2020-2021學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題包括8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個選項(xiàng)符合題意）1．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足，則　　A．1 B． C．2 D．2．（5分）已知向量，均為單位向量，兩向量夾角為，那么　　A． B． C． D．13．（5分）對于非零向量，下列命題中正確的是　　A． B．在上的投影向量為是與方向相同的單位向量） C． D．4．（5分）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中重要組成部分，某學(xué)生做引體向上運(yùn)動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：約為　　（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，A．81 B．87 C．89 D．915．（5分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，若，則三角形的形狀為　　A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形6．（5分）如圖是一祭祀天壇，在今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得天壇的面積，在天壇外圍測得米，米，米，據(jù)此可以估計(jì)天壇的面積大約為　　．（結(jié)果精確到1米（參考數(shù)據(jù)：，A．1386米 B．1131米 C．1286米 D．1331米7．（5分）已知，則的值是　　A． B． C． D．8．（5分）在平行四邊形中，，，，且在邊上，則的最小值為　　A． B． C． D．二、多選題（本題包括4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。）9．（5分）下列格式中，值等于的是　　A． B． C． D．10．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的結(jié)論正確的是　　A． B．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第二象限 C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D．復(fù)數(shù)是方程的一個根11．（5分）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是　　A．函數(shù)的最小正周期是 B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 C．函數(shù)在上遞增 D．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位得到12．（5分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是　　A．若，則外接圓半徑為 B．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 C．是鈍角三角形 D．三、填空題（本題包括4小題，每小題5分，共20分。）13．（5分）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)　　．14．（5分）已知，是方程的兩根，則　　．15．（5分）如圖，為測量一個旗桿的高度，在處測得桿頂?shù)难鼋菫?/span>，后退40米到達(dá)處測得塔頂?shù)难鼋菫?/span>，則旗桿的高度為　　米．16．（5分）如圖在同一平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，2，3，且與的夾角為，且，與的夾角為，若，則　　．四、解答題（本題包括6小題，17題10分，18-22題每小題10分，共70分。）17．（10分）已知，．（1）當(dāng)為何值時(shí)，與共線？（2）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？（3）當(dāng)為何值時(shí)，與夾角為銳角？18．（12分）已知，．（1）求的值；（2）求的值．19．（12分）在①，②，③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角，，所對的邊分別為，，，若的面積為，且 ___．求的周長．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及在區(qū)間上的最大值（2）在銳角中，，且，求取值范圍．21．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，若．（1）求角的值；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的長．22．（12分）為響應(yīng)國家號召開，積極引進(jìn)外資，現(xiàn)欲在南京紫金東創(chuàng)建一工廠，目前兩條公路，的交匯點(diǎn)處有一居民區(qū)，現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建造工廠，同時(shí)在兩公路旁，（異于點(diǎn)處設(shè)兩個銷售點(diǎn)，且滿足，（千米），（千米），設(shè)．（注（1）試用表示，并寫出的范圍；（2）當(dāng)為多大時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民區(qū)的影響最?。垂S與學(xué)校的距離最遠(yuǎn)）．
2020-2021學(xué)年江蘇省南京市江寧區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題（本題包括8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個選項(xiàng)符合題意）1．【分析】先求出復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式即可求解【解答】解：由題意可得，故選：．2．【分析】利用向量的模的運(yùn)算法則，化簡求解即可．【解答】解：向量，均為單位向量，兩向量夾角為，那么．故選：．3．【分析】利用向量的數(shù)量積判斷；利用向量的投影向量判斷；向量垂直的充要條件判斷；向量的數(shù)量積判斷；【解答】解：，所以不正確；在上的投影向量為：是與方向相同的單位向量）所以不正確．，所以正確；推不出，所以不正確；故選：．4．【分析】可設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，根據(jù)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出重力的值，進(jìn)而可得出學(xué)生的體重的值．【解答】解：設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，，，，，解得．學(xué)生的體重約為．故選：．5．【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出的值，進(jìn)一步利用正弦定理得到，最后即可判斷出三角形的形狀．【解答】解：在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則：，由于：，故：．由于：，利用正弦定理得：，所以：，故：，所以：為等邊三角形．故選：．6．【分析】利用題中的條件以及利用解三角形的知識，即可解出．【解答】解：設(shè)，則，在中，，在中，，，，，故選：．7．