2021北京順義一中高一（下）期中數(shù)    學(xué)一、選擇題（每題4分）1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 設(shè)向量，的模分別為2和3，且夾角為，則等于（    ）A.  B. 13 C.  D. 193. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A. 向左平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度4. 四邊形滿足：，，則該四邊形的形狀是（    ）A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形5. 已知，，其中，則“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件6. 某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，欲測量本校校園國旗旗桿的高度，該小組在操場的點(diǎn)處測得旗桿頂端的仰角為，從點(diǎn)向旗桿底部端點(diǎn)的方向前進(jìn)了后到達(dá)點(diǎn)，此時測得旗桿頂點(diǎn)的仰角為，則該小組所測旗桿的高度為（    ）（所測旗桿臺階高度及測量設(shè)備高度等忽略不計）A.  B. C.  D. 7. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為A. -4 B. C. 4 D. 8. 平行四邊形中，與交于，點(diǎn)滿足，若，，則（    ）A. 0 B.  C.  D. 9. 關(guān)于函數(shù)，的圖象與直線（為常數(shù)）的交點(diǎn)情況，下列說法正確的是（    ）A. 當(dāng)或，有0個交點(diǎn)B. 當(dāng)或時，有1個交點(diǎn)C 當(dāng)，有2個交點(diǎn)D. 當(dāng)時，有2個交點(diǎn)10. 在中，角所對邊分別為，若，則的形狀為（    ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形二、填空題（每題5分）11. 的值為______12. 復(fù)數(shù)滿足，則符合條件的一個復(fù)數(shù)為_______13. 在中，，，，則______14. 已知正方形的邊長為，為的中點(diǎn)，則__________．15. 在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，，則_______，________三、解答題16. 已知復(fù)數(shù)，，、（1）若，求；（2）若，計算.17. 已知向量，與向量 （1）當(dāng)何值時，；（2）當(dāng)時，求向量與向量的夾角；（3）求的最小值以及取得最小值時向量 的坐標(biāo)．18. 在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（1）的值；（2）的面積條件①：；條件②：19. 已知函數(shù)（1）請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個周期上圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；（2）求單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的值                   
20. 已知函數(shù)（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象重合，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）若時，最小值為，求的最大值21. 對于集合，定義函數(shù) 對于兩個集合，，定義運(yùn)算．（1）若，，寫出與的值，并求出；（2）證明：；（3）證明：運(yùn)算具有交換律和結(jié)合律，即，． 
參考答案一、選擇題（每題4分）1. 【答案】B【解析】【分析】先計算復(fù)數(shù),再結(jié)合幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B2. 【答案】C【解析】【分析】所求平方代值可得.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.求向量模的常用方法:(1)若向量是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的?？芍苯永霉?/span>.(2)若向量 是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的?？蓱?yīng)用公式或 ，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．3. 【答案】D【解析】【詳解】，據(jù)此可知，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度.本題選擇D選項(xiàng).4. 【答案】B【解析】【分析】利用向量相等判斷出為平行四邊形，再由，得到對角線互相垂直，即可得到為菱形.【詳解】因?yàn)?/span>，所以四邊形為平行四邊形.又因?yàn)?/span>，所以，所以四邊形為菱形.故選：B5. 【答案】A【解析】【分析】先求出時，或，然后利用集合法判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)?/span>，所以，即，解得：或.因?yàn)?/span>?，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形正確的表示出相關(guān)邊長，求出旗桿高度【詳解】如圖示：AB=30，A=30°，∠DBC=45°，旗桿CD，設(shè)CD=h，在直角三角形ACD中，，即所以，在直角三角形BCD中，，即所以，由題意可得：，解得：，即旗桿的高度為.故選：A7. 【答案】D【解析】【詳解】試題解析：設(shè)∴ ，解得考點(diǎn)：本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是正確計算復(fù)數(shù)，要掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念8. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形，利用平面向量的基本定理求解即可【詳解】如圖所示：由圖可知，故選：C9. 【答案】B【解析】【分析】在同一個坐標(biāo)系內(nèi)做出，的圖象與直線的圖像，根據(jù)交點(diǎn)的個數(shù)直接判斷即可.