一、選擇題8小題，每小題5分，共40分
1. 設(shè)非空集合P，Q滿(mǎn)足，則表述正確的是（ ）
A. ，有B. ，有
C. ，使得D. ，使得
2. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D. ，或
3. 已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 若冪函數(shù)在單調(diào)遞減，則（ ）
A. 3B. C. D.
7. “關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根”是“”的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 非充分非必要條件
8. 已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題6小題，每小題5分，共30分
9.已知集合，，則____．
10. 函數(shù)定義域?yàn)開(kāi)__________.
11. 函數(shù)的最大值是__________．
12. 不等式的解集為_(kāi)_______．
13. 化簡(jiǎn)：= ______．（用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）.
14. 已知是定義在，上的偶函數(shù)，且在，上為增函數(shù)，則的解集為_(kāi)_.
三、解答題6小題，共80分
15. 已知，．
（1）求集合；
（2）求，．
16. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；
（2）若函數(shù)在上的最小值為1，求實(shí)數(shù)的值．
17. 某工廠(chǎng)要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為 ，深為.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?
18. 已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明結(jié)論；
（2）證明函數(shù)在上是減函數(shù)；
（3）求函數(shù)在上的最值．
19. 已知二次函數(shù)．
（1）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）解關(guān)于的不等式（其中）．
20. 記，，存在正整數(shù)n，且.若集合滿(mǎn)足，則稱(chēng)集合A為“諧調(diào)集”.
（1）分別判斷集合、集合是否為“諧調(diào)集”；
（2）已知實(shí)數(shù)x、y，若集合為“諧調(diào)集”，是否存在實(shí)數(shù)z滿(mǎn)足，并且使得為“諧調(diào)集”？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)z，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若有限集M為“諧調(diào)集”，且集合M中的所有元素均為正整數(shù)，試求出所有的集合M.
參考答案
一、選擇題8小題，每小題5分，共40分
1. 【答案】B
【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)镻?Q，則由子集的定義知集合P中的任何一個(gè)元素都在Q中，
而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等兩種情況)，故B正確，ACD錯(cuò)誤．
故選：B
2. 【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算可得；
【詳解】解：由，解得，即不等式的解集為；
故選：C
3.【答案】A
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A；舉反例即可判斷B，C，D.
【詳解】由，且，可得，A正確；
取，滿(mǎn)足條件，但，B錯(cuò)誤；
取，滿(mǎn)足條件，但，，C，D錯(cuò)誤；
故選：A
4. 【答案】B
【分析】
當(dāng)時(shí)可將其代入時(shí)的解析式求出，再通過(guò)奇偶性將其轉(zhuǎn)化為即可.
【詳解】設(shè)，則.
可得，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
∴，
∴.
故選：B.
5. 【答案】B
【分析】求出兩個(gè)函數(shù)定義域以及化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系.若兩個(gè)函數(shù)定義域相同且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則這兩個(gè)函數(shù)相同，進(jìn)而判斷答案.
【詳解】對(duì)A，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，則A錯(cuò)誤；
對(duì)B，和的定義域均為R，且，則B正確；
對(duì)C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，則C錯(cuò)誤；
對(duì)D，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，則D錯(cuò)誤.
故選：B.
6. 【答案】D
【分析】由冪函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性有，求參數(shù)值即可.
【詳解】由題設(shè)，則，可得.
故選：D
7. 【答案】B
【分析】根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系判斷條件間的關(guān)系即可.
【詳解】若方程有實(shí)數(shù)根，則，即，但不一定有，充分性不成立；
若，則，即方程有實(shí)數(shù)根，必要性成立；
所以“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根”是“”的必要非充分條件.
故選：B
8. 【答案】B
【分析】
由函數(shù)的單調(diào)性及定義域可得不等式，即可得解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是減函數(shù)，且，
所以,解得,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題6小題，每小題5分，共30分
9. 【答案】
【分析】根據(jù)并集的概念運(yùn)算即得.
【詳解】因?yàn)榧希?br>所以.
故答案為：.
10. 【答案】且
【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.
【詳解】由題知：，解得且.
故答案為：且.
11. 【答案】##
【分析】方法一：將函數(shù)變形為，然后利用基本不等式可求出其最大值，方法二：將函數(shù)變形為，然后利用基本不等式可求出其最大值.
【詳解】方法一：，
∵，∴，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故當(dāng)時(shí)，．
方法二：由知，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故當(dāng)時(shí)，．
故答案為：
12. 【答案】
【分析】由分式不等式可得，解一元二次不等式求解集.
【詳解】由題設(shè)，
所以不等式解集為.
