3.2　一元一次方程的應(yīng)用 1．列一元一次方程解應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題，就是把生活實(shí)踐中的實(shí)際問題，抽象成數(shù)學(xué)問題，通過列方程來解答，使實(shí)際問題得以解決．列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟是：(1)審題設(shè)元：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y)表示問題中的未知數(shù)；(2)找等量關(guān)系：分析題意，找出相等關(guān)系(可借助于示意圖、表格等)；(3)列方程：根據(jù)相等關(guān)系，列出需要的代數(shù)式，并列出方程；(4)解方程：解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)作答：檢查所得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫出答案(包括單位名稱)．解技巧  利用一元一次方程巧解應(yīng)用題讀懂題目，搜集整理相關(guān)信息，弄清題目中的已知數(shù)和未知數(shù)，是用一元一次方程正確解決相關(guān)應(yīng)用問題的前提．根據(jù)不同的實(shí)際問題，確定恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系是解決較復(fù)雜問題的關(guān)鍵．對比較貼近生活實(shí)際的應(yīng)用問題，其數(shù)量關(guān)系不僅多，而且比較隱蔽，因此，對這類應(yīng)用問題要善于挖掘多種數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系．設(shè)未知數(shù)一般是問什么就直接設(shè)什么．如果直接設(shè)未知數(shù)有困難，就間接設(shè)未知數(shù)；設(shè)未知數(shù)時(shí)，必須寫清楚未知數(shù)的單位，并且要保證前后單位統(tǒng)一．【例1】 甲隊(duì)有32人，乙隊(duì)有28人，如果要使甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，那么需從乙隊(duì)抽調(diào)多少人到甲隊(duì)？分析：抽調(diào)后甲隊(duì)人數(shù)＝甲隊(duì)原有人數(shù)＋調(diào)入人數(shù)，抽調(diào)后乙隊(duì)人數(shù)＝乙隊(duì)原有人數(shù)－調(diào)出人數(shù)．在本題中抓住“2倍”便可發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系：抽調(diào)后甲隊(duì)人數(shù)＝抽調(diào)后乙隊(duì)人數(shù)×2.解：設(shè)需從乙隊(duì)抽調(diào)x人到甲隊(duì)．根據(jù)題意列方程，得32＋x＝2(28－x)．解這個(gè)方程，得x＝8.答：需從乙隊(duì)抽調(diào)8人到甲隊(duì)．2．形積問題(1)常用的體積公式長方體的體積＝長×寬×高；正方體的體積＝棱長×棱長×棱長；圓柱體的體積＝底面積×高＝πr2h；圓錐體的體積＝×底面積×高＝πr2h.(2)常用的面積、周長公式長方形的面積＝長×寬；長方形的周長＝2×(長＋寬)；正方形的面積＝邊長×邊長；正方形的周長＝邊長×4；三角形的面積＝×底×高；平行四邊形的面積＝底×高；梯形的面積＝×(上底＋下底)×高；圓的面積＝πr2，圓的周長＝2πr.(3)形積變化中的等量關(guān)系形積變化問題中，圖形的形狀和體積會發(fā)生變化，但應(yīng)用題中一定有相等關(guān)系．分以下幾種情況：①形狀發(fā)生了變化，體積不變．其相等關(guān)系是：變化前圖形的體積＝變化后圖形的體積．②形狀、面積發(fā)生了變化，周長不變．其相等關(guān)系是：變化前圖形的周長＝變化后圖形的周長．③形狀、體積不同，面積相同．根據(jù)題意找出面積之間的關(guān)系，即為相等關(guān)系．(4)應(yīng)用題中相等關(guān)系的找法①認(rèn)真分析題意，找出已知數(shù)和未知數(shù)；②
