共有42人，只喜歡足球一個(gè)項(xiàng)目的有18人。
故答案為：42；18。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。
13．【分析】根據(jù)容斥問(wèn)題原理，用參加合唱小組的23人，加上參加舞蹈隊(duì)的26人，減去全班人數(shù)，就是參加合唱小組又參加舞蹈隊(duì)的人數(shù)。
【解答】解：23+26﹣40
＝49﹣40
＝9（人）
答：既參加合唱小組又參加舞蹈隊(duì)的有9人。
故答案為：9。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查容斥問(wèn)題，關(guān)鍵利用公式：類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)，解答即可。
14．【分析】由題意，用26+27就是只參加跳繩的、只參加踢毽子的以及兩項(xiàng)都參加的人數(shù)的2倍，然后用這個(gè)和再減去三（1）班的總?cè)藬?shù)，即得兩項(xiàng)都參加的人數(shù)。
【解答】解：26+27﹣48
＝53﹣48
＝5（人）
答：兩項(xiàng)都參加的有5人。
故答案為：5。
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。
15．【分析】訂閱《小學(xué)科學(xué)》的有32人，訂閱《紙上天文館》的有24人，根據(jù)容斥原理可知，全班人數(shù)有32+24﹣12＝44（人）。
【解答】解：32+24﹣12＝44（人）
答：三（1）班共有44人。
故答案為：44。
【點(diǎn)評(píng)】本題為基本的容斥原理題目，其公式為：A類B類元素個(gè)數(shù)總和＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。
16．【分析】根據(jù)容斥問(wèn)題公式，用參加跳遠(yuǎn)的人數(shù)加上參加跳高的人數(shù)，減去兩項(xiàng)都參加的人數(shù)，得參加這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)；用參加跳高的人數(shù)減去兩項(xiàng)都參加的人數(shù)，得只參加跳高的人數(shù)。
【解答】解：6+8﹣3＝11（人）
8﹣3＝5（人）
答：參加這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有11人，只參加跳高的有5人。
故答案為：11，5。
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。
三．判斷題（共5小題）
17．【分析】任何一個(gè)正整數(shù)除以4所得的余數(shù)只有4種情況：余0（整除）、余1、余2、余3．所以對(duì)于任意的五個(gè)正整數(shù)A、B、C、D、E除以4最多可以有4個(gè)不同的余數(shù)．
【解答】解：根據(jù)題干分析可得：對(duì)于任意的五個(gè)正整數(shù)A、B、C、D、E除以4最多可以有4個(gè)不同的余數(shù)0、1、2、3，
（1）假設(shè)A、B、C、D余數(shù)各不相同，那么第五個(gè)數(shù)E除以4的余數(shù)只能是0、1、2、3中的一個(gè)余數(shù)，這樣就和A、B、C、D中的一個(gè)余數(shù)相同（比如A），那么E﹣A就是4的倍數(shù)．
（2）假設(shè)A、B、C、D中存在兩個(gè)數(shù)除以3所得余數(shù)相同（不妨設(shè)是AB），那么A﹣B就是4的倍數(shù)．
綜上所述，任意5個(gè)自然數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)的差是4的倍數(shù)，這句話是正確的．
故答案為：√．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)任意整數(shù)除以4的余數(shù)情況有4種，從而進(jìn)行分析解答．
18．【分析】由題意，用10+8就是只參觀熊貓館、只參觀大象館以及兩個(gè)館都參觀的人數(shù)和，再減去重復(fù)計(jì)算的兩個(gè)館都參觀的人數(shù)，即得去動(dòng)物園的總?cè)藬?shù)．
【解答】解：10+8﹣3
＝18﹣3
＝15（人）
即去動(dòng)物園的一共有15人，所以原題說(shuō)法錯(cuò)誤．
故答案為：×．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題注意10+8把兩個(gè)館都參觀的人數(shù)多算了一次，所以要減去．
19．【分析】根據(jù)容斥原理公式，參加課外小組人數(shù)＝參加語(yǔ)文小組的人數(shù)+參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)﹣兩個(gè)小組都參加的人數(shù)，據(jù)此判斷。
【解答】解：8+9﹣3
＝17﹣3
＝14
14＝14
所以，原題說(shuō)法正確。
故答案為：√。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了容斥原理，需要學(xué)生熟練掌握容斥原理公式。
20．【分析】根據(jù)“參加舞蹈組的有19人，參加美術(shù)組的有24人．”可得兩者的總?cè)藬?shù)：19+24＝43人，這其中把兩種興趣小組都參加的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理可得兩種興趣小組都參加的人數(shù)是：43﹣31＝12（人），據(jù)此解答即可．
【解答】解：19+24﹣31
＝43﹣31
＝12（人）
即兩個(gè)小組都參加的有12人，所以原題說(shuō)法正確．
故答案為：√．
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）．
21．【分析】根據(jù)容斥原理，用20加上27求出兩者的人數(shù)和，再減去8人，可得這個(gè)班的總?cè)藬?shù)，再和55人比較即可．
【解答】解：20+27﹣8
＝47﹣8
＝39（人）
39≠55
所以，這個(gè)班共有學(xué)生39人，而不是55人，所以原題說(shuō)法錯(cuò)誤．
故答案為：×．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理之一，即兩量重疊問(wèn)題：A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．
四．應(yīng)用題（共4小題）
22．【分析】（1）兩種球都喜歡的有4人，即重疊部分有4人，那么只喜歡籃球的有9﹣4＝5人，只喜歡足球的有15﹣4＝11人，據(jù)此解答即可。
（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【解答】解：（1）9﹣4＝5（人）
15﹣4＝11（人）

