考點25  直線與圓的綜合問題  1、 體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想,感受“形”與“數(shù)”的對立和統(tǒng)一,初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用 .2、 能根據(jù)直線與圓的方程判斷其位置關(guān)系(相交、相切、相離);能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系(外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含);3、能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題      直線與圓每年都考查一道填空題或解答題,主要以直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系為載體,考查學(xué)生的探究與計算能力 . 考查中,大多以動圓、動直線作為模型,考查定點、定值、范圍等問題,解決此類問題,要充分利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想來解題,體現(xiàn)了能力和知識的綜合 在2020年全國各地試卷中往往與圓錐曲線相結(jié)合，綜合考查范圍問題、最值問題以及隱圓問題的考查。    1、 直線與圓相交的問題，要能充分利用好圓的幾何性質(zhì)，垂徑定理是最常見的性質(zhì)；圓心距是核心問題，通過圓心距可以求出弦長，而給出弦長，要能第一時間求出圓心距．2、 解析幾何中的向量問題，往往需要先通過線性運算后轉(zhuǎn)化，再通過向量坐標運算來處理．3、圓的切線長的問題，主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．切線長通常用勾股定理來求解，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求圓外一點與圓上一點距離的最小值，而這種距離的最值問題，是圓的考查中常見的知識點．         1、【2020年江蘇卷】在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】【解析】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令（負值舍去）當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此當(dāng)時，取最大值，即取最大值為，故答案為：2、【2020年全國1卷】已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時，，，此時最小．∴即，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.3、【2017年高考全國III卷理數(shù)】已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.【答案】（1）見解析；（2）直線的方程為，圓的方程為，或直線的方程為，圓的方程為【解析】（1）設(shè)，.由 可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標原點在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標為，圓的半徑.由于圓過點，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當(dāng)時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.當(dāng)時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓 的方程為.4、【2018年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由題意得，l的方程為．設(shè)，由得．，故．所以．由題設(shè)知，解得（舍去），．因此l的方程為．（2）由（1）得AB的中點坐標為，所以AB的垂直平分線方程為，即．設(shè)所求圓的圓心坐標為，則解得或因此所求圓的方程為或．    題型一、圓中的范圍問題1、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）已知實數(shù)滿足則的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，即圓心，半徑，，可看到圓上的點到直線距離，圓上的點到直線距離的最小值為圓心到直線距離減去半徑即，，圓上的點到直線距離的最小值為，的最小值為故選：A2、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）過點斜率為正的直線交橢圓于，兩點.，是橢圓上相異的兩點，滿足，分別平分，.則外接圓半徑的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，先固定直線AB，設(shè)，則，其中為定值，故點P，C，D在一個阿波羅尼斯圓上，且外接圓就是這個阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為r，阿波羅尼斯圓會把點A，B其一包含進去，這取決于BP與AP誰更大，不妨先考慮的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長線與圓交于點Q，PQ即為該圓的直徑，如圖：接下來尋求半徑的表達式，由，解得，同理，當(dāng)時有，，綜上，；當(dāng)直線AB無斜率時，與橢圓交點縱坐標為，則；當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立可得，設(shè)，，則由根與系數(shù)的關(guān)系有，，，注意到與異號，故，設(shè)，則，，當(dāng)，即，此時，故，又，綜上外接圓半徑的最小值為.故選：D．3、（2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系中，已知是圓的直徑.若與圓外離的圓上存在點，連接與圓交于點，滿足，則半徑的取值范圍是_________.【答案】.【解析】AM與圓O交于點N，，且圓心O是AB中點，
∴ON是△ABM的中位線，∴BM＝2ON＝4，
∴點M在以B為圓心，4為半徑的圓周上，∴；
又∵B是圓O上任意一點，
∴點M可以認為是以O為圓心6為半徑的圓上一點，這個圓記為，
又∵點M是在與圓O外離的圓上的點，
∴，∴.
