2020-2021學年江蘇省南京市六校聯(lián)考高一（下）期中數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）在中，若，，，則　　A． B． C． D．2．（5分）已知向量，滿足，，且，夾角為，則　　A． B． C． D．3．（5分）若復數是純虛數，則實數的值為　　A．1 B．2 C．1 或 2 D．4．（5分）已知，且，，則　　A． B． C． D．5．（5分）已知，是虛數單位．若，，則的值為　　A．或 B．1 C． D．1或6．（5分）已知，且為銳角，則　　A． B． C． D．7．（5分）如圖，有一位于處的觀測站，某時刻發(fā)現(xiàn)其北偏東，且與相距海里的處有一貨船，正以40海里小時的速度，向南偏西勻速直線行駛，30分鐘后到達處，則此時該船與觀測站的距離為　　海里．A． B． C．20 D．8．（5分）古希臘的數學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．若實數滿足，則　　A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9．（5分）已知復數為虛數單位），則　　A． B．對應的點在第一象限 C．的虛部為 D．的共軛復數為10．（5分）如圖，的方格紙中有一個向量（以圖中的格點為起點，格點為終點），則　　A．分別以圖中的格點為起點和終點的向量中，與是相反向量的共有11個 B．滿足的格點共有3個 C．滿足的格點共有4個 D．存在格點，，使得11．（5分）下列各式中，值為的是　　A． B． C． D．12．（5分）在中，下列結論中，正確的是　　A．若，則是等腰三角形 B．若，則 C．若，則為鈍角三角形 D．若，，且結合的長解三角形，有兩解，則長的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）在中，若，，，則　　，　　．14．（5分）求值：　　．15．（5分）在中，內角，，的對邊分別為，，．若，，，則　　．16．（5分）歐拉是科學史上最多才的一位杰出的數學家，他發(fā)明的公式為，虛數單位，將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，這個公式也被譽為“數學中的天橋”根據此公式，的最大值為　　．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在平面直角坐標系中，已知平面向量，，．（1）求證：與垂直；（2）若與是共線向量，求實數的值．18．（12分）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，請在①，的面積為，②，③這三個條件中任選一個，完成下列問題：（1）求角的大小；（2）求的值．19．（12分）如圖，已知正三角形的邊長為1，設，．（1）若是的中點，用，分別表示向量，；（2）求；（3）求與的夾角．20．（12分）如圖，扇形鋼板的半徑為，圓心角為．現(xiàn)要從中截取一塊四邊形鋼板．其中頂點在扇形的弧上，，分別在半徑，上，且，．（1）設，試用表示截取的四邊形鋼板的面積，并指出的取值范圍；（2）求當為何值時，截取的四邊形鋼板的面積最大．21．（12分）如圖，在復平面中，平行四邊形的頂點，．（1）求點對應的復數；（2）記點，，對應的復數分別為，，．①若，求復數；②若復數滿足，求的最小值．22．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的面積．
2020-2021學年江蘇省南京市六校聯(lián)考高一（下）期中數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．【分析】結合已知，根據正弦定理，可求【解答】解：根據正弦定理，，則故選：．2．【分析】按照多項式乘多項式展開后利用數量積的性質可得．【解答】解：故選：．3．【分析】直接由實部等于0且虛部不等于0求解即可得答案．【解答】解：由復數是純虛數，得，解得．故選：．4．【分析】直接利用兩角和與差的三角函數化簡求解即可．【解答】解：，，．又，，則，所以．故選：．5．【分析】由已知結合列式求解值．【解答】解：，且，，即或1．故選：．6．【分析】先由為銳角，得到的范圍，再求，再由，運用兩角和差的余弦公式，即可得到．【解答】解：由于，且為銳角，則，即，則．故選：．7．【分析】根據題意，利用余弦定理求出的值．【解答】解：由題意知，，，，由余弦定理得：，解得．即該船與觀測站的距離為20海里．故選：．8．【分析】由已知先求出，然后利用正余弦的倍角公式以及誘導公式化簡所求的關系式，由此即可求解．【解答】解：根據題中的條件可得：，則．故選：．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9．【分析】由已知結合復數的基本概念及模的求法逐一核對四個選項得答案．【解答】解：，，故正確；對應的點為，在第一象限，故正確；的虛部為1，故錯誤；，故錯誤；故選：．10．