?2022北京八十中高一（下）期中
數(shù) 學
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1. 設向量，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 已知復數(shù)滿足，則對應的點位于復平面內(nèi)的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在平行四邊形ABCD中，是對角線AC和BD的交點，則（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C 若，則 D. 若，則
5. 已知復數(shù)（），則是的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6. 某圓錐的母線長為，底面半徑長為，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
7. 若在△ABC中，，，且，，則△ABC形狀是（　?。?br /> A. 正三角形 B. 銳角三角形
C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形
8. 已知平面向量均為非零向量，則“”是“向量同向”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
9. 如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為，，且A，B兩點之間的距離為30，則該樹的高度為（ ）

A. B.
C. D.
10. 在棱長為的正方體中，點在正方形內(nèi)（含邊界）運動，則下列所有結論正確的是（　?。?
①若點在上運動，則
②若平面，則點的軌跡長度是.
③存在點，使得平面截該正方體的截面是五邊形.
④若，則四棱錐的體積最大值為1.
A. ①②③ B. ①② C. ①②④ D. ②③
二、填空題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，把答案填在題中橫線上）
11. 的共軛復數(shù)為___________.
12. 已知向量，若，則x的值為___________.
13. 若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為_______________.
14. 已知菱形邊長為1，，則______________.
15. 在中，若，則的最大內(nèi)角的值為________．
16. 歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被興為“數(shù)學中的天橋”，若復數(shù)滿足，則的虛部是___________，___________.
17. 如圖所示，已知三棱柱的所有棱長均為a，且⊥底面，若E是棱上的動點，則的最小值為___________，三棱錐的體積為___________.

18. 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，且有唯一解，則的取值范圍是___________.
19. 若，且，則______________，最大值為______________.
20. 如圖，在正方體中，AB=6，點P在平面內(nèi)，，則點P運動軌跡長度是___________，則點P到距離的最小值為___________.


三、解答題：本大題有5小題，每題14分，共70分.應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
21 已知兩個向量
（1）求以及與垂直的單位向量；
（2）當實數(shù)取何值時，向量與方向相反？
（3）若（其中，求的最小值.
22. 如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點D在直線AC上，且AD=4DC.

（1）求BD的長；
（2）求的值.
23. 如圖，在三棱柱中，各個側(cè)面均是邊長為正方形，為線段的中點

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：直線∥平面；
（Ⅲ）設為線段上任意一點，在內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）是否存在點，使，并說明理由
24. 已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足，有三個條件：①；②；③.從三個條件中選取兩個條件，完成下面兩個問題，并說明所有不能選取的條件組合的理由.
（1）求；
（2）設D為BC邊上一點，且，求的面積.
25. 如圖所示，在正方體中，點在棱上，且，點、、分別是棱、、的中點，為線段上一點，.

（1）若平面交平面于直線，求證：；
（2）若直線平面，
①求三棱錐的表面積；
②試作出平面與正方體各個面的交線，并寫出作圖步驟，保留作圖痕跡設平面與棱交于點，求三棱錐的體積.

參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1. 設向量，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標表示公式直接計算即可.
【詳解】因為向量，，
所以，
故選：D
2. 已知復數(shù)滿足，則對應的點位于復平面內(nèi)的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】化簡求出即可判斷.
【詳解】，，
則對應的點位于復平面內(nèi)的第四象限.
故選：D.
3. 在平行四邊形ABCD中，是對角線AC和BD交點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量加法與減法法則計算即可.
【詳解】解：.
故選：C

