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參考答案一、單選題（每小題4分，共40分）1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的乘法原則和復數(shù)的幾何含義，即可求解．【解答】解：，即復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限．故選：．【點評】本題考查了復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．2．【分析】利用向量共線、相等的意義即可判斷出正誤．【解答】解：①若且，則，因此①不正確；②若，則且，正確；③若與方向相同且，則，正確；④若，則與方向不一定相反，可能，因此④不正確．故選：．【點評】本題考查了兩向量共線、相等的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得，再由復數(shù)模的計算公式求．【解答】解：，．故選：．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，屬基礎題．4．【分析】利用正弦定理求得，利用，進而求得．【解答】解：由正弦定理知，，，，或．故選：．【點評】本題主要考查了正弦定理的應用．考查了學生對基礎知識的運用，屬于基礎題．5．【分析】根據(jù)題意得：，結(jié)合向量加法的四邊形法則及平面向量的基本定理可求【解答】解：根據(jù)題意得：，又，，所以．故選：．【點評】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡單應用，屬于基礎試題6．【分析】利用斜二測法的“三變”“三不變”得到直三棱柱的底面平面圖，由此能求出此三棱柱的表面積．【解答】解：斜二測法的“三變”“三不變”得到直三棱柱的底面平面圖，如圖，其中，，此三棱柱的表面積為．故選：．【點評】本題考查三棱柱的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．7．【分析】利用三角形中大角對大邊可得，再利用特殊值判斷可得結(jié)論．【解答】解：中，，利用大角對大邊，可得．不妨為鈍角，則是銳角，，，所以不成立．故選：．【點評】本題主要考查三角形中大角對大邊，特殊值判斷法的應用，屬于基礎題．8．【分析】根據(jù)題意，利用平面向量數(shù)量積和模長與夾角公式，求出即可．【解答】解：因為，，且，設向量，的夾角為，則，，所以，即，化簡得，解得或，又因為，所以，即向量，的夾角為．故選：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角和模長的計算問題，是基礎題．9．【分析】先建系寫出坐標，利用向量的數(shù)量積運算得到，再利用充要條件的定義判定即可．【解答】解：建立平面直角坐標系如下，則，，設，則，①當，時，滿足，但在正方形外部，②當點在正方形及內(nèi)部時，則，，是點在正方形及內(nèi)部的必要不充分條件，故選：．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積運算，充要條件的判定，屬于中檔題．10．【分析】由余弦定理可得（a）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得（a）的最小值為3，（a）的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，且趨于6，由此可得實數(shù)的取值范圍．【解答】〇解：在中，，，記（a），而由余弦定理可得，即（a）的最小值為3．由于函數(shù)（a）（a）是常數(shù)）只有一個零點，故函數(shù)（a）的圖象與直線有唯一交點，由于函數(shù)（a）的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，且趨于6，結(jié)合函數(shù)（a）的圖象可得，或，故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．二、填空題（每小題5分，共25分）11．【分析】根據(jù)題意求出球的半徑，再計算球的體積．【解答】解：如圖所示，依題意知，截面圓的半徑為，球心到截面圓的距離為，所以球的半徑為，所以球的體積為．故答案為：．【點評】本題考查了球的體積計算問題，也考查了球面被平面所截的截面圓問題，是基礎題．12．【分析】令，則，根據(jù)即可求出其最大值．【解答】解：令，由，得，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點在以原點為圓心，以1為半徑的圓上，表示圓上的點到點的距離，的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查復數(shù)的模，考查運算求解能力，屬于基礎題．13．【分析】由，利用數(shù)量積的定義可得，可得是鈍角．再結(jié)合余弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和差的余弦公式即可判斷出．【解答】解：①，，，，是鈍角．為鈍角三角形，正確②由余弦定理可得，；正確③，，．正確綜上可得：正確說法的序號是①②③．故答案為：①②③．【點評】本題考查了數(shù)量積的定義、余弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和差的余弦公式，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎題．14．【分析】連接，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出，即可得到以為圓心2為半徑的圓面上，即可求出的面積，再根據(jù)，得到當在邊上時四面體的體積最大，當在邊的中點時四面體的體積最小，再根據(jù)錐體的體積公式計算可得取值范圍．【解答】解：連接， 因為平面，平面，所以，，由，，所以，所以在以為圓心2為半徑的圓面上，的面積是；由題意可知，所以當在邊上時，四面體的體積的最大值是．所以當在邊的中點時，的面積取得最小值，此時，所以四面體的體積的最小值是，所以．故答案為：，．