4.4　角 1．角的有關(guān)概念(1)鐘面上的時(shí)針與分針?biāo)鶚?gòu)成的圖形、四面體中任意兩條相交棱所構(gòu)成的圖形，都給我們以角的形象．(2)角可以看作是從一點(diǎn)O出發(fā)的兩條射線OA，OB所組成的圖形．如圖，其中，點(diǎn)O叫做角的頂點(diǎn)，射線OA，OB叫做角的邊．這個(gè)角可記作∠AOB，讀作“角AOB”．∠AOB也可以看成是射線OA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置后形成的圖形．射線OA，OB分別叫做這個(gè)角的始邊和終邊．(3)當(dāng)角的終邊是由始邊旋轉(zhuǎn)半周得到的(這時(shí)角的始邊和終邊互為反向延長(zhǎng)線)，如圖，這樣的角叫做平角，1平角=180°.(4)當(dāng)角的終邊是由始邊旋轉(zhuǎn)一周得到的(這時(shí)角的始邊和終邊重合成一條射線，但它不是一條射線)，如圖，這樣的角叫做周角，一周角=360°.釋疑點(diǎn)  理解角的特征(1)角有兩個(gè)特征：一是角有兩條射線，二是角的兩條射線必須有公共端點(diǎn)，二者缺一不可；(2)由于射線是向一方無(wú)限延伸的，所以角的兩邊無(wú)所謂長(zhǎng)短，即角的大小與它的邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)；(3)當(dāng)角的大小一旦確定，它的大小不會(huì)因?yàn)閳D形的位置、圖形的放大或縮小而改變；(4)平角與直線有區(qū)別，平角是一個(gè)角，它有角的內(nèi)部，而直線是一條線，這是兩個(gè)不同的概念，不能說(shuō)“一條直線就是平角”或“平角是一條直線”，同樣不能說(shuō)“一條射線是周角”；(5)沒(méi)有特別說(shuō)明，本書(shū)中所指的角都是指小于平角的角．【例1】 下列說(shuō)法：①兩條射線所組成的圖形叫做角；②一條射線旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角；③角的大小與這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)短有關(guān)；④平角是一條直線．其中錯(cuò)誤的有(　　)．A．1個(gè)        B．2個(gè)  C．3個(gè)        D．4個(gè)解析：①×沒(méi)有說(shuō)明兩條射線是否有公共端點(diǎn)，缺少組成的要素，所以①錯(cuò)誤．②×沒(méi)有說(shuō)明兩條射線是否有公共端點(diǎn)，缺少組成的要素，所以②錯(cuò)誤．③×角的兩邊都是射線，因此角的大小與這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，所以③錯(cuò)誤．④×平角和一條直線的圖形是一樣的，但平角和直線是兩個(gè)不同的概念，所以不能說(shuō)平角是一條直線，所以④錯(cuò)誤.答案：D釋疑點(diǎn)  概念是識(shí)別圖形的依據(jù)角的概念是識(shí)別一個(gè)圖形是否是角的主要依據(jù)，其他圖形的識(shí)別也是如此，所以我們要十分重視對(duì)概念的正確理解．2．角的表示方法(1)用三個(gè)大寫(xiě)字母表示：如圖，角的頂點(diǎn)為O，角的兩邊為射線OA，OB，該角可記為：∠AOB或∠BOA(頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母寫(xiě)在中間)．
(2)用一個(gè)大寫(xiě)字母表示：當(dāng)以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí)，可用表示這個(gè)點(diǎn)的字母表示這個(gè)角，如上圖，這個(gè)角又可表示為∠O.(3)用數(shù)字表示：如下圖中的兩個(gè)角，我們可以表示為∠1和∠2，同時(shí)在原圖中，需要在頂點(diǎn)數(shù)加上弧線．(4)用希臘字母表示：如下圖中的兩個(gè)角，我們可以表示為∠α和∠β，同時(shí)在原圖中，需要在頂點(diǎn)處加上弧線．釋疑點(diǎn)  如何準(zhǔn)確地表示角當(dāng)以某個(gè)字母為頂點(diǎn)的角僅有一個(gè)時(shí)，才能用表示其頂點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示該角．用阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)的希臘字母表示角時(shí)，一定要在圖中該角的位置上標(biāo)出字母或數(shù)字，并畫(huà)上弧線．【例2】 如圖，下列表示∠1的方法中，正確的是(　　)．A．∠A         B．∠ABC  C．∠BAD         D．∠BAC解析：根據(jù)角的四種表示方法的規(guī)定，只有∠BAC與∠1表示同一個(gè)角，因此應(yīng)選D.答案：D3．角的度量(1)角的度量單位：角的度量單位是度、分、秒．度、分、秒之間的進(jìn)率是60.(2)把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，1度記作1°；把1°的角60等分，每一份是1分的角，1分記作1′；把1′的角60等分，每一份是1秒的角，1秒記作1″.這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．(3)角度的換算：1°＝60′，1′＝60″.由以上關(guān)系式可將度化為度、分、秒的形式，也可將度、分、秒化成度的形式．析規(guī)律  正確進(jìn)行角的換算用度、分、秒表示度時(shí)，要先把度的小數(shù)部分化成分，再把分的小數(shù)部分化成秒；用度表示度、分、秒時(shí)，要先把秒化成分，再把分化成秒；遇到乘法時(shí)，先乘再進(jìn)位，遇到加法時(shí)，先加再進(jìn)位，遇到減法時(shí)，先借位再減．【例3】 解答下列問(wèn)題：(1)用度、分、秒表示57.53°；(2)用度表示36°23′45″；(3)計(jì)算53°25′28″×5；(4)已知∠α＝32.68°，∠β＝18°41′55″，求∠α－∠β.解：(1)57.53°＝57°＋0.53×60′＝57°＋31.8′＝57°＋31′＋0.8×60″＝57°＋31′＋48″＝57°31′48″；(2)因?yàn)?/span>45″＝′＝0.75′，23．75′＝°≈0.396°，
