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參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．1．【分析】由正弦的倍角公式變形即可解之．【解答】解：因為，所以．故選：．【點評】本題考查正弦的倍角公式．2．【分析】根據(jù)圓錐的體積公式列方程求出沙堆的高．【解答】解：細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為，設高為，則沙堆的體積為，解得，所以圓錐形沙堆的高度為．故選：．【點評】本題考查了圓錐的體積公式應用問題，是基礎題．3．【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出，即可．【解答】解：由復數(shù)的幾何意義知，，則，對應的點的坐標為位于第四象限，故選：．【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義以及復數(shù)的基本運算，比較基礎．4．【分析】根據(jù)分層抽樣原理，即可求出抽取的數(shù)值．【解答】解：三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)總人口有（人，從這三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取300人，北鄉(xiāng)應抽取（人．故選：．【點評】本題考查了分層抽樣原理應用問題，是基礎題．5．【分析】利用復數(shù)在復平面的幾何意義，結合充要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是：且；即與它對應的點在軸上除去原點之外的點，故由復數(shù)是純虛數(shù)，可推出復平面內的點在虛軸上，由復平面內的點在虛軸上，不能推出復數(shù)是純虛數(shù)，故“復平面內的點在虛軸上”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的必要不充分條件，故選：．【點評】本題考查了充要條件的判斷及復數(shù)的幾何意義，考查了對復數(shù)相關概念的理解，屬于基礎題．6．【分析】觀察折線圖判斷各選項．【解答】第8天比第7天的復工指數(shù)和復產指數(shù)均低，錯；這11天期間，復產指數(shù)的極差小于復工指數(shù)的極差：兩者最高差不多，但最低的復工指數(shù)比復產指數(shù)低得多，錯；第3天至第11天復工復產指數(shù)均超過，正確；第9天至第11天復工指數(shù)的增量小于復產指數(shù)的增量，錯誤．故選：．【點評】本題考查的是識圖能力，其中涉及極差的概念考察，屬于基礎題．7．【分析】利用向量的數(shù)量積的運算和排除法求出結果．【解答】解：非零向量，，定義運算“”： ，其中為，的夾角．故：①，故正確．②，則：或，所以：和共線，故：正確．③由于：，故：正確，所以利用排除法得到：錯誤．故選：．【點評】本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．8．【分析】設，則，，則，由此能求出的最大值．【解答】解：設，則，，，的最大值為1．故選：．【點評】本題考查代數(shù)式最大值的求法，考查單位圓、三角函數(shù)的性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．9．【分析】建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標，設，利用空間兩點間距離公式表示出，然后轉化為平面中到兩定點距離之和的最小值問題進行研究，即可得到答案．【解答】解：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，0，，，設，則，上式可以看出平面直角坐標系下點與點和點的距離之和，又點關于軸的對稱點為，所以，故的最小值為．故選：．【點評】本題考查了空間中距離最小值問題，解題的關鍵是要把空間問題轉化為平面問題，考查了邏輯推理能力與轉化化歸能力以及空間想象能力，屬于中檔題．10．【分析】由題意可得，，且，，再由題意可得存在整數(shù)，滿足，求得的最小值，可得，由此求得的取值范圍．【解答】解：由題意可得，，即，，即．再由，即，即存在極值點，滿足，即存在整數(shù)，滿足，即存在整數(shù)，滿足，即存在整數(shù)，使得足 能成立，故 應大于的最小值．而的最小值為，，即，，求得，或，故選：．【點評】本題主要正弦函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)的零點的定義，不等式的性質，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案．【解答】解：由，得，的虛部為．故答案為：．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．12．【分析】根據(jù)斜二側畫法得到三角形為直角三角形，且其底面邊長，高，，然后求三角形的周長即可．【解答】解：根據(jù)斜二側畫法得到三角形為直角三角形，底面邊長，高，，直角三角形的周長為．故答案為：12．．【點評】本題主要考查平面圖形的直觀圖的應用，要求熟練掌握斜二測畫法的邊長關系，比較基礎．13．【分析】設塔高為米，根據(jù)題意可知在中，，，，從而有，在中，，，，，由正弦定理可求，從而可求即塔高【解答】解：設塔高為米，根據(jù)題意可知在中，，，，從而有，在中，，，，由正弦定理可得，可得，則故答案為：【點評】本題主要考查了正弦定理在實際問題中的應用，解決本題的關鍵是要把實際問題轉化為數(shù)學問題，結合已知把題目中的數(shù)據(jù)轉化為三角形中的數(shù)據(jù)，進而選擇合適的公式進行求解．14．【分析】由頻數(shù)分布表得，的頻數(shù)為20，頻率為0.4，求出樣本容量，進而求出，，再由頻率分布直方圖求出，，由此能求出的值．【解答】解：由頻數(shù)分布表得，的頻數(shù)為20，頻率為0.4，樣本容量為，，，由頻率分布直方圖得，．．故答案為：50，510．【點評】本題考查頻率分布直方圖的運算，頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．