抓住題目中反映相等關(guān)系的關(guān)鍵詞．如：相等、等于、多、少……；③掌握基本問題的常用關(guān)系式．如路程＝速度×時(shí)間，總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量……；④通過畫圖、列表等方法找相等關(guān)系．【例2－1】 墻上釘著一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖中實(shí)線所示．小明將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個(gè)長方形，如圖中虛線所示．小明所釘長方形的長、寬各為多少厘米？分析：飾物形狀變化前后有兩個(gè)不變的量，一個(gè)是周長，另一個(gè)是變化前梯形的上底和變化后長方形的寬．根據(jù)題意可設(shè)長方形的長為x，則長方形的周長為2x＋2×10，梯形的周長為10＋10＋10＋6＋10＋6＝52.則2x＋20＝52，從而解得x＝16.解：設(shè)小明所釘長方形的長為x，根據(jù)題意，得2x＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10，整理得2x＋20＝52，解得x＝16.由于飾物變化前后長度為10的邊沒有變化，所以長方形的一邊長為10厘米．答：長方形的長為16厘米，寬為10厘米．【例2－2】 用一個(gè)底面半徑是40毫米，高為120毫米的圓柱形玻璃杯向一個(gè)底面半徑為100毫米的大圓柱形玻璃杯中倒水，倒了滿滿10杯水后，則大玻璃杯的液面離杯口還有10毫米，則大玻璃杯的高度是多少？分析：根據(jù)“小圓柱體的體積×10＝大圓柱形玻璃杯中水的體積”列方程求解．解：設(shè)大玻璃杯的高度是x毫米，根據(jù)題意，得π·1002(x－10)＝π·402×120×10.解這個(gè)方程，得x＝202.答：大玻璃杯的高為202毫米．【例2－3】 內(nèi)直徑為20 cm的圓柱形水桶中的全部水倒入一個(gè)長、寬、高分別為30 cm,20 cm,80 cm的長方形鐵盒中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高．(π取3.14)分析：由于水的體積不變，可知兩個(gè)容器的容積相同．所以本題的相等關(guān)系是：圓柱的體積＝長方體的體積．解：設(shè)圓柱形水桶高x cm.根據(jù)題意，得π2·x＝30×20×80.解得x＝≈152.87.答：圓柱形水桶高約為152.87 cm.3.行程問題(1)相遇問題相遇問題是比較重要的行程問題，其特點(diǎn)是相向而行．相遇問題中的相等關(guān)系：①甲、乙的速度和×相遇時(shí)間＝總路程；②甲行的路程＋乙行的路程＝總路程，即s甲＋s乙＝s總．(2)追及問題追及問題的特點(diǎn)是同向而行．追及問題有兩類：①同時(shí)不同地，如下圖：
等量關(guān)系：乙的行程－甲的行程＝行程差；速度差×追及時(shí)間＝追及距離，即s乙－s甲＝s差．②同地不同時(shí)，如下圖：等量關(guān)系：甲的行程＝乙的行程，即s甲＝s乙．解技巧  巧解追及問題追及問題常從以下幾個(gè)方面尋找等量關(guān)系列方程：①從時(shí)間考慮，若同時(shí)出發(fā)，追上時(shí)兩人所用時(shí)間相等；②從路程考慮，直線運(yùn)動，兩人所走距離之差等于需要趕上的距離；③從速度考慮，兩人的相對速度等于他們的速度的差．(3)環(huán)形跑道問題一般情況下，在環(huán)形跑道上，兩人同時(shí)出發(fā)，第n次相遇有兩種情況：相向而行，路程和等于n圈長；同向而行，路程差等于n圈長．(4)航行問題航行問題主要包括輪船航行和飛機(jī)航行，對于航行問題，需注意以下幾點(diǎn)：a．順?biāo)?/span>(風(fēng))速度＝靜水(風(fēng))速度＋水流(風(fēng))速度；b．逆水(風(fēng))速度＝靜水(風(fēng))速度－水流(風(fēng))速度；c．順?biāo)?/span>(風(fēng))速度－逆水(風(fēng))速度＝2倍水(風(fēng))速度；d．基本關(guān)系式：往路程＝返路程．【例3－1】 A，B兩地相距112千米，甲、乙兩人駕車同時(shí)從A，B兩地相向而行，甲比乙每小時(shí)多行4千米，經(jīng)過兩小時(shí)后兩人相遇，求甲、乙兩人每小時(shí)各行多少千米？分析：本題屬于相遇問題，其中的等量關(guān)系有：甲速度＝乙速度＋4，甲行程＋乙行程＝A，B兩地距離(112千米)．解：設(shè)乙每小時(shí)行x千米，則甲每小時(shí)行(x＋4)千米．根據(jù)題意，得2(x＋4)＋2x＝112.解這個(gè)方程，得x＝26.當(dāng)x＝26時(shí)，x＋4＝30.答：甲每小時(shí)行30千米，乙每小時(shí)行26千米．【例3－2】 李成在王亮的前方10米處，若李成每秒跑7米，王亮每秒跑7.5米，同時(shí)起跑，問王亮跑多少米可以追上李成？分析：本題是追及問題，屬于同時(shí)不同地的類型，可根據(jù)“王亮跑的路程－李成跑的路程＝10”，列方程求解．解：設(shè)x秒時(shí)王亮追上李成，根據(jù)題意，得7.5x－7x＝10，解得x＝20.所以7.5×20＝150(米)．答：王亮跑150米可追上李成．【例3－3】 甲、乙兩車自南向北行駛，甲車的速度是每小時(shí)48千米，乙車的速度是每小時(shí)72千米，甲車開出25分鐘后，乙車開出，問幾小時(shí)后乙車追上甲車？分析：本題是追及問題中同地不同時(shí)類型．