2020-2021學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）計算：　　A． B． C． D．2．（5分）　　A． B． C． D．3．（5分）在中，角，，的對邊分別為，，，若，則其最大角的大小為　　A． B． C． D．4．（5分）托勒密．，約，古希臘人，是天文學(xué)家、地理學(xué)家、地圖學(xué)家、數(shù)學(xué)家，所著《天文集》第一卷中載有弦表．在弦表基礎(chǔ)上，后人制作了正弦和余弦表（部分如圖所示），該表便于查出間許多角的正弦值和余弦值，避免了冗長的計算．例如，依據(jù)該表，角的正弦值為0.0384，角的正弦值為0.5000，則角的正弦值為　　A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.57365．（5分）在下列向量組中，可以把向量表示出來的是　　A．， B．， C．， D．，6．（5分）是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則　　A．1 B． C． D．7．（5分）化簡可得　　A． B． C． D．8．（5分）已知的內(nèi)角，，所對的邊為，，，其面積為，若，且的外接圓半徑為，則周長的取值范圍為　　A．， B．， C．， D．，二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的的得0分）9．（5分）在下列選項中，正確的是　　A． B． C．存在角，，使得成立 D．對于任意角，，式子都成立10．（5分）已知，，是三個向量，在下列命題中，假命題是　　A． B． C． D．若，則11．（5分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知，在下列選項中，正確的是　　A． B． C．的取值范圍為 D．當(dāng)時，12．（5分）在下列選項中正確的是　　A．若，，則 B．若，，，則 C．若復(fù)數(shù)，則 D．若復(fù)數(shù)，則三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知為銳角，且，則　　．14．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為　　．15．（5分）作用于同一點的三個力，，平衡，已知，，與之間的夾角是，則力的大小為　　．16．（5分）如圖，在矩形中，點在邊上，點在邊上，，，．若的面積為，則　　，　　．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知向量，，與的夾角為．（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）已知是復(fù)數(shù)，為實數(shù)為虛數(shù)單位），且．（1）求；（2）若和在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點都在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中．若問題中的三角形存在，則求出該三角形面積；若問題中的三角形不存在，則請說明理由．問題：是否存在銳角三角形，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，___？20．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）設(shè)方程在區(qū)間，內(nèi)的兩解分別為，，求的值．21．（12分）關(guān)于公式的證明，前人做過許多探索．對于，均為銳角的情形，推導(dǎo)該公式?？梢酝ㄟ^構(gòu)造圖形來完成．（1）填空，完成推導(dǎo)過程（約定：只考慮，，均為銳角的情形）證明：構(gòu)造一個矩形如圖形1，在這個矩形中，點在邊上，點在邊上，，垂足為，，設(shè)，，．在直角三角形中，，，在直角三角形中，　　，在直角三角形中，，，在直角三角形中，　　，因為，所以．（2）請你運用提供的圖形和信息（見圖形完成公式（約定：只考慮，均為銳角的情形）的推導(dǎo)．22．（12分）已知向量，，，，，為坐標(biāo)原點．（1）當(dāng)，時，求與的夾角的余弦值；（2）若，，三點共線，求的最小值．
2020-2021學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、半角公式，計算求得結(jié)果．【解答】解：，故選：．2．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：．故選：．3．【分析】由已知結(jié)合余弦定理及三角形的大邊對大角即可求解．【解答】解：設(shè)，，，則為最大角，由余弦定理得，因為為三角形內(nèi)角，故．故選：．4．【分析】根據(jù)正弦和余弦表直接進(jìn)行查詢即可．【解答】解：角的正弦值，先找角這一行，然后找這一列，對應(yīng)的正弦值為0.5678，故選：．5．【分析】設(shè)，然后對應(yīng)各個選項代入向量的坐標(biāo)，建立方程組求解即可．【解答】解：選項：設(shè)，即，，，，所以，解得，所以正確，選項：設(shè)，即，，，，所以，解得，所以，無解，故錯誤，選項：設(shè)，即，，，，所以，解得，無解，故錯誤，選項：設(shè)，即，，，，所以，解得，無解，故錯誤，故選：．6．【分析】由題意，求出，，根據(jù)向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：因為已知三角形是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，又，所以，，所以，則，故選：．7．【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計算求得結(jié)果．【解答】解：，故選：．8．