2020-2021學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)金陵中學(xué)河西分校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．（5分）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，為虛數(shù)單位，則等于　　A． B． C． D．2．（5分）已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是　　A． B． C． D．3．（5分）已知在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，，，邊上的中線長(zhǎng)為4，則的面積為　　A． B． C． D．4．（5分）已知中角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則角等于　　A． B． C． D．5．（5分）在平面四邊形中，，，，，，則　　A． B． C． D．6．（5分）已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市東偏北為銳角）度的150公里處，以公里小時(shí)沿正西方向快速移動(dòng)，2.5小時(shí)后到達(dá)距城市西偏北為銳角）度的200公里處，若，則　　A．60 B．80 C．100 D．1257．（5分）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則　　A．、、、四點(diǎn)共面，且 B．、、、四點(diǎn)共面，且 C．、、、四點(diǎn)不共面，且 D．、、、四點(diǎn)不共面，且8．（5分）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為　　A．， B．， C．， D．，二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9．（5分）下面各式中正確的是　　A． B． C． D．10．（5分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是　　A． B．是鈍角三角形 C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 D．若，則外接圓半徑為11．（5分）已知某一幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，那么在此幾何體中，下面的結(jié)論中正確的是　　A．直線與直線異面 B．直線與直線異面 C．直線平面 D．直線平面12．（5分）已知函數(shù)，，，，恒成立，且函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)，那么下列說(shuō)法中正確的是　　A．存在，使得是偶函數(shù) B． C．是奇數(shù) D．的最大值為3三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13．（5分）已知，那么　　．14．（5分）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的面積是　　．15．（5分）中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則外接圓面積的最小值為　　．16．（5分）已知，為單位向量，滿(mǎn)足，若，，則，的夾角為，則的最小值為　　．四、解答題（共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）17．（10分）已知向量，，，，函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為．（1）求的解析式；（2）若，且，求的值．18．（12分）已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足_______，且，，求的值及的面積．從①；②；③．這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充上面的問(wèn)題中，并解答．19．（12分）如圖所示是兩個(gè)半徑不同的同心圓，半徑分別為1和2，是小圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，是大圓上的三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)，為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）當(dāng)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）如圖，在三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，，，．（1）證明：平面；（2）證明：平面．22．（12分）某形場(chǎng)地，，，米、足夠長(zhǎng)）．現(xiàn)修一條水泥路在上，在上），在四邊形中種植三種花卉，為了美觀起見(jiàn)，決定在上取一點(diǎn)，使，且．現(xiàn)將，鋪成鵝卵石路，設(shè)鵝卵石路總長(zhǎng)為米．（1）設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最小值．
2020-2021學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)金陵中學(xué)河西分校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：由，得，故選：．2．【分析】畫(huà)出圖形，結(jié)合向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化判斷求解即可．【解答】解：畫(huà)出圖形如圖，，它的幾何意義是的長(zhǎng)度與在向量的投影的乘積，顯然，在處時(shí)，取得最大值，，可得，最大值為6，在處取得最小值，，最小值為，是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，所以的取值范圍是．故選：．3．【分析】先結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合余弦定理可求，，再由三角形面積公式可求．【解答】解：因?yàn)?/span>所以，即，所以，，，因?yàn)?/span>邊上的中線長(zhǎng)為4，由余弦定理得，所以，，則的面積．故選：．4．【分析】由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得，解方程可得的值，結(jié)合范圍，可求的值．【解答】解：，由正弦定理可得，可得，，整理可得，解得，或（舍去），，．故選：．5．【分析】根據(jù)題意，連接，在中，分析易得，進(jìn)而可得，在中，結(jié)合余弦定理分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，連接，在中，，，且，則，又由，則，又由，則，則；故選：．6．【分析】如圖所示：，，，，根據(jù)解三角形可得，①，又，②，求出，，求出的距離，即可求出速度．【解答】解：如圖所示：，，，，在中，，在中，，，即，①，又，②，由①②解得，，，，，，，故選：．7．【分析】根據(jù)，確定平面即可判斷四點(diǎn)共面，利用勾股定理計(jì)算、得出和是否相等．【解答】解：連接，，是正方形的中心，直線，又平面，平面，又直線，平面，又平面，平面，、、、四點(diǎn)共面．取的中點(diǎn)，連接，，則，，，取的中點(diǎn)，連接，，則，，．．故選：．8．【分析】利用輔助角公式先進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)系，以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求出的取值范圍即可．