2020北京五十中高一（下）期中數(shù)    學(xué)一?選擇題1.在中，，，，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 2.復(fù)數(shù)=（ ）A. -4+ 2i B. 4- 2i C. 2- 4i D. 2+4i3.設(shè)，非零向量，“”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件4.設(shè)，“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件5.如果中，，，，那么等于（    ）A.  B.  C.  D. 6.下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則∥ D. 若，則與不是共線向量7.設(shè)是平面上的兩個(gè)單位向量，.若，則的最小值是（   ）A.  B.  C.  D. 8.△ABC中, 如果, 那么△ABC是（ ）A. 直角三角形 B. 等邊三角形C. 等腰直角三角形 D. 鈍角三角形9.設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件10.對(duì)于非零向量，，定義運(yùn)算“*”：，其中為，的夾角．有兩兩不共線的三個(gè)向量，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 若，則 B. C.  D. 二?填空題11.復(fù)數(shù)在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是________.12.如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)________.13.若平面向量滿足,則向量與夾角為____.14.如圖所示，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為______．15.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，下列判斷：①若，則角有兩個(gè)解；②若，則邊上的高為；③不可能是9.其中判斷正確的序號(hào)是______.三?解答題16.已知復(fù)數(shù)，(為實(shí)數(shù))，且為實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）求復(fù)數(shù)的模.17.銳角在中，，，.（1）求角的正弦值；（2）求的面積.  18.已知，，(1)求；(2)設(shè)的夾角為，求的值；(3)若向量與互相垂直，求的值．  19.如圖所示,在平行四邊形中,,分別為,的中點(diǎn),已知，試用表示20.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，b=a，c=2．（I）若A=，求C的大??；    （II）求△ABC面積的最大值．  21.已知=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),且.(1)用k表示數(shù)量積;(2)求的最小值,并求此時(shí)的夾角θ.
2020北京五十中高一（下）期中數(shù)學(xué)參考答案一?選擇題1.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可直接求得的值.【詳解】由正弦定理得，可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求邊長(zhǎng)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.【答案】A【解析】試題分析：由已知得，=．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.3.【答案】A【解析】，由已知得，即，.而當(dāng)時(shí)，還可能是，此時(shí)，故“”是“”的充分而不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分必要條件、向量共線.4.【答案】B【解析】【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，如果b=0，此時(shí)是實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件；而如果已經(jīng)是純虛數(shù)，由定義實(shí)部為零，虛部不為零可以得到a=0，因此是必要條件，故選B【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是充分必要條件，但問(wèn)題中又涉及到了復(fù)數(shù)問(wèn)題，復(fù)數(shù)部分本題所考查的是純虛數(shù)的定義5.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理即可得出答案【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.【答案】C【解析】【分析】向量是有方向、有大小的量，在判斷向量關(guān)系時(shí)，要充分考慮到向量的方向性，利用平面向量的性質(zhì)，決定向量的有大小和方向，結(jié)合共線向量的定義進(jìn)行選擇．【詳解】解：選項(xiàng)中，向量不能比較大小，只有?？梢?/span>比較大小，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)中，因?yàn)橄蛄坑蟹较颍蚨５拇笮∠嗟炔荒苷f(shuō)明向量相等，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)中，兩個(gè)向量相等，說(shuō)明兩向量方向相同，因此是平行向量，所以正確；選項(xiàng)中，當(dāng)兩個(gè)向量為相反向量時(shí)，兩個(gè)向量不相等，但可以是共線向量，所以錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的基本概念、向量的模、向量平行與共線的條件，要準(zhǔn)確理解向量的定義是解題的關(guān)鍵.7.【答案】C【解析】依題意， ，則 ，所以當(dāng) 時(shí)， 有最小值 ，選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了求向量的模，屬于基礎(chǔ)題. 本題思路：由 ，化為關(guān)于 的開(kāi)口向上的二次函數(shù)，在對(duì)稱軸處取得最小值．選C.8.【答案】B【解析】試題分析：由題意得，由正弦定理得，所以，,所以，同理可得，所以三角形是等邊三角形.考點(diǎn)：正弦定理在三角形中的應(yīng)用.9.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合向量的減法公式和向量的運(yùn)算法則考查充分性和必要性是否成立即可.