考點(diǎn)29  拋物線及其性質(zhì)  1、 了解拋物線的實(shí)際背景、定義和幾何圖形 .2、了解拋物線的的標(biāo)準(zhǔn)方程,會(huì)求拋物線的的標(biāo)準(zhǔn)方程;會(huì)用拋物線的的標(biāo)準(zhǔn)方程處理簡單的實(shí)際問題 .3、掌握拋物線的簡單性質(zhì),會(huì)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實(shí)際問題   近幾年拋物線在各地高考的真題主要體現(xiàn)在1、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及其性質(zhì)2、直線與拋物線以及直線與向量等其它知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合    掌握求拋物線的方程以及由拋物線的方程解決焦點(diǎn)坐標(biāo)等性質(zhì)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.    1、【2020年北京卷】.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線（    ）．A. 經(jīng)過點(diǎn) B. 經(jīng)過點(diǎn)C. 平行于直線 D. 垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示：．因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn).故選：B.2、【2020年全國1卷】.已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y軸的距離為9，則p=（    ）A. 2 B. 3 C. 6 D. 9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.3、【2020年全國3卷】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.4、【2020年山東卷】.斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=________．【答案】【解析】∵拋物線的方程為，∴拋物線焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，又∵直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得   所以解法二：設(shè)，則,過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：5、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=A．2            B．3            C．4              D．8【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．6、【2019年高考天津卷理數(shù)】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為A．  B．C．  D．【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有，∴，，，∴.故選D.7、【2018年高考全國I理數(shù)】設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則=A．5             B．6C．7             D．8【答案】D【解析】根據(jù)題意，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D.8、【2017年高考全國I理數(shù)】已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16         B．14C．12         D．10【答案】A【解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取等號(hào)．故選A．9、【2017年高考全國II理數(shù)】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則_______________．【答案】【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故．   題型一 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)1、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為該拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足.若直線AF的斜率為，則的面積為(     )A． B． C．8 D．【答案】B【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，則， 又直線AF的斜率為，所以，因此，；由拋物線的定義可得：，所以是邊長為的等邊三角形，所以的面積為.故選：B.2、（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）拋物線（）的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F且與拋物線交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)N在軸上方），點(diǎn)E為軸上F右側(cè)的一點(diǎn)，若，，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為T，直線l與準(zhǔn)線交于R，，則，，過M，N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖，由拋物線定義知，，，因?yàn)?/span>∥，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，，過M作的垂線，垂足為G，則，所以，解得，故.故選：C.3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】如下圖所示：分別過點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項(xiàng)正確；，又，為的中點(diǎn)，則，B選項(xiàng)正確；，，（拋物線定義），C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.4、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為K，P為C上異于O的任意一點(diǎn)，P在l上的射影為E，的外角平分線交x軸于點(diǎn)Q，過Q作交的延長線于，作交線段于點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由拋物線的定義，，A正確；∵，是的平分線，∴，∴，B正確；若，由是外角平分線，，得，從而有，于是有，這樣就有，為等邊三角形，，也即有，這只是在特殊位置才有可能，因此C錯(cuò)誤；連接，由A、B知，又，是平行四邊形，∴，顯然，∴，D正確．5、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是__________．【答案】【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是，根據(jù)拋物線的定義可知 ，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，的最小值是，，的最小值是.故答案為：6、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F(4，0)，過F作直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則p=_______，的最小值為______．【答案】        【解析】∵ 拋物線的焦點(diǎn)為F(4，0)，∴ ，∴ 拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由得，∴，，由拋物線的定義得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：．題型二 拋物線與其它知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合1、（2020·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的周長為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線方程中：令可得，即，結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)，AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，設(shè)執(zhí)行AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，據(jù)此可得：，且：，將代入可得，故，故,故△ABM的周長為,本題選擇D選項(xiàng). 2、（北京市順義區(qū)牛欄山第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）過曲線：的焦點(diǎn)并垂直于軸的直線與曲線交于，，在上方，為拋物線上一點(diǎn)，，則（    ）A．0 B．3 C．0或3 D．【答案】C【解析】由題中條件可得焦點(diǎn)為，即可求得：A(1，2)，B(1，-2)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a，b)，代入曲線方程可得，由，得，即，又因?yàn)?/span>，化簡得，解得0或3.故選：C.3、（北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文)試題）已知是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，聯(lián)立拋物線的準(zhǔn)線方程與雙曲線的漸近線方程，解得，可得，為等邊三角形，可得，即有，則．故選：D．4、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知拋物線：和直線：，是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)做拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，是拋物線上異于，的任一點(diǎn)，拋物線在處的切線與，分別交于，，則外接圓面積的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)三個(gè)切點(diǎn)分別為，若在點(diǎn)處的切線斜率存在，設(shè)方程為與聯(lián)立，得，，即，所以切線方程為  ①若在點(diǎn)的切線斜率不存在，則，切線方程為滿足①方程，同理切線的方程分別為，，聯(lián)立方程，，解得，即同理，，，設(shè)外接圓半徑為，，，時(shí)取等號(hào)，點(diǎn)在直線，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)外接圓面積最小為.故答案為:.5、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（    ）A．以線段為直徑的圓與直線相離  B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時(shí)， D．的最小值為4【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線一定相切，進(jìn)而與直線一定相離：對(duì)于選項(xiàng)B，顯然中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與不一定相等，因此命題錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，D，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得 ，，，若設(shè)，則，于是，最小值為4；當(dāng)可得，，所，.故選:ACD.6、（2020屆山東省煙臺(tái)市高三上期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，點(diǎn)在上的射影為，則 （    ）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．設(shè)，則D．過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?/span>,所以,則,故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)為中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在上的射影為,點(diǎn)在上的射影為,則由梯形性質(zhì)可得,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?/span>,所以,故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,顯然直線,與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)過的直線為,聯(lián)立,可得,令,則,所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)有三條直線符合題意,故D錯(cuò)誤；故選：ABC7、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，是上一點(diǎn)， 是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則__________.【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)與軸的交點(diǎn)為M，過Q向準(zhǔn)線，垂足是N，∵拋物線，∴焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，∵，8、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知拋物線：和直線：，是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)做拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，是拋物線上異于，的任一點(diǎn)，拋物線在處的切線與，分別交于，，則外接圓面積的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)三個(gè)切點(diǎn)分別為，若在點(diǎn)處的切線斜率存在，設(shè)方程為與聯(lián)立，得，，即，所以切線方程為  ①若在點(diǎn)的切線斜率不存在，則，切線方程為滿足①方程，同理切線的方程分別為，，聯(lián)立方程，，解得，即同理，，，設(shè)外接圓半徑為，，，時(shí)取等號(hào)，點(diǎn)在直線，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)外接圓面積最小為.故答案為:.

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