故答案為：
13. 【答案】
【分析】先把根式轉(zhuǎn)化成指數(shù)冪的形式，再利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?br>.
故答案為：.
14. 【答案】
【分析】
由偶函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性可求，從而可得在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，由此可解不等式.
【詳解】解：是定義在，上的偶函數(shù)，
，
，
在，上為增函數(shù)，
在，上為減函數(shù)，距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
由可得，且，，
解得，
故不等式的解集為.
故答案為：.
三、解答題6小題，共80分
15.【答案】（1）
（2）或，或
【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合即可；
（2）由集合的交集與補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以解不等式可得?br>，故集合
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知：，又，
所以，所以或.
或，或.
16. 【答案】（1）最大值為12，最小值為-4
（2）
【分析】（1）配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置，分類(lèi)討論，,求其最小值并為1，得到的值.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
又，所以，，
所以函數(shù)的最大值為12，最小值為-4.
【小問(wèn)2詳解】
的對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，
① 當(dāng)，即時(shí)，
，即，符合題意；
② 當(dāng)，即時(shí)，
，即，不符合題意；
③ 當(dāng)，即時(shí)，
，無(wú)解，不符合題意；
綜上，可得.
17. 【答案】將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.
【分析】設(shè)底面長(zhǎng)為，寬為，由容積為，可得，列出水池的總造價(jià)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系可得，借助均值不等式即得解
【詳解】設(shè)底面長(zhǎng)為，寬為
則
水池的總造價(jià)：

（元）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.
18. 【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析； （3）無(wú)最大值，最小值為.
【分析】（1）應(yīng)用奇偶性定義證的奇偶性；
（2）應(yīng)用單調(diào)性定義證的單調(diào)性；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論確定區(qū)間最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：
由知：函數(shù)定義域?yàn)镽，
，
所以為奇函數(shù)，得證.
【小問(wèn)2詳解】
令，則，
所以，
而，，，則，
所以，故函數(shù)在上是減函數(shù)，得證.
【小問(wèn)3詳解】
由（1）（2）知：在上是減函數(shù)，
且，易知趨向時(shí)函數(shù)值趨向于0，
所以，無(wú)最大值.
19. 【答案】（1）；
（2）答案見(jiàn)解析.
【分析】(1)當(dāng)時(shí)將原不等式變形為，根據(jù)基本不等式計(jì)算即可；
(2)不等式化為，討論的取值，從而求出對(duì)應(yīng)不等式的解集．
【小問(wèn)1詳解】
不等式即為：，
當(dāng)時(shí)，不等式可變形為：，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
不等式，
等價(jià)于，即，
①當(dāng)時(shí)，不等式整理為，解得；
當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，，
②當(dāng)時(shí)，可得，解不等式得或；
③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，解不等式得?br>④當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不等式的解集為?br>⑤當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋獠坏仁降茫?br>綜上所述，不等式的解集為：
①當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
②當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
③當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
④當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
⑤當(dāng)時(shí)，不等式解集為．
20. 【答案】（1）E不是，F(xiàn)是
（2）不存在，理由見(jiàn)解析
（3）
【分析】（1）根據(jù)新定義計(jì)算即可判斷；
（2）若存在符合題意的實(shí)數(shù)z，根據(jù)題意可得，求解后，檢驗(yàn)，進(jìn)而可判斷；
（3）不妨設(shè)A中所有元素滿(mǎn)足，從而可得，進(jìn)而可得，再分、、三種情況求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以E不是“諧調(diào)集”，
因?yàn)?，所以F是“諧調(diào)集”；
【小問(wèn)2詳解】
若存在符合題意的實(shí)數(shù)z，則，
所以，即，解得或或，
當(dāng)時(shí)，則，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，
由此，x、y是方程的實(shí)數(shù)解.
但，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不符合題意；
當(dāng)時(shí)，同理，可得不符合題意，
綜上，不存在符合題意的實(shí)數(shù)z；
【小問(wèn)3詳解】
不妨設(shè)A中所有元素滿(mǎn)足，
則，
于是，，
即，
當(dāng)時(shí)，則，∴，但無(wú)解，所以不存在符合題意的“諧調(diào)集”，
當(dāng)時(shí)，則，∴，，，∴，
當(dāng)時(shí)，∵，，，均為正整數(shù)，∴，，，.
∴，
又，∴，即，
但當(dāng)時(shí)，，矛盾.
所以不存在符合題意的“諧調(diào)集”
綜上，符合題意的“諧調(diào)集”為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
本題第三問(wèn)關(guān)鍵是能夠由，結(jié)合正整數(shù)的特點(diǎn)得到，再分、、三種情況求解.

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