4. 已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間線面的垂直和平行關系，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】對A，平行于同一個平面的兩條直線并不一定平行，故A錯誤；
對B，平行于同一條直線的兩平面并不一定平行，故B錯誤；
對C，垂直于同一平面的兩直線平行，故C正確；
對D，兩平面垂直于兩直線，這兩個平面沒有確定的關系，故D錯誤.
故選：C
5. 已知復數(shù)（），則是的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)模的計算公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可；
【詳解】解：因為，所以，當時，故充分性成立，當，即，解得，故必要性不成立，
故是的充分不必要條件；
故選：A
6. 某圓錐的母線長為，底面半徑長為，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知條件求出圓錐的高，從而可求出圓錐的體積
【詳解】解：由題意得圓錐的高為，
所以圓錐的體積為，
故選：A
7. 若在△ABC中，，，且，，則△ABC的形狀是（　?。?br /> A. 正三角形 B. 銳角三角形
C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】直接求出，即可判斷.
【詳解】由于，|，，所以△ABC為等腰直角三角形．
故選：D.
8. 已知平面向量均為非零向量，則“”是“向量同向”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】判斷當時，，不能得同向，當同向時，可得，從而得出答案.
【詳解】當時，，
但此時向量不一定同向；反之，當向量同向時，
成立，所以“”是
“向量同向”的必要不充分條件.
故選：B
9. 如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為，，且A，B兩點之間的距離為30，則該樹的高度為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】樹高為h，利用直角三角形中用表示出，然后求解．
【詳解】解：設樹高為h，則，又,
所以，
故選：D
10. 在棱長為的正方體中，點在正方形內(nèi)（含邊界）運動，則下列所有結論正確的是（　　）.
①若點在上運動，則
②若平面，則點的軌跡長度是.
③存在點，使得平面截該正方體的截面是五邊形.
④若，則四棱錐的體積最大值為1.
A. ①②③ B. ①② C. ①②④ D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、面面平行的判定定理與性質(zhì)，結合正方體截面的性質(zhì)、棱錐的體積公式逐一判斷即可.
【詳解】對①：∵平面，平面，
∴，又，，∴平面，
∵點在上運動，∴平面，∴，故①正確；
對②：連接，∵，平面，
同理平面，又，所以平面平面，
當平面，點在上運動，所以點的軌跡為線段，
因為，所以點的軌跡長度是，②正確；
對③：由正方體的截面的性質(zhì)可知截面不可能是五邊形，
所以③錯誤；對④：正方形的面積為，
以為坐標原點，為軸建立平面直角坐標系，則，
設，因為，所以，
整理得，所以點的軌跡為的一部分，
當點在上時，高最長，此時，又，
所以，所以的體積最大值為，
故④正確；
故選：C


【點睛】本題考查了立體幾何中的線面垂直的判定和二面面平行的判定，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理進行證明.
二、填空題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，把答案填在題中橫線上）
11. 的共軛復數(shù)為___________.
【答案】
【解析】
【分析】由共軛復數(shù)的定義判斷.
【詳解】由共軛復數(shù)的定義知，的共軛復數(shù)為.
故答案：

12. 已知向量，若，則x的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的垂直的坐標表示，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，向量，
因為，可得，解得，
所以x的值為.
故答案為：.
13. 若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為_______________.
【答案】-2
【解析】
【分析】解不等式組得解.
【詳解】因為復數(shù)為純虛數(shù)
所以，所以.
故答案為：
14. 已知菱形邊長為1，，則______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，利用數(shù)量積的計算公式計算即可.
【詳解】，
故.
故答案為：.
15. 在中，若，則的最大內(nèi)角的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意，設，由大邊對大角知，角C最大，然后根據(jù)余弦定理求出即可求解角C.
【詳解】解：在中，因為，所以設，
由大邊對大角知，角C最大，
根據(jù)余弦定理有，
又，
所以角C，
故答案為：.
16. 歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被興為“數(shù)學中的天橋”，若復數(shù)滿足，則的虛部是___________，___________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由歐拉公式和復數(shù)除法運算可求得，由復數(shù)虛部定義和模長運算可求得結果.
【詳解】由歐拉公式知：，，
，
的虛部為，.
故答案為：；.
17. 如圖所示，已知三棱柱的所有棱長均為a，且⊥底面，若E是棱上的動點，則的最小值為___________，三棱錐的體積為___________.

