2020-2021學(xué)年江蘇省南京市六校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）命題“，”的否定為　　A．， B．不存在， C．， D．，2．（5分）設(shè)集合，，，，則　　A． B． C．， D．，0，3．（5分）設(shè)函數(shù)，則　　A．1 B． C．2 D．44．（5分）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是　　A． B． C． D．5．（5分）“”是“”的　　A．必要條件 B．充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．（5分）已知，且，則的最小值為　　A． B． C．6 D．87．（5分）對(duì)數(shù)的應(yīng)用很廣泛，有些速算的原理來自對(duì)數(shù)，例如：如果正整數(shù)的31次方是個(gè)35位數(shù)，那么根據(jù)，取常用對(duì)數(shù)得可得到，由對(duì)數(shù)表可知這個(gè)數(shù)是13，已知某個(gè)正整數(shù)的57次方是個(gè)45位數(shù)，則該正整數(shù)是　　235679111213140.300.480.700.780.850.951.041.081.111.18A．5 B．6 C．7 D．88．（5分）關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則的取值范圍是　　A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，不選或有選錯(cuò)的得0分.9．（5分）下列命題正確的有　　A．， B．是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件 C． D．是的必要條件10．（5分）若，則下列不等式中恒成立的有　　A． B． C． D．11．（5分）下列不等式恒成立的有　　A． B． C． D．12．（5分）已知，則下列說法正確的有　　A．奇函數(shù) B．的值域是， C．的遞增區(qū)間是， D．的值域是，，三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）計(jì)算的值是　　．14．（5分）已知函數(shù)，，，且，則（2）的值是　　．15．（5分）已知定義在上的奇函數(shù)在，上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．16．（5分）設(shè)集合，中的最大、最小元素分別為、，則的值是　　，當(dāng)取最小元素時(shí)的值是　　．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17．（10分）已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)全集，則；（2）若，則實(shí)數(shù)取值范圍．18．（12分）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足．（1）求的最小值，并指出最小值時(shí)相應(yīng)的，的值；（2）求的最小值，并指出取得最小值時(shí)相應(yīng)的，的值．19．（12分）某種商品的市場(chǎng)需求量（萬件）、市場(chǎng)供應(yīng)量（萬件）與市場(chǎng)價(jià)格（元件）分別近似地滿足下列關(guān)系：，，其中，當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格，此時(shí)的需求量稱為平衡需求量．（1）求平衡價(jià)格和平衡需求量．（2）若該商品的市場(chǎng)銷售量（萬件）是市場(chǎng)需求量和市場(chǎng)供應(yīng)量兩者中的較小者，該商品的市場(chǎng)銷售額（萬元）等于市場(chǎng)銷售量與市場(chǎng)價(jià)格的乘積．當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格取何值時(shí)，市場(chǎng)銷售額取得最大值，并求出最大值．20．（12分）已知關(guān)于的不等式的解集是．（1）若，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的零點(diǎn)是和，求不等式的解集；（3）直接寫出關(guān)于的不等式的解集．21．（12分）已知函數(shù)，且單調(diào)遞增區(qū)間是，．（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，求，的值．（2）若在區(qū)間，上有最小值，求實(shí)數(shù)的值．（3）若，對(duì)任意的，，，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)，的最大值；（2）令，求證：對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，存在唯一的實(shí)數(shù)使得成立的充要條件是．
2020-2021學(xué)年江蘇省南京市六校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）命題“，”的否定為　　A．， B．不存在， C．， D．，【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．【解答】解：命題為全稱命題，則命題“，”的否定為，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．2．（5分）設(shè)集合，，，，則　　A． B． C．， D．，0，【分析】進(jìn)行并集的運(yùn)算即可．【解答】解：，，，，，0，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法的定義，并集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）設(shè)函數(shù)，則　　A．1 B． C．2 D．4【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出的值，再求的值．【解答】解：函數(shù)，，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值的問題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)自變量進(jìn)行分析，是基礎(chǔ)題．4．（5分）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是　　A． B． C． D．【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于，函數(shù)為奇函數(shù)，在，上單調(diào)遞增，故不符合題意；對(duì)于，函數(shù)為奇函數(shù)，在定義域上為減函數(shù)，符合題意；對(duì)于，函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上為增函數(shù)，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）“”是“”的　　A．必要條件 B．充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【分析】直接利用充要條件的判斷方法判斷充要條件即可．【解答】解：因?yàn)?/span>，但是不能說一定為0，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查邏輯推理能力．6．（5分）已知，且，則的最小值為　　A． B． C．6 D．8【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．7．（5分）對(duì)數(shù)的應(yīng)用很廣泛，有些速算的原理來自對(duì)數(shù)，例如：如果正整數(shù)的31次方是個(gè)35位數(shù)，那么根據(jù)，取常用對(duì)數(shù)得可得到，由對(duì)數(shù)表可知這個(gè)數(shù)是13，已知某個(gè)正整數(shù)的57次方是個(gè)45位數(shù)，則該正整數(shù)是　　235679111213140.300.480.700.780.850.951.041.081.111.18A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)題意可得設(shè)這個(gè)數(shù)為，則，即可求出，即可求出．