【點評】本題主要考查空間幾何體體積的計算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．15．【分析】利用平面向量基本定理及向量共線得到，再與已知對比求出，的值，即可得出答案．【解答】解：設，，，則，，，，，故答案為：2．【點評】本題考查了平面向量基本定理及向量共線的應用，屬中檔題．三、解答題（第16-19、21題，每題14分，第20題15分，共85分.）16．【分析】（1）可求出的坐標，然后即可求出的值；（2）可求出，而根據(jù)可得出，然后即可求出的值．【解答】解：（1）時，，，；（2），且，，解得．【點評】本題考查了向量坐標的加法和減法的坐標運算，向量數(shù)量積的坐標運算，考查了計算能力，屬于基礎題．17．【分析】先利用倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化成標準形式，然后利用周期公式求出的值，根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出函數(shù)的最大值和最小值；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）．因為，，所以．因為，，所以．所以函數(shù)的最大值為1，最小值為．（Ⅱ）令，，得，，所以，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【點評】本題考查了三解函數(shù)式的化簡及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決這類問題的關(guān)鍵是把三角函數(shù)式利用三角公式化成標準形式．18．【分析】（1）根據(jù)不等式與對應方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出和的值；（2）把不等式化為，討論和、時，分別求出對應不等式的解集．【解答】解：（1）由題意可知，方程的兩個不相等的實根分別為1和，于是有，解得；（2）原不等式等價于，即，①當時，原不等式的解集為；②當時，方程的兩根為和；當時，不等式的解集為或；當時，若，即，原不等式的解集為；若，即，原不等式的解集為；若，即，原不等式的解集為，綜上所得：當時，原不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．【點評】本題考查了含有字母的不等式解法與應用問題，是中檔題．19．【分析】（1）過點作于點，過點作，交的延長線于點，求的問題就可以轉(zhuǎn)化為求的度數(shù)或三角函數(shù)值的問題．（2）中根據(jù)三角函數(shù)就可以求出的長．【解答】解：（1）如圖，過點作于點，過點作，交的延長線于點在中，，，；在中，，，，在中，，，在中，，，，．（2），在中，，，，由題意可知，由（1）可知，所以，在中，，景點與景點之間的距離約為．【點評】本題主要考查解直角三角形的條件，已知直角三角形的一個銳角和一邊長，或已知兩邊長就可以求出另外的邊和角．20．【分析】（1）用正弦定理求得，即可求出；（2）選條件①②：直接求出，得到，這與相矛盾，故這樣的不存在，舍去；選條件①③：由余弦定理解得：，判斷出為等腰三角形，求出，直接用面積公式求面積；選條件②③：由角判斷出為等腰三角形，直接用面積公式求面積．（3）利用正弦定理建立不等式，解出的取值范圍．【解答】解：（1）在中，對，用正弦定理得：，所以，即，因為，所以，所以．因為，所以；（2）選條件①②：在中，有，由可得：，所以，這與相矛盾，故這樣的不存在，舍去；選條件①③：在中，有，由余弦定理可得：，即，解得：，所以為等腰三角形，所以，所以；選條件②③：在中，有，由可得：，所以為等腰三角形，所以，所以．（3）如圖示， 要使符合題意的有且只有兩個，只需以為圓心，以為半徑作弧與射線（不含有且僅有兩個交點，過作于，則，只需滿足，即，解得：，所以的取值范圍為．【點評】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）將2011除以91，便可求相應的商與余數(shù)；（Ⅱ）假設存在這樣的函數(shù)，若（1），，2，，（2），，2，，則（3）（1），（3）（2），令（3），，2，，這里，且，同理有，（4），且（4），從而引出矛盾；（Ⅲ）先證明，9，10，11，12時，不存在含的集合的有12個元素的子集為非“和諧集”．再證明：含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”．【解答】解：（Ⅰ）因為，所以，．（2分）（Ⅱ）證明：假設存在這樣的函數(shù)，2，，使得對任意的整數(shù)，，若，2，，則．設（1），，2，，（2），，2，，由已知，由于，，所以（3）（1），（3）（2）．不妨令（3），，2，，這里，且，同理，（4），且（4），因為，2，只有三個元素，所以（4）．即（1）（4），但是，與已知矛盾．因此假設不成立，即不存在這樣的函數(shù)，2，，使得對任意的整數(shù)，，若，2，，則．（8分）（Ⅲ）當時，記，2，，，，2，3，記，則，顯然對任意，不存在，使得成立．故是非“和諧集”，此時，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，．同樣的，當，10，11，12時，存在含的集合的有12個元素的子集為非“和諧集”．因此．（10分）下面證明：含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”．設，，，，，若1，14，21中之一為集合的元素，顯然為“和諧集”．現(xiàn)考慮1，14，21都不屬于集合，構(gòu)造集合，4，8，，，6，，，10，，，，，，，15，17，19，．以上，，，，每個集合中的元素都是倍數(shù)關(guān)系．考慮的情況，也即中5個元素全都是的元素，中剩下6個元素必須從，，，，這5個集合中選取6個元素，那么至少有一個集合有兩個元素被選，即集合中至少有兩個元素存在倍數(shù)關(guān)系．綜上所述，含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”，即的最大值為7．（14分）【點評】本題是新定義題，解答的關(guān)鍵是讀懂題意，巧妙運用，有一定的難度．
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