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】將三棱錐的側(cè)面和沿展開，連接，求得，即可求得的最小值，取的中點，連接，證得平面，結合，即可求解.
【詳解】如圖所示，將三棱錐的側(cè)面和沿展開，
得到矩形，連接，與交于點，
其中，所以，即的最小值為；
取的中點，連接，在等邊中，可得，
又由⊥底面，可得平面平面，
結合面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，且，
又由.
故答案為：；.

18. 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，且有唯一解，則的取值范圍是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】由正弦定理得，對分類討論，即可判斷
【詳解】由正弦定理得，
因為有唯一解，當時，即，
唯一，符合題意，得；
當時，有兩個值，不唯一，不合題意；
當時，，
所以，唯一，符合題意，得.
所以的取值范圍為或.
故答案為：或.
【點睛】求解本題的關鍵是利用正弦定理表示邊，再由有唯一解，對分類討論.
19. 若，且，則______________，的最大值為______________.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】由即可求，結合已知條件可得在過點垂直于的直線上，而在以為圓心，1為半徑的圓周上，應用數(shù)形結合法判斷的最大時的位置，即可確定最大值.
【詳解】由，可得，
由題設，在過點垂直于的直線上，而在以為圓心，1為半徑的圓周上，若，如下圖示，

∴，要使的最大，只需共線，在上的投影最短，
由圖知：共線時，的最大為.
故答案為：2，.
【點睛】關鍵點點睛：由已知條件將向量轉(zhuǎn)化為圖形形式，數(shù)形結合法分析的最大時動點的位置，即可求最大值.
20. 如圖，在正方體中，AB=6，點P在平面內(nèi)，，則點P運動軌跡長度是___________，則點P到距離的最小值為___________.


【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】對①空，根據(jù)為定值，再計算到平面的距離，可判斷點P運動軌跡為圓，再計算半徑即可；
對②空，分別取、的中點、，連接、、、，證明出平面，對于平面內(nèi)任意一點，過點作分別交、、于點、、，分析可知點到直線的距離等于線段的長，求出長的最大值，即可得出點到直線距離的最大值.
【詳解】對①空，設到平面的距離為，則，解得，又，故到平面的投影點到點P的距離為定值，且點到正的邊距離為，故點P運動軌跡恰好為的內(nèi)切圓，長度為；
對②空，分別取、的中點、，連接、、、，

且，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，且，
因為、分別為、的中點，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，故且，
平面，平面，
、平面，則，，
，則，
因為，平面，
對于平面內(nèi)任意一點，過點作分別交、、于點、、，
，，
所以點到直線的距離等于點到直線的距離，
平面，故，所以點到直線的距離為線段的長，
，則是以為直角的直角三角形，
當時，最短，
因為，，故當點與點重合時，最長，
當點與點重合時，，滿足題意，
此時點到直線的距離取到最大值.
故答案為：；6
三、解答題：本大題有5小題，每題14分，共70分.應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
21. 已知兩個向量
（1）求以及與垂直的單位向量；
（2）當實數(shù)取何值時，向量與方向相反？
（3）若（其中，求的最小值.
【答案】（1），或；
（2）；
（3）；
【解析】
【分析】（1）由模長公式求解，設所求向量坐標為，再由垂直與單位向量的定義列方程組求解；（2）由向量共線列式求解，再將所求值代入驗證是否為相反方向；（3）利用模長公式表示出，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值.
【小問1詳解】
由模長公式，，，
設該單位向量的坐標為，則，
得或，
所以與垂直的單位向量為或.
【小問2詳解】
，，
當向量與共線時，
，解得或，
當時，與同向，不合題意；
當時，與反向，符合題意；
所以.
【小問3詳解】
，
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，，
所以恒成立，
當時，取最小值，
所以的最小值為.
22. 如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點D在直線AC上，且AD=4DC.

