第二章　2.2　2.2.2A　組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．經(jīng)過兩點(diǎn)(－1,2)，(－3，－2)的直線的方程是( D )A．x－2y＋5＝0  B．x－2y－5＝0C．2x－y－4＝0  D．2x－y＋4＝0[解析]　根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程得＝，整理得2x－y＋4＝0.2．直線－＋＝－1在x軸，y軸上的截距分別為( D )A．2,3　  B．－2,3C．－2，－3　  D．2，－3[解析]　直線方程可化為＋＝1，因此，直線在x軸，y軸上的截距分別為2，－3，故選D.3．已知△ABC三頂點(diǎn)A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則中位線MN所在直線方程為( A )A．2x＋y－8＝0　  B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0　  D．2x－y－12＝0[解析]　點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2)，由兩點(diǎn)式方程得＝，即2x＋y－8＝0.4．直線l1：y＝ax－b(ab≠0)和直線l2：－＝1在同一坐標(biāo)系中可能是( A )[解析]　直線l2：－＝1，可得y＝x－b，直線l1：y＝ax－b(ab≠0)，兩直線相交于同一點(diǎn)(0，－b)此時選項B，D不符合，對于A，C：直線l1的斜率a＞0，直線l2的斜率＜0，則a＞0，b＜0，此時與y軸的正半軸相交，故A符合，C不符合．5．直線l過點(diǎn)(－1，－1)和(2,5)，點(diǎn)(1 011，b)在直線l上，則b的值為( D )A．2 020  B．2 021 C．2 022  D．2 023[解析]　直線l的兩點(diǎn)式方程為＝，化簡得y＝2x＋1，將x＝1 011代入，得b＝2 023.二、填空題6．直線l過點(diǎn)M(－1,2)，分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若M為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為_2x－y＋4＝0__.[解析]　設(shè)A(x,0)、B(0，y)．由M(－1,2)為AB的中點(diǎn)，∴，∴.由截距式得l的方程為＋＝1，即2x－y＋4＝0.7．經(jīng)過點(diǎn)(－1,5)，且與直線＋＝1垂直的直線方程是 x－3y＋16＝0　.[解析]　直線＋＝1的斜率是－3，所以所求直線的斜率是，所以所求直線方程是y－5＝(x＋1)，即x－3y＋16＝0.8．斜率為，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4的直線方程為_x－2y＋4＝0或x－2y－4＝0__.[解析]　設(shè)直線方程為y＝x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－2b.所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為S＝|b|·|－2b|＝b2.由b2＝4，得b＝±2.所以直線方程為y＝x±2，即x－2y＋4＝0或x－2y－4＝0.三、解答題9．求分別滿足下列條件的直線l的方程：(1)經(jīng)過兩點(diǎn)A(－2,3)，B(m,5)；(2)經(jīng)過點(diǎn)(4，－3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等．[解析](1)當(dāng)m≠－2時，直線l的方程為＝，即y＝x＋當(dāng)m＝－2時，直線l的方程為x＝－2，綜上所述，直線l的方程為y＝x＋或x＝－2.(2)設(shè)l在x軸、y軸上的截距分別為a、b.當(dāng)a≠0，b≠0時，l的方程為＋＝1；∵直線過P(4，－3)，∴－＝1.又∵|a|＝|b|，∴，解得，或.當(dāng)a＝b＝0時，直線過原點(diǎn)且過(4，－3)，∴l的方程為y＝－x.綜上所述，直線l的方程為x＋y＝1或x－y＝7或y＝－x.10．已知三角形三個頂點(diǎn)分別是A(－3,0)，B(2，－2)，C(0，1)，求這個三角形三邊各自所在直線的方程．[解析]　由兩點(diǎn)式方程得AB：＝，即AB方程為y＝－×(x＋3)．即2x＋5y＋6＝0.由兩點(diǎn)式方程得BC：＝，即BC方程為y＝－x＋1.即3x＋2y－2＝0.由截距式方程，得AC：＋＝1.即AC方程為y＝x＋1.即x－3y＋3＝0.B　組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2023·鎮(zhèn)巴中學(xué)高一檢測)直線l與直線y＝1和x－y－7＝0分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，那么直線l的斜率是( B )A.  B．－ C．  D．－[解析]　因為直線l與直線y＝1和x－y－7＝0分別交于P，Q兩點(diǎn)，所以可設(shè)P(a,1)，Q(b，b－7)，∵線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，∴1＝，－1＝，解得a＝－2，b＝4，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，直線l的斜率為＝－，故選B.2．