課題
第1課時 等積變形與行程問題
授課人
教
學(xué)
目
標(biāo)
知識與
技能
1.通過分析圖形問題中的數(shù)量關(guān)系體會方程模型的作用，進一步提高學(xué)生分析問題、解決問題、敢于提出問題的能力；
數(shù)學(xué)思考
2. 理解行程問題中數(shù)量之間的關(guān)系，能根據(jù)行程問題中的數(shù)量關(guān)系建立方程，進一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
問題解決
分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，體會直接或間接設(shè)未知數(shù)的解題思路，從而建立方程，解決實際問題．
情感態(tài)度與價值觀
通過對實際問題的解決體會方程模型的作用，發(fā)展抽象、概括、分析問題和解決提出問題的能力．
教學(xué)重點
尋找圖形問題中的等量關(guān)系，建立方程．分析行程問題中的等量關(guān)系，建立方程．
教學(xué)難點
尋找實際問題中的等量關(guān)系，建立一元一次方程，使實際問題數(shù)學(xué)化．
授課類型
新授課
課時
教具
多媒體課件
教學(xué)活動
教學(xué)步驟
師生活動
設(shè)計意圖
活動
一：
創(chuàng)設(shè)
情境
導(dǎo)入
新課
【課堂引入】
情景一：
用一塊橡皮泥先捏出一個“瘦長”的圓柱，然后再讓這個“瘦長”的圓柱“變矮”，變成一個又矮又胖的圓柱，請思考下列幾個問題：
(1)在你操作的過程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化？還有哪些量改變了？
(2)在這個變化過程中，哪些量沒有變化呢？
情景二：
學(xué)生分組用兩個事先準(zhǔn)備好的水杯，從一個水杯向另一個水杯倒水，如圖3－2－3，觀察并思考在這個過程中有什么發(fā)現(xiàn)？
圖3－2－3
設(shè)計兩個簡單的生活場景，讓學(xué)生初步體會“等積變形”問題，同時分析出不變量與變量間的等量關(guān)系.
活動
二：
實踐
探究
交流
新知
活動內(nèi)容1：請同學(xué)們認(rèn)真閱讀，完成以下探究問題，并與同桌交流.
某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4 m的圓柱形儲水箱．現(xiàn)該樓進行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4 m減少為3.2 m．那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4 m增高為多少米？
圖3－2－4
1. 填寫下表：
設(shè)新水箱的高變?yōu)?x m，則
舊水箱
新水箱
底面半徑/m
2
1.6
高/m
4
x
體積/ m3
π×22×4
π×1.62×x
2. 根據(jù)表格中的分析，找出等量關(guān)系.
3.求出方程的解.
解：設(shè)新水箱的高變?yōu)閤 m．根據(jù)題意，得
π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))eq \s\up12(2)×4＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.2,2)))eq \s\up12(2)x.
解得x＝6.25.
答：水箱的高度將由原先的4 m增高為6.25 m.
活動內(nèi)容2：
1.若小明每分鐘走150米，那么他4分鐘能走_(dá)_600__米(路程＝速度×?xí)r間)．若甲乙兩地相距1800米，小明從甲地出發(fā)，按此速度走了x分鐘到達(dá)乙地，可列方程是__150x＝1800__.
2.小彬和小明每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4米，小強每秒跑6米.
(1)如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？
(2)如果小彬站在小強前10米處，同時同向起跑，x秒后小強追上了小彬，可列方程__(6－4)x＝10__．此時小強跑了__30__米，小彬跑了__20__米.
思考：你認(rèn)為列一元一次方程解應(yīng)用題的主要步驟有哪些？關(guān)鍵是什么？
1.審——通過審題找出等量關(guān)系；
2.設(shè)——設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱；
3.列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程；
4.解——求出方程的解(對間接設(shè)的未知數(shù)切記要繼續(xù)求解)；
5.檢——檢驗求出的值是否為方程的解，并檢驗是否符合實際問題；
6.答——注意單位名稱.
將上述環(huán)節(jié)中體會到的形之間的變與不變的關(guān)系，量之間的等量關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，利用解方程的方法解決實際問題.
引導(dǎo)學(xué)生通過填表，找到等量關(guān)系，正確列出方程.
主要引導(dǎo)學(xué)生分析行程問題中路程、速度、時間之間的關(guān)系，學(xué)會畫線段圖分析路程之間的關(guān)系，建立方程模型.
歸納列方程解應(yīng)用題的步驟，感受方程模型.
活動
三：
開放
訓(xùn)練
體現(xiàn)
應(yīng)用
【應(yīng)用舉例】
例1 如圖3－2－5，用直徑為200 mm的圓柱體鋼，鍛造一個長、寬、高分別為300 mm，300 mm和90 mm的長方體毛坯，應(yīng)截取多少毫米長的圓柱體鋼(計算時π取3.14，結(jié)果精確到1 mm)?
圖3－2－5
