2020北京牛欄山一中高一（下）期中數(shù)    學(xué)一、選擇題（共10小題）.1．已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{1，0，﹣3}，則集合M∩N中元素的個(gè)數(shù)是（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．42．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（　　）A．y＝2x B．y＝﹣x2 C．y＝lg|x| D．y＝cosx3．代數(shù)式sin75°cos75°的值為（　　）A． B． C． D．4．+﹣＝（　?。?/span>A． B． C． D．5．已知，且，則等于（　?。?/span>A．7 B． C．﹣7 D．﹣6．對(duì)于非零向量，，下列命題正確的是（　?。?/span>A．若，則 B．若，則 C．若，則在上的投影向量為（為與方向相同的單位向量） D．若，則7．已知，，那么＝（　?。?/span>A．． B． C． D．8．在四邊形ABCD中，“且”是“四邊形為正方形”的（　?。?/span>A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．先把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的t（t＞0）倍，再向左平移個(gè)單位，所得曲線(xiàn)的一部分如圖所示，則t，φ的值分別為（　?。?/span>A． B． C． D．10．已知函數(shù)關(guān)于x的方程f（x）＝m，m∈R，有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4的取值范圍為（　?。?/span>A． B． C． D．（1，+∞）二、填空題（共5小題）.11．已知向量＝（2，1），＝（m，2），若∥，則實(shí)數(shù)m＝　   　．12．給出下列三個(gè)論斷：①a＞b；②；③a＜0且b＜0．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題：　   　．13．已知向量，，．若，則λ＝　   　；μ＝　   　．14．在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，點(diǎn)P在AM上，且滿(mǎn)足PM＝2AP，則等于　   　．15．下面有四個(gè)命題：①函數(shù)y＝cos4x﹣sin4x的最小正周期是π；②函數(shù)y＝tan2x的定義域?yàn)?/span>；③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝sinx的圖象和函數(shù)y＝x的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)；④函數(shù)y＝cos2x﹣3cosx+2的最小值為．其中，真命題的編號(hào)是　   　．（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）
三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且AB＝2，CD＝1，設(shè)．（Ⅰ）用向量分別表示向量，；（Ⅱ）求．   17．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣4x．現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)的圖象，如圖所示．（Ⅰ）畫(huà)出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；（Ⅲ）解不等式xf（x）＜0．  18．在平面直角坐標(biāo)系中，角α與β的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均為x軸非負(fù)半軸．若角α的終邊與圓O交于一點(diǎn)P，將OP繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與角β的終邊重合．（Ⅰ）寫(xiě)出角β與α的關(guān)系；（Ⅱ）求tanα和cos（α+β）的值．19．設(shè)函數(shù)，其中向量，，x∈R，且函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)．  20．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求角θ的取值集合；（Ⅲ）設(shè)，，且，，求cos（α﹣2β）的值．   21．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿(mǎn)足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱(chēng)f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱(chēng)為函數(shù)f（x）的一個(gè)上界．已知函數(shù)，g（x）＝1+m?2x+4x．（Ⅰ）當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，3]上的所有上界構(gòu)成的集合；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅲ）若函數(shù)g（x）是區(qū)間（﹣∞，1]上以2為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．【分析】求出集合M的等價(jià)條件，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可．解：集合M＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，N＝{0，1，﹣4}，則M∩N＝{0，1}，故選：B．2．