1.探索并證明正方形的性質，并了解平行四邊形、 矩形、菱形之間的聯系和區(qū)別；(重、難點)2.探索并證明正方形的判定；(重、難點)3.會運用正方形的性質及判定條件進行有關的論證 和計算 . (難點)
《正方形的性質與判定》
觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.
你還能舉出其他的例子嗎？
矩 形
問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現？
問題2 菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現？
1、 有一組鄰邊相等的矩形是正方形； 2、有一個角是直角的菱形叫正方形；
例1.已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
證明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.
正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形具有的性質,正方形都具有.
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：
性質：1.邊：四條邊相等，兩組對邊分別平行. 2.角：正方形的四個角都是直角.3.對角線：正方形的對角線互相垂直平分且相等..
1、正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心. 2、 正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線直線，以及過每一組對邊中點連線所在的直線都是它的對稱軸.共4條對稱軸。
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
例2 如圖，在正方形ABCD中， ΔBEC是等邊三角形， 求證： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
證明：∵ ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．
解：當等邊△ADE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
當等邊△ADE在正方形ABCD內部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.
易錯提醒：因為等邊△ADE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內部．
1.正方形具有而矩形不一定具有的性質是 ( ) A.四個角相等 B.對角線互相垂直平分 C.對角互補 D.對角線相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性質（ ） A.四條邊相等 B.對角線互相垂直平分 C.對角線平分一組對角 D.對角線相等
2.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點O，AO＝2，求正方形的周長與面積．
解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周長為4AD＝ ， 面積為AD2＝8.
反過來我們可以得到正方形的判定方法
在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC
例4 在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?
解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形 .
證明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四邊形EDFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴矩形EDFC是正方形.
例5 如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.
（2）解：當點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形，理由：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE= AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴四邊形AFBE為平行四邊形，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴平行四邊形AFBE是正方形．
2.一個正方形的對角線長為2cm，則它的面積是 （　?。〢.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相垂直且相等
3．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .4.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數是 .
5. 如圖，在正方形ABCD中,E為CD上一點，F為BC邊延長線上一點,且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE =90° .∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.
延長BE交DF于點M,∵△BCE≌△DCF ,∴∠CBE =∠CDF.∵∠DCF =90° ,∴∠CDF +∠F =90°,∴∠CBE+∠F=90° ,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
3.對角線相等且互相垂直平分
有一組鄰相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

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19.3 正方形

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