詳解】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2?>0與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的模?夾角與數(shù)量積,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.10.【答案】C【解析】【分析】設(shè)的夾角為，的夾角為，的夾角為，按照題目所定義的新運(yùn)算逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】設(shè)的夾角為，的夾角為，的夾角為．因?yàn)?/span>，，由得，故A不正確；，，不一定共線，故B不正確；，故C正確；若，且不共線，則，，故D不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積知識(shí)遷移，屬于中檔題.二?填空題11.【答案】【解析】【分析】求得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.13.【答案】【解析】設(shè)向量與夾角為..解得，所以.故答案為為：.14.【答案】6【解析】試題分析：以作為基底，根據(jù)平行四邊形法則作出向量，然后利用三角形的知識(shí)求得，后可得的值．試題解析：如圖，以OA，OB所在射線為鄰邊，OC為對(duì)角線作平行四邊形ODCE，則．在直角△OCD中，因?yàn)?/span>，∠COD=30°，∠OCD=90°，所以，，故，，即，所以.15.【答案】③【解析】【分析】利用余弦定理逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于①，若，由余弦定理得，故，此方程有唯一解，故角有唯一解，所以①錯(cuò).對(duì)于②，因?yàn)?/span>，故，即，又由余弦定理可得，故，所以即，故，消元后可得，因，故方程無(wú)解，即滿足的三角形不存在，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，由余弦定理可得，整理得到即，故不可能是9，故③正確.故答案為：③.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，還考查了基本不等式的應(yīng)用，注意根據(jù)三角形中已知的量選擇合適的定理來(lái)構(gòu)建關(guān)于未知量的方程，再對(duì)所得的方程進(jìn)行代數(shù)變形（如放縮、消元等），本題屬于中檔題.三?解答題16.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的類型確定的值，即可得出復(fù)數(shù)；（2）由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】（1）為實(shí)數(shù)，則（2）由（1）可知，則【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)以及求復(fù)數(shù)的模，屬于中檔題.17.【答案】（1）；（2）14.【解析】【分析】（1）先求出，再利用正弦定理求解即可；（2）利用余弦定理求出的值，再求的面積.【詳解】（1）因?yàn)?/span>是銳角三角形，，所以.由正弦定理得所以角的正弦值為.（2）由余弦定理得.所以或（舍去）.所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的加減運(yùn)算法則，進(jìn)行運(yùn)算．（2） 把兩個(gè)向量的坐標(biāo)直接代入兩個(gè)向量的夾角公式進(jìn)行運(yùn)算．（3）因?yàn)橄蛄?/span>與互相垂直，所以它們的數(shù)量積等于0，解方程求得的值．【詳解】解：（1），，．（2），，.(3)因?yàn)橄蛄?/span>與互相垂直，所以，即.因?yàn)?/span>，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19.【答案】，.【解析】【詳解】分析：根據(jù)向量加法的三角形法則，用 ，表示出，，解方程組即可得到答案詳解：,      解得所以，點(diǎn)睛：本題是一道關(guān)于向量運(yùn)算的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握向量加法的三角形法則20.【答案】（I）C=或C=（II）最大值2【解析】【分析】（I）根據(jù)正弦定理求得的值，由此求得的大小，進(jìn)而求得的大小.（II）設(shè)，求得，用余弦定理求得的表達(dá)式，代入三角形的面積公式，利用配方法求得面積的最大值.【詳解】解：（I）若，則由得sinB=sinA=，由于B∈（0，），所以B=或B=．由于A+B+C=，故C=或C=，（II）設(shè)BC=x，則AC=，根據(jù)面積公式，得，根據(jù)余弦定理，得cos B=，將其代入上式，得.由三角形三邊關(guān)系，有解得，故當(dāng)x=2時(shí)，取得最大值2．【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形內(nèi)角和定理，考查三角形面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查余弦定理，考查配方法求最值，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.21.【答案】（1）=（2）θ=60°.【解析】【詳解】試題分析：（1）由平方后可得，可用k表示．（2）由（1）中函數(shù)的解析式，由函數(shù)的單調(diào)性的定義，可分析出的最小值為f(1)，代入向量夾角公式，可得此時(shí)與夾角θ的大?。?/span>試題解析：(1)由得,..,,∴=.(2)由(1),得=,由函數(shù)的單調(diào)性的定義,易知f(k)=在(0,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)k=1時(shí), 的最小值為f(1)=×(1+1)=.此時(shí)的夾角為θ,則cos θ=,∴θ=60°.點(diǎn)睛:平面向量中涉及有關(guān)模長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，常用到的通法是將模長(zhǎng)進(jìn)行平方，本題中平方后結(jié)合，利用向量數(shù)量積的知識(shí)進(jìn)行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一個(gè)工具型的知識(shí)，具備代數(shù)和幾何特征，在做這類問(wèn)題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)加快解題速度.

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