【分析】根據相反向量的定義可判斷錯誤，建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算逐個分析選項，可判斷正確．【解答】解：：分別以圖中的格點為起點和終點的向量中，與是相反向量的共有 18個，故錯，以為原點建立平面直角坐標系，則，設，，，且，，：若，所以，，，且，，得，，共三個，故正確，：若，則，，，且，，得，，，共4個，故正確，：當，時，則成立，故正確．故選：．11．【分析】直接利用三角函數關系式中倍角公式和誘導公式的變換求出結果．【解答】解：對于，故正確；對于，故錯誤；對于，故正確；對于，故錯誤；故選：．12．【分析】直接利用三角函數的誘導公式，正弦定理和余弦定理，三角形解的情況的應用判斷、、、的結論．【解答】解：對于：若，整理得，故，則是等腰三角形，故正確；對于：若，轉換為：，利用正弦定理：，則，故正確；對于：若，則，故，故為鈍角三角形，故正確；對于：若，，且結合的長解三角形，有兩解，則滿足，即，故錯誤；故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．【分析】由已知利用同角三角函數基本關系式可求，的值，進而根據兩角和的正弦公式即可求解的值，進而根據正弦定理可得的值．【解答】解：因為，，，所以，，所以，因為由正弦定理，可得，解得．故答案為：，52．14．【分析】先把原式中切轉化成弦，利用兩角和公式和整理后，運用誘導公式和二倍角公式化簡整理求得答案．【解答】解：原式故答案為：115．【分析】由已知利用余弦定理可得的值，利用同角三角函數基本關系式可求的值，進而根據正弦定理即可求解．【解答】解：因為，，，所以由余弦定理可得，可得，因為，所以．故答案為：．16．【分析】先求出，然后結合模長公式及余弦函數的性質可求．【解答】解：由題意得，則，即最大值為3．故答案為：3．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．【分析】（1）利用平面向量坐標運算法則求出，，再由，能證明與垂直．（2）利用平面向量坐標運算法則求出，再由與是共線向量，，能求出實數的值．【解答】解：（1）證明：平面向量，，．，，，與垂直．（2）解：，，，與是共線向量，．，解得．18．【分析】（1）由余弦定理可得，結合范圍，可求的值．（2）選擇條件①：由已知利用三角形的面積公式可求的值，進而可求是等邊三角形，即可求解的值；選擇條件②：由正弦定理即可求解的值；選擇條件③：由已知利用三角形內角和定理可求的值，根據兩角和的正弦公式即可求解的值．【解答】解：（1）因為，由余弦定理可得，又因為，所以．（2）選擇條件①：因為，所以，又因為，，所以是等邊三角形，所以，所以，選擇條件②：由正弦定理，及，得，選擇條件③：由，得，所以．19．【分析】（1）由平面向量的線性運算得：，．（2）由平面向量的模的運算得：．（3）平面向量數量積的運算得：，又，，故與的夾角為，得解．【解答】解：（1）因為，．是的中點，故，．（2）因為，，故．（3），又，設與的夾角為，所以，又，，故與的夾角為．20．【分析】（1）由題意可知，，，進而表達出的面積，再根據，表達出的面積，從而得到四邊形鋼板的面積的表達式和的取值范圍．（2）利用三角函數公式可得，再由的范圍，結合三角函數的性質即可求出的最大值．【解答】解：（1）因為，扇形鋼板的圓心角為，所以，因為扇形鋼板的半徑為，，，所以，，所以，又，，所以，所以四邊形鋼板的面積，，其中的取值范圍為．（2），因為，所以，所以當，即時，四邊形鋼板的面積最大，最大值為．21．【分析】（1）由已知結合復數的向量運算求得的坐標，進一步可得點所對應的復數；（2）①由圖求得，，，代入，變形后利用復數代數形式的乘除運算求解；②設，，，由可得與的關系，再由復數模的公式及配方法求解的最小值．【解答】解：（1）在復平面中，由，得，，四邊形為平行四邊形，，的坐標為，則點對應的復數為．（2）由已知及（1），得，，，①由，得．②設，，，則由，得，即，，，當時，，即的最小值為．22．【分析】（1）法一：（化角），由正弦定理，兩角差的正弦公式化簡已知等式可得，結合范圍，，可求的值．法二：（化邊），由余弦定理化簡已知等式可求的值，結合，可求的值．（2）在中，由已知利用余弦定理可得，解得的值，進而根據三角形的面積公式即可求解．【解答】解：（1）法一：（化角）在中，由正弦定理，得，，．因為，所以，即，所以，因為，，，所以，，所以，或，或，即，或（舍或（舍，因為，所以．法二：（化邊）因為，，，，所以，所以，所以，即，因為，所以，即，所以，因為，所以．（2）在中，因為，，，所以結合余弦定理，得，即，解得或（舍去），所以，即的面積為．聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/3/11 19:10:25；用戶：高中數學6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學號：42412367

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