【解答】解：某個(gè)正整數(shù)的57次方是個(gè)45位數(shù)，設(shè)這個(gè)數(shù)為，則，則，則，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了歸納推理問題，關(guān)鍵是找到規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則的取值范圍是　　A． B． C． D．【分析】令，得到對(duì)任意的恒成立，利用參數(shù)分離法求出的取值范圍．【解答】解：關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，令，則對(duì)任意的恒成立，也即對(duì)任意的恒成立，所以只需，所以，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題解法，注意運(yùn)用換元法和基本不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，不選或有選錯(cuò)的得0分.9．（5分）下列命題正確的有　　A．， B．是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件 C． D．是的必要條件【分析】利用方程的解是否存在小于0的解，判斷；“”與函數(shù)是偶函數(shù)的關(guān)系，判斷；利用無理式的幾何意義可得；利用充要條件判斷．【解答】解：對(duì)于，，解得，所以，，所以正確；對(duì)于，“”時(shí)，函數(shù)函數(shù)，“函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，由得到，故正確．，所以；不正確，及不正確．可得，反之不成立，所以不正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷，涉及函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的奇偶性的判斷，不等式的解法以及充要條件的判斷，是基本知識(shí)的考查．10．（5分）若，則下列不等式中恒成立的有　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，故，故正確；對(duì)于：若，則錯(cuò)誤；對(duì)于，故正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．11．（5分）下列不等式恒成立的有　　A． B． C． D．【分析】取特殊值判斷，作差法判斷．【解答】解：對(duì)于；令．，顯然錯(cuò)誤；對(duì)于，故正確；對(duì)于，故正確；對(duì)于，故正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查特殊值法以及作差法的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．12．（5分）已知，則下列說法正確的有　　A．奇函數(shù) B．的值域是， C．的遞增區(qū)間是， D．的值域是，，【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，，其定義域?yàn)?/span>，有，為奇函數(shù)，正確；對(duì)于，，變形可得，則有△，解可得，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，，正確，對(duì)于，，其導(dǎo)數(shù)，若，解可得，即的遞增區(qū)間為，，正確，對(duì)于，由選項(xiàng)的結(jié)論，錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）計(jì)算的值是　　．【分析】進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可．【解答】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)的換底公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知函數(shù)，，，且，則（2）的值是　5　．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得（2），結(jié)合（2）的值，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則（2），，則有（2），又由，則（2），故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知定義在上的奇函數(shù)在，上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　，　．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可將不等式轉(zhuǎn)化為，故而可得的范圍．【解答】解：是奇函數(shù)，在，上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，，即，，解得．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）設(shè)集合，中的最大、最小元素分別為、，則的值是　　，當(dāng)取最小元素時(shí)的值是　　．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出最小值，取最小值為1，取最大值為2，結(jié)合基本不等式，即可求出答案．【解答】解：，取最小值為1，取最大值為2．所以最大值，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，即時(shí)，有最小值，所以，當(dāng)取最小元素時(shí)的值是．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的問題與不等式相結(jié)合．屬于基礎(chǔ)題四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17．（10分）已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)全集，則；（2）若，則實(shí)數(shù)取值范圍．【分析】（1）可求出，時(shí)，可求出集合，然后進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可；（2）根據(jù)可得出或，然后解出的范圍即可．【解答】解：（1），時(shí)，，，或，；（2），，或，解得，或，實(shí)數(shù)的取值范圍為，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法的定義，交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，全集的定義，空集的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足．（1）求的最小值，并指出最小值時(shí)相應(yīng)的，的值；（2）求的最小值，并指出取得最小值時(shí)相應(yīng)的，的值．【分析】（1）因?yàn)?/span>，是正實(shí)數(shù)，根據(jù)基本不等式得，解出的取值范圍，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）因，是正實(shí)數(shù)，根據(jù)1的代換，利用基本不等式得，求得最小值即可．【解答】解：（1）因?yàn)?/span>，是正實(shí)數(shù)，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，，所以的最小值是8，，．（2）因，是正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是9，此時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，用解不等式法，或者用1的代換是求解條件配湊的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）某種商品的市場(chǎng)需求量（萬件）、市場(chǎng)供應(yīng)量（萬件）與市場(chǎng)價(jià)格（元件）分別近似地滿足下列關(guān)系：，，其中，當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格，此時(shí)的需求量稱為平衡需求量．