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，y＝2x，為指數(shù)函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，y＝lg|x|＝，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（8，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意；故選：C．3．【分析】利用二倍角的正弦化簡(jiǎn)求值．解：sin75°cos75°＝sin75°cos75°＝．故選：A．4．【分析】根據(jù)向量加減的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可．解：故選：D．5．【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式求得tanα的值，再利用正切的兩角和公式即可得解．解：∵，且，∴tanα＝，故選：B．6．【分析】對(duì)于A，若＝，則||＝||，＝未必成立；對(duì)于B，若?＝?，則?（﹣）＝0，則⊥﹣；對(duì)于C，若，則在上的投影向量為±（為與方向相同的單位向量）；對(duì)于D，若，則＝0成立．解：對(duì)于A，若＝，則||＝||，＝未必成立；故A 錯(cuò)誤；對(duì)于B，若?＝?，則?（﹣）＝0，則⊥（﹣）；故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則＝0成立．故選：D．7．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和半角公式的應(yīng)用求出結(jié)果．解：，sin所以，故＝．故選：D．8．【分析】由“在四邊形ABCD中，＝且?＝0”，推出四邊形是菱形；菱形未必是正方形，正方形一定是菱形，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．解：由“在四邊形ABCD中，＝且?＝0”，推出四邊形是菱形；菱形未必是正方形，正方形一定是菱形，故在四邊形ABCD中，“且”是“四邊形為正方形”的必要不充分條件．故選：B．9．【分析】用ω，φ表示出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)周期計(jì)算ω，根據(jù)圖象上的特殊點(diǎn)計(jì)算φ．解：由題意可知變換后的函數(shù)解析式為f（x）＝sin[（x+）+φ]＝sin（++φ），由函數(shù)圖象可知f（x）的周期為T＝4（﹣）＝π，∴＝2，即t＝．由圖象可知f（）＝﹣1，即sin（++φ）＝﹣1，又|φ|＜，∴φ＝﹣．故選：D．10．【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及對(duì)數(shù)函數(shù)，絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，可得x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，，轉(zhuǎn)化后構(gòu)造新函數(shù)直接求解即可．解：作出函數(shù)圖象如圖所示，設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，即x1+x2＝﹣2，∴，設(shè)，又，g（5）＝0，故選：C．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．【分析】根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得若∥，則有1×m＝2×2，解可得m的值，即可得答案．解：根據(jù)題意，向量＝（2，1），＝（m，2），若∥，則有1×m＝2×2，即m＝5；故答案為：412．【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合命題關(guān)系進(jìn)行判斷即可．解：若①a＞b；③a＜0且b＜0，則0＞a＞b，則②成立，若；a＜0且b＜0，則a＞b成立，故答案為：若a＞b，a＜0且b＜2，則，或者若，a＜0且b＜7，則a＞b．13．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算列方程計(jì)算．解：由題意可知，解得：λ＝1，μ＝2．故答案為：4，2．14．【分析】利用向量運(yùn)算的幾何意義，可知，代入原式，根據(jù)已知條件容易求解．解：因?yàn)?/span>M是BC的中點(diǎn)，故，所以＝，故＝2，＝1．＝2×1×4×（﹣1）＝﹣4．故答案為：﹣4．15．【分析】①將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用周期公式求函數(shù)的周期．②利用正切函數(shù)定義求解判斷．③利用函數(shù)的平移關(guān)系求函數(shù)的解析式．④利用配方法求三角函數(shù)的最值判斷．解：①因?yàn)?/span>y＝cos4x﹣sin4x＝（sin2x+cos2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x，所以函數(shù)的周期T＝＝π，所以①正確．②對(duì)于函數(shù)y＝tan2x，2x≠+kπ，k∈Z；∴x≠+，k∈Z；所以②錯(cuò)誤．③設(shè)f（x）＝sinx﹣x，則f'（x）＝cosx﹣1≤0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∵f（0）＝0，∴方程f（x）＝0只有一個(gè)解，即函數(shù)y＝sinx的圖象和函數(shù)y＝x的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以③正確．④因?yàn)?/span>y＝cos5x﹣3cosx+2＝（cosx﹣）2﹣，﹣1≤cosx≤1，所以cosx＝1時(shí)，y的最小值為0，所以④錯(cuò)誤．故答案為：①③．三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16．