（1）求BD的長；
（2）求的值.
【答案】（1）;（2）
【解析】
【詳解】試題分析：（1）中可求出各邊的值和各角的正余弦值,由,求出,在中，由余弦定理可求得長;（2） 在中利用正弦定理,可求得.
試題解析:（1）因
所以，，
又因，所以.
中，由余弦定理，
得
，
所以
（2）在中，由正弦定理，得，
所以，
所以
考點：正余弦定理
23. 如圖，在三棱柱中，各個側(cè)面均是邊長為的正方形，為線段的中點

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：直線∥平面；
（Ⅲ）設為線段上任意一點，在內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）是否存在點，使，并說明理由
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析
【解析】
【分析】（1）充分利用正三棱柱的性質(zhì)得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再證明BD垂直于AC即可；
（2）連接B1C交BC1于O，連接OD，D為AC 中點，得到AB1∥OD，利用線面平行的判定定理可得；
（3）在△BC1D內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）存在點E，使CE⊥DM，此時E在線段C1D上；只要利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明．
【詳解】
（）證明：∵三棱柱中，各個側(cè)面均是邊長為的正方形，
∴，，
∴平面，
又∵平面，
∴，
又底面為等邊三角形，為線段的中點，
∴，
又，
∴平面．
（）證明：連接交于，連接，則為的中點，
∵是的中點，
∴，
又平面，平面，
∴直線平面．
（）在內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）存在點，使，此時在線段上，
證明如下：過作交線段與，
由（）可知，平面，而平面，
∴，
由，，得平面，
∵平面，
∴．
【點睛】垂直、平行關系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.
(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.
(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.
(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
24. 已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足，有三個條件：①；②；③.從三個條件中選取兩個條件，完成下面兩個問題，并說明所有不能選取的條件組合的理由.
（1）求；
（2）設D為BC邊上一點，且，求的面積.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意，先計算得，由為鈍角，與矛盾，所以判斷得①②中僅有一個正確，③一定正確，再由面積公式得，分類討論求解；（2）利用得，從而求解得答案.
【小問1詳解】
∵，即，
又，∴，∵為鈍角，與矛盾，
∴①②中僅有一個正確，③一定正確，∴，
當①③正確時，由，
得，無解；
當②③正確時，∵，，得，
經(jīng)檢驗成立，∴.
【小問2詳解】
如圖所示，∵，∴，
∴，
∴.

【點睛】解三角形的基本策略：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理．應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．
25. 如圖所示，在正方體中，點在棱上，且，點、、分別是棱、、的中點，為線段上一點，.

（1）若平面交平面于直線，求證：；
（2）若直線平面，
①求三棱錐的表面積；
②試作出平面與正方體各個面的交線，并寫出作圖步驟，保留作圖痕跡設平面與棱交于點，求三棱錐的體積.
【答案】（1）答案見詳解；（2）①；②作圖步驟見解析，三棱錐 的體積為．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到，再結合線線平行的傳遞性即可證明結論；
（2）①先根據(jù)直線平面得到，進而得到是的中點，然后依次求出三棱錐的四個面的面積再相加即可得到三棱錐的表面積；②根據(jù)公理“一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”作出平面與正方體各個面的交線即可；根據(jù)四點共面，且三角形與三角形面積相等，那么三棱錐的體積等于三棱錐的體積，直接利用三棱錐的體積公式求解即可．
【詳解】（1）在正方體中，
因為平面平面，平面平面，
所以，
因為點、 分別是棱、 的中點，
所以，
所以．
（2）①因為直線平面，平面，
所以，又因為△，
所以，
所以，
因為，
，
，
所以三棱錐的表面積為．
②作圖步驟如下：
連接，過點作于點，連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點交的延長線于點，
再連接交于點，連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，再連接，，，
則圖中，，，，，即為平面與正方體各個面的交線．

設，由題知
，
所以，所以，
解得，
因為，
，，
所以，

如上圖，設為線段的中點，可證點在平面內(nèi)，且三角形與三角形面積相等，
所以，三棱錐的體積三棱錐的體積三棱錐的體積，
所以三棱錐 的體積為．
【點睛】本題考查面面平行的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理的應用，直線與平面垂直以及幾何體的表面積和體積的求法，考查空間想象能力記憶計算能力，屬于難題．

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