過點(diǎn)P(3,4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是( D )A．x－y＋1＝0B．x－y＋1＝0或4x－3y＝0C．x＋y－7＝0D．x＋y－7＝0或4x－3y＝0[解析]　當(dāng)直線過原點(diǎn)時，直線方程為y＝x，即4x－3y＝0；排除A、C；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為＋＝1，因為該直線過點(diǎn)P(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7.所以直線方程為x＋y－7＝0.所以過點(diǎn)P(3,4)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為4x－3y＝0或x＋y－7＝0.故選D.3．(多選)經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形的直線方程可以是( AC )A．x＋y－3＝0  B．x＋y＋3＝0C．x－y－1＝0  D．x－y＋1＝0[解析]　由題意設(shè)直線方程為＋＝1或＋＝1，把點(diǎn)(2,1)代入直線方程得＋＝1或＋＝1，解得a＝3或a＝1，∴所求直線的方程為＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0.4．已知兩點(diǎn)A(3,0)，B(0,4)，動點(diǎn)P(x，y)在線段AB上運(yùn)動，則xy( D )A．無最小值，且無最大值B．無最小值，但有最大值C．有最小值，但無最大值D．有最小值，且有最大值[解析]　線段AB的方程為＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝4(0≤x≤3)，從而xy＝4x＝－2＋3，顯然當(dāng)x＝∈[0,3]時，xy取最大值為3；當(dāng)x＝0或3時，xy取最小值0.二、填空題5．直線＋＝1和坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是_5__.[解析]　易知直線＋＝1與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(5,0)，(0,2)，所以直線＋＝1和坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是×2×5＝5.6．(2023·四川眉山高二期中)光線從點(diǎn)A(－3,4)射出，到x軸上的點(diǎn)B后被x軸反射到y軸的點(diǎn)C上，又被y軸反射，這時反射線恰好經(jīng)過點(diǎn)D(－1,6)，則BC所在的直線方程為 5x－2y＋7＝0　.[解析]　由題意可知點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(－3，－4)，點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D′(1,6)．由入射角等于反射角及對頂角相等可知，點(diǎn)A′，D′都在直線BC上，∴直線BC的方程為＝，即5x－2y＋7＝0.7．已知直線l過點(diǎn)P(2,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形OAB面積的最小值為_4__.[解析]　設(shè)直線l的截距式方程為＋＝1，依題意，a>0，b>0，又因為點(diǎn)P(2,1)在直線l上，所以＋＝1，即2b＋a＝ab.又因為△OAB面積S＝|OA|·|OB|＝ab，所以S＝ab＝(2b＋a)≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)2b＝a時等號成立，所以ab≥，解這個不等式，得ab≥8.從而S＝ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)2b＝a時，S取最小值4.三、解答題8．已知直線l過點(diǎn)P(4,1)，(1)若直線l過點(diǎn)Q(－1,6)，求直線l的方程；(2)若直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l的方程．[解析]　(1)∵直線l過點(diǎn)P(4,1)，Q(－1,6)，所以直線l的方程為＝，即x＋y－5＝0.(2)由題意知，直線l的斜率存在且不為0，所以設(shè)直線l的斜率為k，則其方程為y－1＝k(x－4)．令x＝0得，y＝1－4k；令y＝0得，x＝4－.∴1－4k＝2，解得k＝或k＝－2.∴直線l的方程為y－1＝(x－4)或y－1＝－2(x－4)，即y＝x或2x＋y－9＝0.9．如圖，已知點(diǎn)A(2,5)與點(diǎn)B(4，－7)，試在y軸上找一點(diǎn)P，使得|PA|＋|PB|的值最?。?/span>[解析]　先求出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′(－2,5)，則|PA|＝|PA′|.若使|PA|＋|PB|的值最小，則P點(diǎn)為直線A′B與y軸的交點(diǎn)．由兩點(diǎn)式得直線A′B的方程為＝，化簡為2x＋y－1＝0，令x＝0，得y＝1，故所求點(diǎn)P坐標(biāo)為P(0,1)．

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2.2 直線的方程

版本： 人教A版 (2019)

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