∴存在符合題意的點M時，的取值范圍是，
故答案為：.4、（江蘇省南通市西亭高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研）已知圓，直線與圓交于兩點，，若，則弦的長度的最大值為___________.【答案】【解析】設(shè)為的中點，，即，即，，.設(shè)，則，得.所以，.故答案為：5、（2020屆江蘇省南通市如皋市高三下學(xué)期二模）在平面直角坐標系中，已知在圓：上運動，且.若直線：上的任意一點都滿足，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題得圓的圓心.且,,（其中是的夾角），，因為，所以,所以，所以，所以.所以.故答案為：6、6、（2020屆江蘇省南通市高三下學(xué)期3月開學(xué)考試）在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：，圓C：，動點P在直線上的兩點E，F之間，過點P分別作圓O，C的切線，切點為A，B，若滿足PB≥2PA，則線段EF的長度為_______．【答案】【解析】動點P在直線上，設(shè)點，圓O：，過點P分別作圓O的切線，切點為A，所以，同理可得，因為PB≥2PA，得，即，解得，所以,,線段7、（2020屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(二)）已知圓，過定點作斜率為的直線交圓于兩點，為的中點．（1）求實數(shù)的值；（2）從圓外一點向圓引一條切線，切點為，且有，求的最小值．【答案】（1）．（2）【解析】（1）由得因為為的中點，所以在圓內(nèi)且．所以，解得． （2）由（1）得圓，即，所以圓心，半徑．設(shè)點坐標為，因為為圓的切線，所以，所以 又，所以，則，整理，得．由于故取最小值即取最小值，點到圓的圓心距離，所以，的最小值為，所以，的最小值為．題型二、圓與圓錐曲線的結(jié)合1、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）已知P是橢圓C：上的動點，Q是圓D：上的動點，則（    ）A．C的焦距為                B．C的離心率為C．圓D在C的內(nèi)部               D．的最小值為【答案】BC【解析】 ，，則C的焦距為，.設(shè)（），則，所以圓D在C的內(nèi)部，且的最小值為.故選：BC.2、（2020·山東省淄博實驗中學(xué)高三上期末）雙曲線：的左、右焦點分別為、，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為____.【答案】【解析】設(shè)△MPF2的內(nèi)切圓與MF1，MF2的切點分別為A，B，由切線長定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由雙曲線的定義可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴雙曲線的離心率為e．故答案為：．3、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知拋物線：和直線：，是直線上一點，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，，是拋物線上異于，的任一點，拋物線在處的切線與，分別交于，，則外接圓面積的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)三個切點分別為，若在點處的切線斜率存在，設(shè)方程為與聯(lián)立，得，，即，所以切線方程為  ①若在點的切線斜率不存在，則，切線方程為滿足①方程，同理切線的方程分別為，，聯(lián)立方程，，解得，即同理，，，設(shè)外接圓半徑為，，，時取等號，點在直線，，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立，此時外接圓面積最小為.故答案為:.題型三 隱圓問題1、（江蘇省南通巿2019-2020學(xué)年第一次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）在平面直角坐標系中，是圓的弦，且，若存在線段的中點，使得點關(guān)于軸對稱的點在直線上，則實數(shù)的取值范圍是_______________________.【答案】【解析】因為點為弦的中點,所以,在中,,,所以,所以點的軌跡為以為圓心,為半徑的圓,因為點與點關(guān)于軸對稱,所以點的軌跡為以為圓心,為半徑的圓,因為點在直線上,所以直線與圓:有交點,所以,即,解得,故答案為: 2、（2020屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期七調(diào)）已知直線與直線相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得圓的圓心為，半徑，易知直線恒過點，直線恒過，且，點的軌跡為，圓心為，半徑為，若點為弦的中點,位置關(guān)系如圖：.連接，由易知.，.