【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量加法、減法的幾何意義計(jì)算即可；（Ⅱ）將分別用基底向量表示出來(lái)，計(jì)算即可．解：（Ⅰ）由已知：＝，所以：，＝．所以．所以＝＝＝．17．【分析】（I）結(jié)合已知及偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可求；（II）由已知函數(shù)解析式及偶函數(shù)的定義可求；（III）結(jié)合函數(shù)的圖象即可直接求解．解：（I）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)可得圖象如圖所示；結(jié)合圖象可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[﹣2，0]，（2，+∞），減區(qū)間（﹣∞，﹣2），（0，5）；根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＝x2+2x，（III）由xf（x）＜0可得或，故不等式的解集為{x|0＜x＜4或x＜﹣4}．18．【分析】（Ⅰ）根據(jù)任意角的定義即可得解；（Ⅱ）由三角函數(shù)的定義可求得tanα，cosα和sinα的值；再根據(jù)二倍角公式可得cos2α和sin2α的值；而cos（α+β）＝cos（2α+），利用余弦的兩角和公式展開(kāi)后，代入相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算即可．解：（Ⅰ）β＝α+．（Ⅱ）∵P，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣5＝，sin2α＝2sinαcosα＝2×（）×＝．∴cos（α+β）＝cos（2α+）＝cos2α?cos﹣sin2α?sin＝×﹣（）×＝．19．【分析】先化簡(jiǎn)出f（x），利用函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）求出m的值．（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)y＝sinx的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）利用換元思想研究f（x）的最值；（Ⅲ）令函數(shù)f（x）＝0，求出f（x）的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)．解：由已知得f（x）＝＝sin2x+mcos2x+m．（Ⅰ）因?yàn)?/span>f（）＝2，即，得m＝1．令，解得，（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，所以，，（Ⅲ）令，解得：，即，k∈Z．故對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，k∈Z．20．【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)為f（x）＝sin（2x﹣）．（Ⅰ）利用T＝得解；（Ⅱ）f（θ）＝sin（2θ﹣）＝，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解；（Ⅲ）由和，可求得sin（α+）和cos（α+）的值；由和，可求得sin（2β﹣）和cos（2β﹣）的值；而cos（α﹣2β）＝﹣cos[（α+）﹣（2β﹣）]，利用余弦的兩角差公式展開(kāi)后，代入相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算即可．解：＝sin（x﹣+）sin（x﹣）+sinxcosx＝sin[2（x﹣）]+sinxcosx＝sin（2x﹣）．（Ⅱ）f（θ）＝sin（2θ﹣）＝，∴θ＝+kπ或+kπ，k∈Z，（Ⅲ）∵，∵，∴α+∈（，），∵，∵，∴2β﹣∈（，），∴cos（α﹣2β）＝﹣cos[（α+）﹣（2β﹣）]＝﹣×﹣×＝．21．【分析】（Ⅰ）函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?/span>1，+∞），令h（x）＝，分析單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）在[，3]上值域，再求出f（x）在[，3]上值域，根據(jù)有界函數(shù)的定義即可得出答案．（Ⅱ）根據(jù)奇函數(shù)定義，可得f（﹣x）＝﹣f（x），列式log2＝log2，進(jìn)而解出a的值．（Ⅲ）根據(jù)有界函數(shù)的定義可得，|g（x）|≤2在區(qū)間（﹣∞，1]上恒成立，即﹣3（）x﹣2x≤m≤（）x﹣2x，在區(qū)間（﹣∞，1]上恒成立，只需[﹣3（）x﹣2x]max≤m且m≤[（）x﹣2x]min，即可得出答案．解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）＝log2定義域?yàn)椋?/span>4，+∞），令h（x）＝在（1，+∞）單調(diào)遞減，所以f（x）在[，3]上值域?yàn)?/span>[﹣1，3]，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[，3]上的所有上界構(gòu)成的集合為[3，+∞）．則f（﹣x）＝﹣f（x），而當(dāng)a＝1時(shí)不合題意，故a＝1．則|g（x）|≤2在區(qū)間（﹣∞，5]上恒成立，所以﹣2≤1+m?2x+4x≤4，在區(qū)間（﹣∞，1]上恒成立，即﹣3（）x﹣2x≤m≤（）x﹣2x，在區(qū)間（﹣∞，1]上恒成立，設(shè)2x＝t，q（t）＝﹣﹣t，p（t）＝﹣t，q′（t）＝，令q′（t）＝0得t＝，在（，2）上，q′（t）＜0，q（t）單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>p（t）在（3，2）上單調(diào)遞減，所以m的取值范圍為[﹣2，﹣]．

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