（1）求平衡價(jià)格和平衡需求量．（2）若該商品的市場(chǎng)銷售量（萬件）是市場(chǎng)需求量和市場(chǎng)供應(yīng)量兩者中的較小者，該商品的市場(chǎng)銷售額（萬元）等于市場(chǎng)銷售量與市場(chǎng)價(jià)格的乘積．當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格取何值時(shí)，市場(chǎng)銷售額取得最大值，并求出最大值．【分析】（1）令求得值，得到的值，則答案可求；（2）由題意，，得到，然后分段求最大值，取最大值中的最大者得結(jié)論．【解答】解：（1）令，得，解得，此時(shí)，答：平衡價(jià)格是30元，平衡需求量是50萬件；（2）由題意，，故．當(dāng)時(shí)，，可得時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，時(shí)，．答：市場(chǎng)價(jià)格取40元時(shí)，市場(chǎng)銷售額取得最大值，最大值為1600萬元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了利用配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．20．（12分）已知關(guān)于的不等式的解集是．（1）若，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的零點(diǎn)是和，求不等式的解集；（3）直接寫出關(guān)于的不等式的解集．【分析】（1）把代入不等式，求關(guān)于的不等式解集即可；（2）利用函數(shù)零點(diǎn)是對(duì)應(yīng)方程的根求出的值，代入不等式求解集即可；（3）討論的取值，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可．【解答】解：（1）若，則不等式化為，解得，所以的取值范圍是，；（2）若函數(shù)的零點(diǎn)是和，所以方程的兩根是和，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得；所以不等式化為，解得，或；所以所求不等式的解集為，，；（3）時(shí)，不等式為恒成立，不等式的解集為；時(shí)，不等式化為，且，所以不等式的解集為，；時(shí)，不等式化為，且，所以不等式的解集為，；綜上知，時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為，；時(shí)，不等式的解集為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程和函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．（12分）已知函數(shù)，且單調(diào)遞增區(qū)間是，．（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，求，的值．（2）若在區(qū)間，上有最小值，求實(shí)數(shù)的值．（3）若，對(duì)任意的，，，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）由題意可得為的對(duì)稱軸，即有，由二次不等式恒成立，可得判別式小于等于0，解不等式可得，的值；（2）討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得最小值，解方程可得所求值；（3）由題意可得，對(duì)，，，分別求得的最值，解不等式可得所求范圍．【解答】解：（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，，可得為的對(duì)稱軸，則，即，對(duì)任意的都成立，則△，即，但，故，（2）的對(duì)稱軸為，①若，則在，遞減，在，遞增，（b），即，解得，則，②若，則在，遞減，則（1），即，綜上可得，或；（3）由題意可得，對(duì)，，，當(dāng)時(shí)，，，，（b），則，可得，則，即的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值求法、二次不等式恒成立問題解法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)，的最大值；（2）令，求證：對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，存在唯一的實(shí)數(shù)使得成立的充要條件是．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，把，的解析式代入，換元后利用基本不等式求最值；（2）充分性：證明分段函數(shù)在，上單調(diào)遞增，且，在，上單調(diào)遞減，且，及即可；必要性：分別求出分段函數(shù)的解集，再由單調(diào)性及集合間的關(guān)系求得的范圍，取交集求得值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，則，此時(shí)，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上，當(dāng)時(shí)，最大值為；證明：（2）充分性：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，且，若，則存在唯一的，使得，同理也成立；必要性：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，因此．時(shí)，的取值集合，時(shí)，的取值集合．①若，且在上單調(diào)遞增，要使，則，且，有；若，且在上單調(diào)遞減，要使，則，且，有．綜上，．故對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，存在唯一的實(shí)數(shù)使得成立的充要條件是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查充分必要條件的證明，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2021/2/23 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2020-2021學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)考高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2020-2021學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)考高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷，共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2021-2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)考高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2021-2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)考高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷，共15頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2020-2021學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份2020-2021學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷，共16頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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