【解答】解：，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則，由，，得，，若在上單調(diào)遞減，則，得，即，，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，，故選：．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9．【分析】由兩角和與差的三角函數(shù)逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答】解：對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，等式右邊，故正確；對(duì)于，，，則，故錯(cuò)誤．故選：．10．【分析】由正弦定理可判斷；由余弦定理可判斷；由余弦定理和二倍角公式可判斷；由正弦定理可判斷．【解答】解：，可設(shè)，，，解得，，，，可得，故正確；由為最大邊，可得，即為銳角，故錯(cuò)誤；由，由，由，，可得，故正確；若，可得，外接圓半徑為，故正確．故選：．11．【分析】直接利用異面直線的判定，線面平行的判定的應(yīng)用判定、、、的結(jié)論．【解答】解：某一幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，復(fù)原為直觀圖為：如圖所示： 對(duì)于：直線平面中，直線和平面交于點(diǎn)，故直線和直線為異面直線，故正確；對(duì)于：由于點(diǎn)、為、的中點(diǎn)，所以，由于，所以，所以和共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于：由于直線，平面，故平面，故正確；對(duì)于：直線，直線平面，平面，所以平面，故正確．故選：．12．【分析】由，恒成立，可得，，可得，．根據(jù)函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)，可得，解得，即．進(jìn)而判斷出正誤．【解答】解：由，恒成立，可得，，，．函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)，，解得，即．由，可得，解得，．由，可得，解得，．若時(shí)，只能：；若，5時(shí)，無(wú)解；若時(shí)，只能：，此時(shí)不滿(mǎn)足函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)．可知不正確．綜上可得：只有正確．故選：．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13．【分析】由弦化切求出，再利用弦化切計(jì)算的值．【解答】解：由，得，解得，所以．故答案為：．14．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，由于，利用正弦定理可得：．利用余弦定理可解得，，根據(jù)三角形面積公式即可得出．【解答】解：，，，可得：．，由，可得：，解得，．．故答案為：．15．【分析】由條件及正弦定理，余弦定理整理得，或．分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，可求為直角，可求三角形的外接圓的面積，當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理，基本不等式可求，當(dāng)等號(hào)成立，可得，設(shè)外接圓的半徑為，由，可得，可求外接圓的面積，由此得解其最小值．【解答】解：，，由條件及正弦定理得：，，整理得，或．①當(dāng)時(shí)，，可得，又，則外接圓半徑，外接圓面積為；②當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得：，，當(dāng)等號(hào)成立．，設(shè)外接圓的半徑為，則，故，，由①②可得外接圓面積的最小值為．故答案為：．16．【分析】設(shè)向量，夾角為，用表示，可解決此題．【解答】解：設(shè)向量，夾角為，，，得：．，當(dāng)時(shí)，取最小值．故答案為：．四、解答題（共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）17．【分析】（1）由已知利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式，由題意可知其周期為，利用周期公式可求，即可得解函數(shù)解析式（2）由，可得．．由 即可計(jì)算得解．【解答】解：（1）．，（4分），，即（7分）（2），．，，，，（8分）．，，．（12分）（14分）18．【分析】選擇①，利用三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，計(jì)算的面積．選擇②，由，根據(jù)三角形中邊角關(guān)系判定這樣的三角形不存在．選擇③，利用正弦定理求出和的值，以下解法同①．【解答】解：選擇①，，由，所以；由正弦定理得，即，解得；所以的面積為．選擇②，，由，，且是鈍角，這樣的三角形不存在．選擇③，，由，，利用正弦定理，得，解得；由，所以，；所以，計(jì)算，所以的面積為．19．【分析】（1）把，移項(xiàng)得，再平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算即可．（2）先得到，再由，，即可求解．【解答】證明：（1），，，，，，，．解：（2）連接，設(shè)與的夾角為，，，則，，，，．20．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，然后令，解出方程即可；（2）令，則，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，即可求的取值范圍．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，令，則或（舍，或，的零點(diǎn)為或；（2）當(dāng)，恒有等價(jià)于在當(dāng)上成立．令，，，，的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，（1），，；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，，；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，恒成立，綜上，的取值范圍為．21．【分析】（1）連接交，與點(diǎn)，連接，在△中，利用中位線的性質(zhì)可證，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面．（2）利用線面垂直的判定定理可證平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證，利用勾股定理可證，即可利用線面垂直的判定證明平面．【解答】證明：（1）連接交，與點(diǎn)，連接，在△中，、分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面．平面．所以平面．（2）因?yàn)?/span>，，，、平面．所以平面，又平面．所以；又因?yàn)?/span>，得，所以．又，平面，所以平面．22．【分析】（1）由，求出，，即可求用表示的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出定義域；（2），，即可求的最小值【解答】解：（1），，，，，，設(shè)，，，，（4分）故，（8分）（2），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最小值200答：的最小值為（16分）聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:17:27；用戶(hù)：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號(hào)：42412367

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