所以36°23′45″≈36.396°；(3)53°25′28″×5＝265°125′140″＝267°7′20″；(4)因?yàn)?/span>∠α＝32.68°＝32°40′48″，所以∠α－∠β＝32°40′48″－18°41′55″＝32°39′108″－18°41′55″＝31°99′108″－18°41′55″＝13°58′53″.析規(guī)律  角的加減乘除運(yùn)算進(jìn)行角的加減乘除運(yùn)算，遇到加法時(shí)，先加再進(jìn)位；遇到減法時(shí)，先借位再減；遇到乘法時(shí)，先乘再進(jìn)位；遇到除法時(shí)，先借位再除．4．探索角的個(gè)數(shù)探索由一個(gè)點(diǎn)引出若干條射線組成的角的個(gè)數(shù)時(shí)，可按邊分別按逆時(shí)針或順時(shí)針的順序數(shù)，先確定以一條邊為始邊的所有角的個(gè)數(shù)，再確定以另一條邊為始邊的所有角的個(gè)數(shù)，以此類推，再求和可得角的總個(gè)數(shù)，并利用這一關(guān)系求出從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)若干條射線時(shí)構(gòu)成的角的個(gè)數(shù)的規(guī)律．?dāng)?shù)角時(shí)，觀察一定要有條理，既要防止重復(fù)，又要防止遺漏．解技巧  從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的n條射線組成的角的個(gè)數(shù)一般地，從點(diǎn)O出發(fā)引出n條射線，能組成(n－1)個(gè)基本角，共有角的個(gè)數(shù)為(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝.【例4】 觀察下列圖形，并閱讀相關(guān)文字：從圖中的規(guī)律能知道從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)10條射線時(shí)構(gòu)成__________個(gè)不同的角．解析：2條射線構(gòu)成角的個(gè)數(shù)為1；3條射線構(gòu)成角的個(gè)數(shù)為2＋1＝3；4條射線構(gòu)成角的個(gè)數(shù)為3＋2＋1＝6；5條射線構(gòu)成角的個(gè)數(shù)為4＋3＋2＋1＝10；…；由此可得10條射線構(gòu)成角的個(gè)數(shù)為9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45.答案：455.鐘表盤(pán)上角的度量與換算鐘表上的時(shí)針與分針如果看作兩條射線，不同時(shí)刻它們組成的角大小不同，時(shí)針與分針不同時(shí)間分別旋轉(zhuǎn)過(guò)的角的大小各不相同，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷不同時(shí)刻時(shí)針與分針的位置以及各自每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度的大小，然后運(yùn)用角的定義和度量解決問(wèn)題．【例5】 若時(shí)針由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)55分，問(wèn)時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)過(guò)多大角度？分析：時(shí)針和分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度如下表所示.時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)一小格一小時(shí)轉(zhuǎn)30°一分鐘轉(zhuǎn)0.5°分針一小時(shí)轉(zhuǎn)一圈一小時(shí)轉(zhuǎn)360°一分鐘轉(zhuǎn)6°解：因?yàn)闀r(shí)針由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)55分，歷經(jīng)25分鐘，所以分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為×(55－30)＝6°×25＝150°，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為×(55－30)＝150°×＝12.5°.
6．實(shí)際問(wèn)題中的方位角的操作方位角一般以正北、正南為基準(zhǔn)，描述物體所在的方向．如圖所示的是我們常用到的一些方向，但實(shí)際上八個(gè)方向還不夠用，如果要詳盡準(zhǔn)確地表示每一個(gè)方向上的角，就要借助角度來(lái)表示．(1)用射線表示的方位角一般說(shuō)法是北偏東×度，北偏西×度，南偏東×度，南偏西×度．一般把南、北放在前，但東南、西南、西北、東北例外．(2)方位角是表示方向的射線與正北、正南方向的夾角，若已知條件給的不是這個(gè)角度，則需轉(zhuǎn)化成與正北、正南方向的夾角．(3)通常規(guī)定上北、下南、左西、右東．【例6】 如圖，在一張某地區(qū)的地圖上，原標(biāo)有學(xué)校、公園和廣場(chǎng)三個(gè)位置，由于被墨水污染，廣場(chǎng)的具體位置已看不清了．根據(jù)記憶，廣場(chǎng)位置在學(xué)校的北偏東60°的方向，在公園的北偏西45°的方向．根據(jù)上述信息，請(qǐng)找出廣場(chǎng)的具體位置．分析：根據(jù)題意，可知廣場(chǎng)在學(xué)校的北偏東60°的方向．畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)以學(xué)校所在地為測(cè)點(diǎn)，在此處畫(huà)出上北下南，左西右東的方向，以正北方向的射線為始邊，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則廣場(chǎng)的位置就在這條射線上，同理，在公園的位置作一條北偏西45°的射線，這兩條射線的交點(diǎn)，即為廣場(chǎng)的位置．解：所畫(huà)的圖形如圖所示．  

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4.4 角

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