其相等關(guān)系：甲行程＝乙行程．解：設(shè)x小時(shí)后乙車追上甲車，根據(jù)題意，得48＝72x.解這個(gè)方程，得x＝.答：小時(shí)后，乙車追上甲車．【例3－4】 甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，已知環(huán)形跑道一圈長400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．(1)如果甲、乙兩人在跑道上相距8米處同時(shí)反向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？(2)如果甲在乙前面8米處同時(shí)同向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？分析：
(1)屬于相遇問題，相等關(guān)系：甲的行程＋乙的行程＝環(huán)形跑道一圈的長－8米；(2)屬于追及問題，相等關(guān)系：乙走的路程＝甲走的路程＋兩地間的距離．解：(1)設(shè)經(jīng)過x秒，甲、乙兩人首次相遇．根據(jù)題意得8x＋6x＝400－8，解這個(gè)方程，得x＝28.答：經(jīng)過28秒兩人首次相遇．(2)設(shè)經(jīng)過x秒，甲、乙兩人首次相遇，根據(jù)題意得8x＝6x＋400－8，解這個(gè)方程，得x＝196.答：經(jīng)過196秒兩個(gè)人首次相遇．4.儲蓄問題顧客存入銀行的錢叫本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，存入銀行的時(shí)間叫期數(shù)，每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率，根據(jù)利率的定義，每個(gè)期數(shù)內(nèi)，＝利率，利息＝本金×利率×期數(shù)，本金與利息的和叫本息和，本息和＝本金＋利息．月利率一般用千分之幾表示．【例4】 王老師在銀行里用定期一年整存整取的方式儲蓄人民幣6 000元，到期得到本息和6 120元，請你求出這筆儲蓄的月利率(不計(jì)復(fù)利，即每月利息不重計(jì)息)．分析：根據(jù)本息和與利息的關(guān)系，有：利息＝本金×利率×期數(shù)，本息和＝本金＋利息．解：設(shè)這筆儲蓄的月利率是x，那么存了一年是12個(gè)月，根據(jù)題意，得6 000＋6 000×12×x＝6 120，解得x≈0.001 667＝1.667‰.答：這筆儲蓄的月利率是1.667‰.5.商品銷售問題(1)與打折有關(guān)的概念①進(jìn)價(jià)：也叫成本價(jià)，是指購進(jìn)商品的價(jià)格．②標(biāo)價(jià)：也稱原價(jià)，是指在銷售商品時(shí)標(biāo)出的價(jià)格．③售價(jià)：消費(fèi)者最終取得商品的價(jià)格，或說是商家賣出商品的價(jià)格，也叫成交價(jià)．④利潤：商家通過買賣商品所得的盈利，一般以“獲利”、“盈利”、“賺”等詞表示所得利潤．⑤利潤率：利潤占進(jìn)價(jià)的百分比．⑥打折：出售商品時(shí)，將標(biāo)價(jià)乘以十分之幾或百分之幾十賣出，即為打幾折賣出．打幾折，就是百分之幾十或十分之幾．如打8折就是以原價(jià)的80%賣出，即為原價(jià)×80%或原價(jià)×0.8.(2)利潤問題中的關(guān)系式①售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×折扣；售價(jià)＝成本＋利潤＝成本×(1＋利潤率)．②利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)＝標(biāo)價(jià)×折扣－進(jìn)價(jià)．③利潤＝進(jìn)價(jià)×利潤率；利潤＝成本價(jià)×利潤率；利潤率＝＝.【例5－1】 某種商品的進(jìn)價(jià)是400元，標(biāo)價(jià)是600元，商店要求以利潤不低于5%打折銷售，那么售貨員最低可以打幾折出售此商品？分析：利潤問題的相等關(guān)系是：商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)＝商品利潤．其中商品利潤＝進(jìn)價(jià)×利潤率，即400×5%.而商品售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×打折數(shù)．解：設(shè)最低可以打x折出售．根據(jù)題意，得600×0.1x－400＝400×5%，解得x＝7.答：售貨員最低可以打7折出售此商品．【例5－2】 某書城開展學(xué)生優(yōu)惠售書活動，凡一次購書不超過200元的一律九折優(yōu)惠，超過200元的，其中200元按九折算，超過200元的部分按八折算．李明購書后付了212元，若沒有任何優(yōu)惠，則李明應(yīng)該付多少元？分析：先判斷屬于哪一種優(yōu)惠，再根據(jù)情況確定相等關(guān)系．當(dāng)購書是200元時(shí)，應(yīng)該付200×0.9＝180元，李明支付了212元，說明超過了200元，相等關(guān)系是：不超過200元的部分應(yīng)付款＋超過部分應(yīng)付款＝實(shí)際付款．解：因?yàn)?/span>200×0.9＝180＞212，
