2021北京西城高一（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，0，2，，，，那么　　A．， B．， C．， D．，2．方程組的解集是　　A．， B．， C．， D．，3．函數(shù)的定義域是　　A． B． C．，， D．，，4．為了解學(xué)生在“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，品讀經(jīng)典文學(xué)”月的閱讀情況，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)間（閱讀時(shí)間，，分組整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖．則圖中的值為　　A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.3005．若，則一定有　　A． B． C． D．6．在平行四邊形中，設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)，則　　A． B． C． D．7．設(shè)，則，的大小關(guān)系一定是　　A． B． C． D．以上答案都不對(duì)8．從2015年到2020年，某企業(yè)通過持續(xù)的技術(shù)革新來降低其能源消耗，到了2020年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗降低了．如果這五年平均每年降低的百分率為，那么滿足的方程是　　A． B． C． D．9．設(shè)，是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．設(shè)為定義在上的函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)．對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：①（1）；②；③函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為　　A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知向量，，那么　　．12．（5分）若方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．13．（5分）設(shè)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，（2），則不等式的解集是　　．14．（5分）已知函數(shù)，那么（2）　　；當(dāng)函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．15．（5分）某廠商為推銷自己品牌的可樂，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個(gè)該品牌的可樂空罐換1罐可樂．對(duì)于此促銷活動(dòng)，有以下三個(gè)說法：①如果購買10罐可樂，那么實(shí)際最多可以飲13罐可樂；②欲飲用100罐可樂，至少需要購買67罐可樂；③如果購買罐可樂，那么實(shí)際最多可飲用可樂的罐數(shù)．（其中表示不大于的最大整數(shù)）則所有正確說法的序號(hào)是　　．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）某校高一年級(jí)1000名學(xué)生全部參加了體育達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理并按分?jǐn)?shù)段，，，，，，，，，，，進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績的折線圖如圖．（Ⅰ）估計(jì)該校高一年級(jí)中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從體育成績?cè)?/span>，和，的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求其中恰有1人體育成績?cè)?/span>，的概率．17．（15分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（Ⅲ）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．18．（14分）如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以表示．（Ⅰ）若甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績相同，求的值；（Ⅱ）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，試比較甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差的大?。ńY(jié)論不要求證明）19．（15分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若（a），求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．20．（13分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1噸虧損300元．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130噸該農(nóng)產(chǎn)品．以（單位：噸，表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)銷售該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．（Ⅰ）將表示為的函數(shù)；（Ⅱ）求出下一個(gè)銷售季度利潤不少于57000元時(shí)，市場需求量的范圍．21．（15分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．若存在常數(shù)，對(duì)于任意，成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．記為滿足性質(zhì)廠的所有函數(shù)的集合．（Ⅰ）判斷函數(shù)和是否屬于集合？（結(jié)論不要求證明）（Ⅱ）若函數(shù)，證明：；（Ⅲ）記二次函數(shù)的全體為集合，證明：．
參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：，0，2，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法和描述法的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】解原方程組得出，的值，然后寫出原方程組的解集即可．【解答】解：解得，或，原方程組的解集為：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，即，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，結(jié)合函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4．【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出．【解答】解：由頻率分布直方圖得：，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．【分析】由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于，若，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則顯然成立，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】利用向量加法法則直接求解．【解答】解：在平行四邊形中，設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的求法，考查向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)已知可分三種情況討論，即，，，然后根據(jù)每種情況分析求出對(duì)應(yīng)關(guān)系即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)不等式的求解，涉及到分類討論思想的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)題意，逐年列出生產(chǎn)總值能耗，即可得到答案．【解答】解：設(shè)2015年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為，則2016年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為，2017年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為，該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為，該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為，該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為，由題設(shè)可得，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，涉及了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，從中抽出數(shù)學(xué)模型，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若“”，則平方得，即，即，，則，，即，，即，同向共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，反之當(dāng)，時(shí)，存在，滿足，但“”不成立，即“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．10．【分析】由奇函數(shù)的定義分別判斷①②③，用奇函數(shù)定義及圖象平移即可斷定④．