（2）9+15﹣4
＝24﹣4
＝20（人）
答：喜歡足球或喜歡籃球的一共有20人。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。
23．【分析】根據(jù)容斥原理一：用做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)加上做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，再減去總?cè)藬?shù)50即可。
【解答】解：35+40﹣50
＝75﹣50
＝25（人）
答：兩種作業(yè)都做完的有25人。
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。
24．【分析】有38人訂了《中國(guó)少年報(bào)》，有35人訂了《少年智力開發(fā)報(bào)》，一共有38+35＝73人，其中兩種報(bào)紙都訂的人數(shù)被計(jì)算了兩次，根據(jù)容斥原理可知，有（38+35）﹣52名學(xué)生兩種報(bào)紙都訂了。
【解答】解：（38+35）﹣52
＝73﹣52
＝21（人）
答：兩種報(bào)紙都訂了的學(xué)生有21人。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。
25．【分析】首先計(jì)算出總共有題52×5＝260（道），這樣做對(duì)的題有260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）。對(duì)2道，3道，4道題的人共有52﹣7﹣6＝39（人），他們共做對(duì)181﹣1×7﹣5×6＝144（道），由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多，可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人，這樣結(jié)合做對(duì)2道、3道題、4道題的題目總數(shù)為144道，做對(duì)2道、3道題、4道題的人數(shù)為39人，最后計(jì)算出對(duì)4道題的有（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）＝31（人）。
【解答】解：52×5＝260（道）
260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）
52﹣7﹣6＝39（人）
181﹣1×7﹣5×6
＝181﹣7﹣30
＝144（道）
（2+3）÷2＝2.5（道）
（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）
＝（144﹣97.5）÷1.5
＝46.5÷1.5
＝31（人）
答：做對(duì)4道題的有31人。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查容斥原理及雞兔同籠問(wèn)題，屬于較難問(wèn)題，分析時(shí)一定需要細(xì)致入微。
五．操作題（共1小題）
26．【分析】利用兩天進(jìn)的水果種類和（7+4＝11）去掉重復(fù)的兩種水果（梨，草莓，蘋果）即可求得答案．
【解答】解：答案如圖，


7+4﹣3
＝11﹣3
＝8（種）
答：水果店兩天一共進(jìn)了8種水果．
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查容斥原理的實(shí)際運(yùn)用，利用文氏圖法直觀解決問(wèn)題．
六．解答題（共5小題）
27．【分析】（1）用采摘草莓的23人減去草莓和黃瓜都采摘的9人求出只采摘草莓的人數(shù)，同理求只采摘黃瓜的人數(shù)，然后填圖即可．
（2）然后把圖中三部分的人數(shù)相加即可．
【解答】解：（1）23﹣9＝14（人）
18﹣9＝9（人）

（2）9+9+14＝32（人）
答：去“豐收農(nóng)家樂”的一共有 32人．
故答案為：32．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．
28．【分析】（1）由題意，用25減去18就是只擁有小汽車的戶數(shù)，用38減去18就是只擁有摩托車的戶數(shù)；據(jù)此填寫．
（2）把只擁有小汽車的戶數(shù)、只擁有摩托車的戶數(shù)以及兩種交通工具都擁有的戶數(shù)相加即得三（1）班的人數(shù)，據(jù)此解答．
【解答】解：（1）25﹣18＝7（戶）
38﹣18＝20（戶）

（2）7+18+20＝45（人）
答：三（1）班一共有 45人．
故答案為：45．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是理解18戶是兩種交通工具都擁有的重疊部分．
29．【分析】通過(guò)觀察可知，書法小組與繪畫小組中學(xué)生數(shù)量以及兩個(gè)小組都參加的人數(shù)．
【解答】解：（1）

（2）6+6﹣3＝9（人）
答：參加書法組和繪畫組的學(xué)生一共有9人．
（3）答：有圖上可以看出，兩個(gè)興趣組都參加的有3人．
【點(diǎn)評(píng)】完成本題的關(guān)鍵是要認(rèn)真分析兩個(gè)小組的名單，根據(jù)條件解答．
30．【分析】其中9人兩類書都喜歡讀，那么用35減去9就是只喜歡讀故事書的人數(shù)；同理，用18減去9就是只喜歡讀科技書的人，據(jù)此再把這三部分相加就是三（5）班的總?cè)藬?shù)．
【解答】解：（1）

35﹣9＝26（人）
18﹣9＝9（人）
（2）26+9+9＝44（人）
答：三（5）班共有44人．
【點(diǎn)評(píng)】本題依據(jù)了容斥原理公式之一：A類B類元素個(gè)數(shù)總和＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．
31．【分析】根據(jù)題意，先求出參加了美術(shù)組和書法組的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)容斥原理，即可求出兩個(gè)組都參加的人數(shù)．
【解答】解：26+17﹣30，
＝43﹣30，
＝13（人）；
答：兩個(gè)組都參加的有13人．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是，弄清題意，根據(jù)容斥原理，列式解答即可．

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