分析：鍛造后長方體毛坯的體積怎樣計算？所需要的鋼坯體積是由圓柱體鋼提供的，圓柱的體積怎樣表示？能否列出方程？
變式訓(xùn)練
1．一個長方形的周長是40 cm，若將長減少8 cm，寬增加2 cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為( B )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
2．用直徑為4 cm的圓鋼，鑄造三個直徑為2 cm，高為16 cm的圓柱形零件，則需要截取長度為 __12_cm__的圓鋼．
3．直徑為30 cm，高為50 cm的圓柱形瓶里存滿了飲料，現(xiàn)將飲料倒入底面直徑為10 cm的圓柱形水杯，剛好倒?jié)M30杯．則水杯的高度是多少？
4．用一個底面半徑為40厘米，高為120厘米的圓柱形玻璃杯向一個底面半徑為100厘米的大圓柱形玻璃杯中倒水，倒了滿滿10杯水后，大玻璃杯的液面離杯口還有10毫米，大玻璃杯的高度為多少？
例2 為了適應(yīng)經(jīng)濟發(fā)展，鐵路運輸再次提速．如果客車行駛的平均速度增加40 km/h，提速后由合肥到北京1110 km的路程只需行駛10 h．那么，提速前，這趟客車平均每時行駛多少千米？
分析：已知合肥到北京的路程和時間，提速前的速度與提速后的速度有什么關(guān)系？路程、速度、時間之間有什么關(guān)系？據(jù)此關(guān)系能列出方程嗎？
變式訓(xùn)練
1．已知甲、乙兩地之間的距離是740千米，一輛汽車從甲地出發(fā)勻速行駛3小時后，提速20千米/時，然后又勻速行駛5小時到達(dá)乙地，汽車提速后的速度是多少？
2．小華家離學(xué)校2.4千米，某天從家去上學(xué)，恰好行走到一半的路程時，發(fā)現(xiàn)離上課只有12分鐘了，小華要想按時到校，剩下的路程他的速度是多少？
引導(dǎo)學(xué)生分析這個問題中什么發(fā)生了變化，什么沒有發(fā)生變化？能否抓住等量關(guān)系列出方程？
分組解決問題，提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的合作意識，提高課堂效率，并培養(yǎng)學(xué)生做好解題反思的能力和習(xí)慣．
變式練習(xí)，熟練掌握.
活動
三：
開放
訓(xùn)練
體現(xiàn)
應(yīng)用
【拓展提升】
例3 一個邊長為10 cm的正方體鐵皮箱，改造成一個長20 cm、寬10 cm的箱子，表面積不變，則新箱子的高是多少？改造后體積減少了多少？
例4 有大、中、小三個圓柱形水缸，它們的直徑分別是60 cm，40 cm，20 cm，現(xiàn)把兩堆石子分別沉沒在中、小兩個水缸中，兩個水缸的水面分別升高了30 cm，60 cm，如果這兩堆石子都沉沒在大水缸里，那么大水缸的水面將升高多少？
提高學(xué)生分析、解決問題的能力，熟練解題方法，靈活求解.
【當(dāng)堂訓(xùn)練】
1．用7.8米長的鐵絲做成一個長方形框架，使長比寬多1.2米，求這個長方形框架的寬是多少米．設(shè)長方形框架的寬是x米，可列方程為( C )
A．x＋(x＋1.2)＝7.8
B．x＋(x－1.2)＝7.8
C．2[x＋(x＋1.2)]＝7.8
D．2[x＋(x－1.2)]＝7.8
2．有一個底面半徑為10 cm，高為30 cm的圓柱形大水杯中存滿了水，把水倒入一個底面直徑為10 cm的圓柱形小杯中，剛好倒?jié)M12杯，則小杯的高為( C )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3．要鍛造一個半徑為8 cm，高為10 cm的圓柱體，應(yīng)截取半徑為5 cm的圓柱形毛坯 __25.6__cm.
4．有一塊長、寬、高分別為5 cm，3 cm，2 cm的長方體橡皮泥，要用它來捏一個底面半徑為2 cm的圓柱，若它的高是x cm，則可列方程__π×22·x＝5×3×2__．
5. 甲、乙兩地相距1180千米，一輛車從甲地開往乙地，勻速行駛了2小時后，發(fā)現(xiàn)不能按原計劃到達(dá)，于是將速度加快20千米/時，又過了6小時達(dá)到乙地，求開始時這輛車的速度.
檢測本堂課的學(xué)習(xí)效果，重點考查學(xué)生的分析能力.
提綱挈領(lǐng)，重點突出.
活動
四：
課堂
總結(jié)
反思
【教學(xué)反思】
①[授課流程反思]
本節(jié)課通過實際生活中的幾個情景引入，讓學(xué)生體會體積不變，學(xué)生比較容易理解掌握．
②[講授效果反思]
本節(jié)課重點在于使學(xué)生理解 “變化中的不變”，尋找不變的量，據(jù)此列出方程．指導(dǎo)學(xué)生借助表格去表達(dá)問題中的信息，這里表格的引入非常自然，使學(xué)生真正感受到表格對分析問題所起的作用．
③[師生互動反思]
本節(jié)課的設(shè)計中，通過引導(dǎo)學(xué)生進行探索，使學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上探求新內(nèi)容，探索的過程是在復(fù)習(xí)舊知識的同時進行的，抓住題中的等量關(guān)系是關(guān)鍵．這種形式讓學(xué)生切身去體驗問題的情景，從而進一步幫助學(xué)生理解比較復(fù)雜的問題，再把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題．
④[習(xí)題反思]
好題題號__________________________________
錯題題號__________________________________
反思，更進一步提升．

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3.2 一元一次方程的應(yīng)用

版本： 滬科版

年級： 七年級上冊

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