【分析】由題意利用兩角和差的三角公式，先求得，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：已知，則，故選：．8．【分析】先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求出，再建立坐標(biāo)系，得到的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，問題得以解決．【解答】解：平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，，，，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以的垂線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)，則在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，（1），則的最小值是，故選：．二、多選題（本題包括4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。）9．【分析】對于，利用二倍角的正切公式即可求解；對于，利用誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式即可求解；對于，利用二倍角的余弦公式即可求解；對于，利用兩角和的余弦公式即可求解．【解答】解：對于，；對于，；對于，；對于，，故選：．10．【分析】先由已知求出復(fù)數(shù)，然后對應(yīng)各個選項(xiàng)逐個求解即可．【解答】解：由可得：，所以，故正確，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故錯誤，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故錯誤，方程的根為：或，故正確，故選：．11．【分析】首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：函數(shù)．對于：函數(shù)的最小正周期為，故正確；對于：當(dāng)時(shí)，，故正確；對于：由于，所以，故函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故錯誤；對于：函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象，故錯誤；故選：．12．【分析】由已知可求的值，然后分別結(jié)合正弦定理，余弦定理及二倍角公式，同角平方關(guān)系分別對選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解．【解答】解：由，可得，故可設(shè)，，，由正弦定理可得：，故正確；由題意可知為最大角，由余弦定理可得：，故為銳角，從而可知是銳角三角形，故錯誤；因?yàn)樽钚?nèi)角為最小角，，故，故，故正確；由，，結(jié)合正弦定理可得，故，故正確．故選：．三、填空題（本題包括4小題，每小題5分，共20分。）13．【分析】利用純虛數(shù)的定義直接求解．【解答】解：是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，解得實(shí)數(shù)．故答案為：．14．【分析】由題意利用韋達(dá)定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：，是方程的兩根，，，則，故答案為：．15．【分析】利用表示出，．讓減去等于40即可求得長．【解答】解：設(shè)，則，，則，，故答案為：．16．【分析】由得：，以為原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量，，的模長及夾角分別求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【解答】解：由得：，以為原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：由，的模長為2，可得，，由，的模長為3，可得，，由的模長為1，可得，又，，，，，，解得，，故答案為：．四、解答題（本題包括6小題，17題10分，18-22題每小題10分，共70分。）17．【分析】（1）分別求出，，由與共線，列出方程，能求出當(dāng)為1時(shí)，與共線．（2）分別求出，，，由與垂直，列出方程能求出當(dāng)為時(shí)，與垂直．（3）求出，，，由與夾角為銳角，列出不等式能求出當(dāng)時(shí)，與夾角為銳角．【解答】解：（1），．，，與共線，，解得，解得．當(dāng)為1時(shí)，與共線．（2），，，與垂直，，解得．當(dāng)為時(shí)，與垂直．（3），，，與夾角為銳角，，且，解得，且．當(dāng)或時(shí)，與夾角為銳角．18．【分析】（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式，計(jì)算求得的值．（2）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用兩角和的正弦公式，計(jì)算求得的值．【解答】解：（1），，故為銳角，，．（2）由（1）可得，，，，，故．19．【分析】選①，由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結(jié)合，可得的值，結(jié)合，可求的值；選②，利用倍角公式，正弦定理可求的值，結(jié)合的范圍，可得的值；選③，利用平方和公式，正弦定理，余弦定理化簡已知可得的值，結(jié)合，可得的值．由余弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式可求的值，從而可求的值，即可得解的周長的值．【解答】解：若選①，由正弦定理得，即．因?yàn)?/span>，所以，所以，又，從而得．若選②，因?yàn)?/span>，可得，所以由正弦定理可得，可得，又，從而得．若選③，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，可得．因?yàn)?/span>，所以可得．因?yàn)?/span>的面積為，，，由余弦定理，得，由，得，所以，故．20．【分析】（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）函數(shù)．所以函數(shù)的最小正周期為．當(dāng)，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為．（2）由于在銳角中，，所以，解得．利用正弦定理，所以，，由于，所以．所以，由于，所以，故，故．即的取值范圍為，．21．【分析】（1）利用正弦定理將已知等式中的邊化角，并結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，推出，再由輔助角公式，即可得解；（2）由，知，再在中，利用余弦定理，即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理知，，，，，，又，，即，，，，，即．（2），，且，的面積為，，即，，，在中，由余弦定理知，，．22．【分析】（1）直接利用正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；（2）直接利用余弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)．所以，在中，利用正弦定理：，，整理得．（2）在中，利用余弦定理：，，，故當(dāng)，即時(shí)，的最大值為12，影響最小，聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:16:52；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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