故選：D.3、(2019鎮(zhèn)江期末） 已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得PA⊥PB，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】－2≤a≤2.【解析】   考察點P的軌跡C，軌跡C與圓M有公共點．利用圓與圓的位置關(guān)系求解．由PA⊥PB，PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，得四邊形PAOB是正方形，所以P的軌跡是以原點O為圓心，為半徑的圓．又點P也在圓M上，所以OM≤＋，得a2＋22≤8，解得－2≤a≤2.4、（2018年蘇州一模） 在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－4，0)，B(0，4)，從直線AB上一點P向圓x2＋y2＝4引兩條切線PC，PD，切點分別為C，D.設(shè)線段CD的中點為M，則線段AM長的最大值為________．【答案】 3【解析】 P在直線AB：y＝x＋4上，設(shè)P(a，a＋4)，可以求出切點弦CD的方程為ax＋(a＋4)y＝4，易知CD過定點，所以M的軌跡為一個定圓，問題轉(zhuǎn)化為求圓外一點到圓上一點的距離的最大值．解法1(幾何法) 因為直線AB的方程為y＝x＋4，所以可設(shè)P(a，a＋4)，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC方程為x1x＋y1y＝4，PD：x2x＋y2y＝4，將P(a，a＋4)分別代入PC，PD方程，則直線CD的方程為ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直線CD過定點N(－1，1)，又因為OM⊥CD，所以點M在以O(shè)N為直徑的圓上(除去原點)，又因為以O(shè)N為直徑的圓的方程為＋＝，所以AM的最大值為＋＝3.解法2(參數(shù)法) 因為直線AB的方程為y＝x＋4，所以可設(shè)P(a，a＋4)，同解法1可知直線CD的方程為ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝.又因為O，P，M三點共線，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝.因為a＝＝，所以點M的軌跡方程為＋＝(除去原點)，所以AM的最大值為＋＝3. 此類問題往往是求出一點的軌跡方程，轉(zhuǎn)化為定點到曲線上動點的距離的最值問題，而求軌跡方程，解法1運用了幾何法，解法2運用了參數(shù)法，消去參數(shù)a得到軌跡方程．另外要熟練記住過圓上一點的切線方程和圓的切點弦方程的有關(guān)結(jié)論．5、在平面直角坐標系中，已知圓，點，若圓上存在點，滿足，則點的縱坐標的取值范圍是  ▲  ．【答案】  思路分析：根據(jù)條件可得動點的軌跡是圓，進而可以將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系進行處理.解題過程：設(shè)，因為所以，化簡得，則圓與圓有公共點，將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為，代入可得，所以點的縱坐標的取值范圍是．解后反思：在解決與圓相關(guān)的綜合問題時，要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)或一些簡單的軌跡知識將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓或圓與圓的位置關(guān)系問題.6、在平面直角坐標系xOy中，已知B，C為圓x2＋y2＝4上兩點，點A(1,1)，且AB⊥AC，則線段BC的長的取值范圍為________．【答案】 [－，＋]　【解析】思路分析 本題考查圓的方程和性質(zhì)，考查等價轉(zhuǎn)化和運算求解能力，借助直角三角形的性質(zhì)，把求BC的長轉(zhuǎn)化為求2AM的長，而A為定點，思路1，求出M的軌跡方程，根據(jù)圓的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)不難求得，其軌跡為一個圓，問題就轉(zhuǎn)化為一定點到圓上一點的距離，這是一個基本題型，求解即得；思路2，設(shè)出AM＝x，OM＝y，尋找到x，y之間的關(guān)系式，通過線性規(guī)劃的知識去處理．解法1 設(shè)BC的中點為M(x，y)．因為OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，所以4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化簡得2＋2＝，所以點M的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以AM的取值范圍是，所以BC的取值范圍是[－，＋]．解法2 設(shè)BC的中點為M，設(shè)AM＝x，OM＝y.因為OC2＝OM2＋CM2＝OM2＋AM2，所以x2＋y2＝4.因為OA＝，所以x＋y≥，x＋≥y，y＋≥x.如圖所示，可得x∈，所以BC的取值范圍是[－，＋]． 

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