【分析】由已知結(jié)合余弦定理及三角形面積公式可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合正弦定理求出，再由余弦定理及基本不等式的范圍，再由三角形的兩邊之和大于第三邊可求．【解答】解：，因為，所以，因為，所以，由正弦定理得，，故，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解得，因為，所以．故選：．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的的得0分）9．【分析】利用兩角和差的三角公式分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：．，故錯誤，．，故正確，．當(dāng)，時，成立，故正確，．當(dāng)，時，，，則不成立，故錯誤，故選：．10．【分析】利用向量的數(shù)量積的運算法則判斷、；數(shù)量積的性質(zhì)判斷；數(shù)量積的幾何意義判斷．【解答】解：滿足向量數(shù)量積的交換律，所以正確；，滿足向量數(shù)量積的乘法的結(jié)合律，所以正確；表示與共線的向量，表示與共線的向量，所以不正確；若，說明，在投影相同，所以與不一定相等，所以不正確；故選：．11．【分析】由已知結(jié)合三角形內(nèi)角和可檢驗，然后結(jié)合正弦定理及二倍角公式及同角平方關(guān)系可檢驗．【解答】解：因為，且，所以，即，代入到得，，所以，所以，，錯誤，正確，正確；當(dāng)時，，整理得，因為，所以，正確．故選：．12．【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：設(shè)，則，，若，則，，正確；設(shè)，，若，則，整理得，，，錯誤；若，則，正確；，正確．故選：．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，可得的值，再利用兩角差的正切公式，計算求得結(jié)果．【解答】解：為銳角，且，，，則，故答案為：．14．【分析】復(fù)數(shù)滿足，點的軌跡為：以點為圓心，2為半徑的圓．可得的最大值．【解答】解：復(fù)數(shù)滿足，點的軌跡為：以點為圓心，2為半徑的圓．則的最大值，故答案為：，15．【分析】根據(jù)條件及進(jìn)行數(shù)量積的運算即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意知，．故答案為：．16．【分析】利用直角三角形的邊角關(guān)系得，可求出的值；根據(jù)的面積求出，利用余弦定理求出、，再利用等面積法求出的值．【解答】解：因為，所以，又，所以；由的面積為，所以，解得，所以，所以，由，所以，由余弦定理得，解得，所以的面積為，所以．故答案為：，．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．【分析】（1）先求出，再利用向量的數(shù)量積的定義即可求出．（2）利用向量的求模公式求出向量的平方即可求出．【解答】解：（1），．（2），．18．【分析】（1）設(shè)，，，為實數(shù)為虛數(shù)單位），且．可得：，，解得，．（2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點都在第一象限，可得，利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：（1）設(shè)，，，為實數(shù)為虛數(shù)單位），且．，，解得，，．（2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點都在第一象限，則，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，，，解得：，實數(shù)的取值范圍是，．19．【分析】先對已由條件結(jié)合和差角公式進(jìn)行化簡可求；然后結(jié)合所選條件，結(jié)合正弦定理或余弦定理進(jìn)行化簡，再由三角形面積公式代入可求．【解答】解：選①；因為，所以，化簡得，，因為，所以，又只能為銳角，，由余弦定理得，，即，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，；②，因為，所以，化簡得，，因為，所以，而此時，故此時三角形無解；③，因為，所以，化簡得，，因為，所以，又只能為銳角，，則，由正弦定理得，，所以，，所以．20．【分析】（1）利用倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡求解即可．（2）求出三角函數(shù)的對稱軸，利用對稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1），則的最小正周期．（2）由得，即，由，得，，，在此區(qū)間的對稱軸為，則，，關(guān)于對稱，則，且，則，則．21．【分析】（1）利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．（2）利用直角梯形的面積相等即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可知，在直角三角形中，；在直角三角形中，．（2）證明：由題意可知，在中，，，且，所以，在中，，所以，在中，，，所以，又，所以，．化簡可得，．得證．22．【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解．（2）先求出，的坐標(biāo)，結(jié)合，，三點共線可求得，的關(guān)系，再利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：（1）當(dāng)，時，則，，，，（2），，，，三點共線，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:17:04；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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