15．【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以和的反向延長線為兩鄰邊，得到的取值范圍，當時，要使點落在指定區(qū)域內，即點應落在上，得到的范圍．【解答】解：如圖，，點在由射線，線段及的延長線圍成的區(qū)域內（不含邊界）運動，且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以和的反向延長線為兩鄰邊，的取值范圍是；當時，要使點落在指定區(qū)域內，即點應落在上，，，的取值范圍是，．故答案為：；，【點評】本題考查三角形法則，是一個基礎題，向量是數(shù)形結合的最好的工具，在解題時注意發(fā)揮向量的優(yōu)點．三、解答題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．【分析】（Ⅰ）首先把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．【解答】解：（Ⅰ）．故函數(shù)的最小值正周期為．令：，解得，故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為：．（Ⅱ）由于，所以，所以，整理得：即，，即當時，函數(shù)取得最小值為0，當時，函數(shù)取得最大值為3．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．17．【分析】（1）根據(jù)，可得，從而解出，從而得出，利用向量的模的運算以及二次函數(shù)的性質即可求得的最小值；（2）由，可求得的值，從而可求出與，并設與的夾角為，從而可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【解答】解：（1），，．，解得，，，，，當時，取得最小值為13．（2）若，則，，，，，，，設與的夾角為，則，，，，即與的夾角為．【點評】本題考查平行向量的坐標關系，向量垂直的充要條件，向量坐標的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積和模的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）利用頻率之和為1，求出，然后利用頻率分布直方圖中中位數(shù)的定義判斷即可；（Ⅱ）先計算共有多少人紀念品，求出分數(shù)在，之間的有18人，從而得到，之間有2人無紀念品，再確定多少分以上的人可以拿到紀念品；（Ⅲ）選成績好的6人參加，由頻率分布直方圖分析即可．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，，前3組的頻率為，前4組的頻率為，故中位數(shù)所在的區(qū)間為，；（Ⅱ）因為人，所以有人沒有紀念品，分數(shù)在，之間的有人，所以分數(shù)在，之間的有人沒有紀念品，分數(shù)在，之間的共有人，所以分，所以本次活動51分以上的人可以拿到紀念品；（Ⅲ）選成績最好的同學去參賽，分數(shù)在，之間的共有人，所以選90分以上的人去參賽．【點評】本題考查了頻數(shù)、頻率、樣本容量之間的關系，考查了方程思想，屬于基礎題．19．【分析】（Ⅰ）由余弦定理知，，．選擇①②：先解得，再由，得解；選擇①③：由正弦定理知，而，解方程組求得，的值，再由，得解；選擇②③：由正弦定理知，由，得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，結合兩角差的余弦公式和輔助角公式，可得，再由正弦函數(shù)的圖象與性質，得解．【解答】解：（Ⅰ），由余弦定理知，，，．選擇①②：，，即，解得或（舍負），的面積．選擇①③：由正弦定理知，，，，，，由構成的方程組，解得，，的面積．選擇②③：由正弦定理知，，，，的面積．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，，，，，，故的最大值為1．【點評】本題考查解三角形與三角恒等變換的綜合，熟練掌握正余弦定理、兩角和差公式、輔助角公式等是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）由已知等式結合正弦定理可得，進一步求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，可得為直角三角形，且，設，，，在中與中分別利用正弦定理求得、，代入三角形面積公式，再由三角函數(shù)求最值．【解答】解：（Ⅰ），，，，得，又，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，為直角三角形，且，，，設，，，則，在中，由，得，由，，得，在中，由，得，由．，，，，可得當，即時，取得最小值，故當面積的最小時，．【點評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應用，訓練了利用三角函數(shù)求最值，是中檔題．21．【分析】（Ⅰ）利用新定義求解即可；（Ⅱ）（ⅰ）設，，，，，，，，，，，，因為，，，故，，然后分兩種情況進行討論，即可證明；（ⅱ）設，，，，，，，，，，，，記，，，記，0，，，利用中的結論，先推導出，，不可能全為奇數(shù)，即可證明；（Ⅲ）直接定義，然后寫出性質即可．【解答】（Ⅰ）解：因為，0，，，1，，所以，1，，；（Ⅱ）證明：（ⅰ）設，，，，，，，，，，，，因為，，，故，，，2，，，則，，，，又，，，，，2，，，當時，有；當時，有；故，；（ⅱ）設，，，，，，，，，，，，記，，，記，0，，，由可知，，，，，，，，，，，，則中1的個數(shù)為，中1的個數(shù)為，設是使得成立的的個數(shù)，則有，由此可知，，，不可能全為奇數(shù)，即，，三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；（Ⅲ）定義，，，，則①；②．【點評】本題考查了新定義問題，解決此類問題，關鍵是讀懂題意，理解新定義的本質，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學背景中，運用相關的數(shù)學公式、定理、性質進行解答即可，屬于中檔題．
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