所以購書超過了200元．設(shè)應(yīng)該付x元，根據(jù)題意，得200×0.9＋(x－200)×0.8＝212.解方程，得x＝240.答：若沒有任何優(yōu)惠，則李明應(yīng)該付240元．【例5－3】 一件上衣，按成本加5成(即50%)作為售價(jià)，后因清倉處理，按售價(jià)的8折出售，降價(jià)后每件賣72元，問這批上衣每件成本是多少元？降價(jià)后每件是賠還是賺，賠或賺多少元？解：設(shè)一件上衣的成本為x元，根據(jù)題意，得(1＋50%)x×80%＝72，解得x＝60.所以72－x＝72－60＝12.答：一件上衣的成本為50元，降價(jià)后每件仍可賺12元．6．幾種復(fù)雜問題的應(yīng)用含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的等量關(guān)系的應(yīng)用題主要有以下幾種：(1)按比例分配問題按比例分配問題是指已知兩個(gè)或幾個(gè)未知量的比，分別求幾個(gè)未知數(shù)的問題．比例分配問題中的相等關(guān)系是：不同成分的數(shù)量之和＝全部數(shù)量．(2)工程問題工程問題中的相等關(guān)系是：工作量＝工作效率×工作時(shí)間；甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率；甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的總工作量．(3)資源調(diào)配問題資源調(diào)配問題一般采取列表法分析數(shù)量關(guān)系，利用表格，可以清晰地表達(dá)出各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系．其中的相等關(guān)系要根據(jù)題目提供的等量關(guān)系確定．(4)配套問題配套問題是一種常見的應(yīng)用題類型，在生活實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，其量與量間的關(guān)系類似于工程問題，其特殊的等量關(guān)系是各種零件的數(shù)量比等于一套組合件中各種零配件的數(shù)量比，其解法一般分直接解法和間接解法兩種．【例6－1】 某會議廳主席臺上方有一個(gè)長12.8 m的長條形(矩形)會議橫標(biāo)框，鋪紅色襯底．開會前將會議名稱用白色厚紙或不干膠紙刻出來貼于其上．但會議名稱不同，字?jǐn)?shù)一般每次都多少不等，為了制作及貼字時(shí)方便美觀，會議廳工作人員對有關(guān)數(shù)據(jù)作了如下規(guī)定：邊空∶字寬∶字距＝9∶6∶2，如圖所示．根據(jù)這個(gè)規(guī)定，求會議名稱的字?jǐn)?shù)為18時(shí)，邊空、字寬、字距各是多少．分析：根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)邊空、字寬、字距分別為9x,6x,2x，由等量關(guān)系“橫框長度＝邊空長度＋字寬長度＋字距長度”列出一元一次方程即可求解．解：設(shè)邊空、字寬、字距分別為9x cm,6x cm,2x cm，則9x×2＋6x×18＋(18－1)×2x＝1 280，解得x＝8.所以邊空為72 cm，字寬為48 cm，字距為16 cm.【例6－2】 學(xué)校派七年級一、二班去植樹，一班40人，二班52人，現(xiàn)從三班調(diào)來43人支援一班和二班，使二班的人數(shù)是一班的2倍，問應(yīng)調(diào)入一班和二班各多少人？分析：可設(shè)到一班x人，借助于表格分析題中的數(shù)量關(guān)系如下： 調(diào)派前人數(shù)調(diào)派人數(shù)調(diào)派后人數(shù)一班40x40＋x二班5243－x52＋(43－x)解：設(shè)應(yīng)調(diào)到一班x人，則調(diào)到二班(43－x)人，根據(jù)題意，得52＋(43－x)＝(40＋x)×2，解得x
＝5.所以43－x＝38.答：應(yīng)調(diào)到一班5人，調(diào)到二班38人． 

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3.2 一元一次方程的應(yīng)用

版本： 滬科版

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