【詳解】在同一個坐標(biāo)系內(nèi)做出，的圖象與直線的圖像如圖示：根據(jù)圖像，進(jìn)行判斷：對于A：當(dāng)t=2時，有一個交點(diǎn)，故A錯誤；對于B：當(dāng)或時，有1個交點(diǎn)，故B正確；對于C：當(dāng)，有2個交點(diǎn)，當(dāng)，有1個交點(diǎn)，故C錯誤；對于D：當(dāng)，有1個交點(diǎn)，故D錯誤.故選：B10. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理邊化角，利用平方關(guān)系，二倍角公式，三角函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解即得或.詳解】由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,代入已知條件中并化簡得：sinA+cosA=sinB+cosB,兩邊平方,并結(jié)合平方關(guān)系得：2sinAcosA=2sinBcosB,即sin2A=sin2B,因?yàn)?/span>所以或即或,易于驗(yàn)證當(dāng)或，sinA+cosA=sinB+cosB成立.故選：.二、填空題（每題5分）11. 【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式直接求解.【詳解】.故答案為：12. 【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)直接寫出一個復(fù)數(shù)即可.【詳解】要使復(fù)數(shù)滿足，，可以取（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）13. 【答案】【解析】【分析】直接利用余弦定理即可求得.【詳解】在中，因?yàn)?/span>，所以,由余弦定理得：，所以故答案為：14. 【答案】2【解析】【詳解】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.15. 【答案】    ①.     ②. 2【解析】【分析】將代入中，再利用二倍角公式可求出的值，由求出，由求出，再利用正弦定理結(jié)合可求出【詳解】解：因，，所以，所以，得，因?yàn)?/span>，所以角為銳角，所以，所以，因?yàn)?/span>，，所以，由正弦定理可得，，得，因?yàn)?/span> ，所以，解得，故答案為：，2三、解答題16. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組，解出x、y，得到，即可求出（2）當(dāng)時，先求出，，直接求出.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，，、，且，所以，解得：，所以，所以.（2）對復(fù)數(shù)，，當(dāng)時，，，所以.17. 【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．【解析】【分析】（1）由計算；（2）由計算；（3）由模的坐標(biāo)運(yùn)算表示出，然后由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】（1），，所以時，；（2）由題意，，所以；（3）由已知，所以，所以時，取得最小值3，此時．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系，求向量的夾角、向量的模．掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵，本題屬于中檔題．18. 【答案】答案見解析.【解析】【分析】結(jié)合正弦定理和可得.選擇條件①：（1）用c表示a、b，再由余弦定理，可得關(guān)于c的方程，即可求出c；（2）直接利用三角形的面積公式即可.選擇條件②：（1）利用正弦定理，可得關(guān)于c的方程，即可求出c；（2）直接利用三角形的面積公式即可.【詳解】由正弦定理知,,∵,∴.選擇條件①:（1）∵,∴，由余弦定理知，，整理化簡得：,∵c>0,∴.（2）∵∴△ABC的面積.選擇條件②(1)由正弦定理知:,所以∵，∴；（2）∵∴△ABC的面積.19. 【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）當(dāng)時, 取最小值0；當(dāng)時, 取最大值1.【解析】【分析】（1）利用“五點(diǎn)法”列表，然后作出一個周期的圖象即可；（2）利用整體代換以及正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間進(jìn)行求解即可；（3）由x的范圍，求出的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）分別令，可得：x0010-10畫出在一個周期的圖像如圖所示：（2）要求的單調(diào)遞增區(qū)間，只需令，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(3)因?yàn)?/span>,所以，所以當(dāng),即時, 取最小值0；當(dāng),即時, 取最大值1.20. 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】先對函數(shù)解析式化簡，（1）直接代入求解；（2）利用圖形變換和誘導(dǎo)公式求出m的最小值；（3）利用正弦型函數(shù)的定義域和值域，即可求出的最大值.【詳解】（1）；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，與重合，所以，由m>0,所以當(dāng)k=0時，；（3）當(dāng)時，時，因?yàn)?/span>的最小值為，所以可以取到，即，所以，即的最大值為.21.【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由新定義的元素即可求出與的值,再分情況求出；（2）對x是否屬于集合,分情況討論,即可證明出；（3）利用（2）的結(jié)論即可證明出*運(yùn)算具有交換律和結(jié)合律．【詳解】解：（1）,,,,；（2）①當(dāng)且時,,所以 ．所以,所以,②當(dāng)且時,,,所以．所以,所以,③當(dāng)且時,．所以．所以．所以．綜上,；④當(dāng)且時, ．所以．所以．所以．（3）因?yàn)?/span>, ,所以．因?yàn)?/span>, ,所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,考查了新定義問題,是難題． 

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