【解答】解：對(duì)于①，函數(shù)是奇函數(shù)（1），所以①對(duì)；對(duì)于②，函數(shù)是奇函數(shù)，所以②對(duì)；對(duì)于③，函數(shù)的圖象未必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如，滿足條件，但不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以③錯(cuò)；對(duì)于④，函數(shù)是奇函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，將的圖象向右平移1個(gè)單位得到的圖象，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以④對(duì)；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】可求出向量的坐標(biāo)，然后即可求出的值．【解答】解：，．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長度的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】利用根的分布以及韋達(dá)定理列出關(guān)于的不等式組，求解即可得到答案．【解答】解：設(shè)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根為，，則，，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的分布問題，涉及了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，（2），在上單調(diào)遞增，，則對(duì)應(yīng)圖象如圖：則的解集，，，故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式求解，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，作出函數(shù)的簡圖，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14．【分析】利用函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可得到第一問；畫出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合求解的范圍即可．【解答】解：函數(shù)，（2）；函數(shù)的圖象如圖：函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，．故答案為：；，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，是中檔題．15．【分析】①，計(jì)算購買10罐可樂時(shí)實(shí)際最多可以飲用的可樂罐數(shù)即可；②，由題意求出欲飲用100罐可樂時(shí)至少需要購買的可樂罐數(shù)即可；③，利用①②的結(jié)論驗(yàn)證購買罐可樂時(shí)，實(shí)際最多可飲用可樂的罐數(shù)即可．【解答】解：對(duì)于①，購買10罐可樂，實(shí)際最多可以飲用可樂罐數(shù)為，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?/span>余1，余2，，；所以，即欲飲用100罐可樂，至少需要購買67罐可樂，②正確；對(duì)于③，由①②，驗(yàn)證購買罐可樂，實(shí)際最多可飲用可樂的罐數(shù)，（其中表示不大于的最大整數(shù)）正確．總結(jié)規(guī)律可知：剩余的空罐數(shù)為1或2；購買奇數(shù)罐可樂剩余1個(gè)空罐，購買偶數(shù)罐可樂剩余2個(gè)空罐；每多購買2罐可樂，實(shí)際可多飲用1罐可樂；實(shí)際飲用可樂罐數(shù)比購買可樂罐數(shù)的1.5倍少0.5或1；所以購買罐可樂，實(shí)際最多可飲用可樂的罐數(shù)，（其中表示不大于的最大整數(shù)）．綜上知，以上正確說法的序號(hào)是②③．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了邏輯推理應(yīng)用問題，是中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）由折線圖能求出該校高一年級(jí)中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)．（Ⅱ）求出體育成績?cè)?/span>，和，的學(xué)生人數(shù)分別為2人和3人，從而求出基本事件總數(shù)和恰有1人體育成績?cè)?/span>，中包含的基本事件個(gè)數(shù)．由此能求出其中恰有1人體育成績?cè)?/span>，的概率．【解答】解：（Ⅰ）由折線圖得：樣本中該校高一年級(jí)中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)為：（人．估計(jì)該校高一年級(jí)中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)為人．（Ⅱ）體育成績?cè)?/span>，和，的學(xué)生人數(shù)分別為2人和3人，現(xiàn)從體育成績?cè)?/span>，和，的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)，其中恰有1人體育成績?cè)?/span>，中包含的基本事件個(gè)數(shù)．其中恰有1人體育成績?cè)?/span>，的概率．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率、概率的求法，考查折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解出即可；（Ⅱ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．【解答】（Ⅰ）解：令，則由題意得：，解得：或，故函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)是，；（Ⅱ）解：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“”成立，故在上的最小值是7；（Ⅲ）證明：不妨設(shè)，則，，，，故，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，考查圖象交點(diǎn)問題，是基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）直接由甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績相等列式求解的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的結(jié)果可得，當(dāng)，，9時(shí)，乙組平均成績超過甲組平均成績，然后由古典概率模型概率計(jì)算公式求概率；（Ⅲ）直接計(jì)算方差，然后比較大?。?/span>【解答】解：（Ⅰ）由甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績相等，得，解得；（Ⅱ）設(shè)“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，的取值有：0，1，2，，9共有10種可能．由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，當(dāng)，，9時(shí)，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能．乙組平均成績超過甲組平均成績的概率（A）；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，所以，，因?yàn)?/span>，所以甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差比乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了莖葉圖，考查了等可能事件的概率及古典概型概率計(jì)算公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．19．【分析】（Ⅰ）將代入解析式，解指數(shù)方程即可求出得值；（Ⅱ）先判斷奇偶性，然后分析定義域并計(jì)算、得數(shù)量關(guān)系，結(jié)合定義可得結(jié)論；（Ⅲ）先求出在，上得最大值，再根據(jù)要使對(duì)于，恒成立，即，求出得最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>（a），所以，所以且，所以，所以；（Ⅱ）為奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)?/span>，所以定義域?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)；（Ⅲ）因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>在，上單調(diào)遞增，所以在，上單調(diào)遞減，所以（1），又因?yàn)?/span>對(duì)于，恒成立，所以，即．所以得最小值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算的能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）直接由題意分段寫出，和，時(shí)的利潤函數(shù)即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，利潤為65000元，不少于57000元，當(dāng)，時(shí)，求解不等式，即可得到的范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，．；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，利潤為65000元，不少于57000元，當(dāng)，時(shí)，由，解得．故下一個(gè)銷售季度利潤不少于57000元時(shí)，市場需求量的范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查一次不等式的解法，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．21．【分析】（Ⅰ）根據(jù)性質(zhì)的定義判斷與是否具有性質(zhì)，由此判斷出函數(shù)和是否屬于集合；（Ⅱ）先根據(jù)定義證明函數(shù)具有性質(zhì)，然后即可證明；（Ⅲ）將問轉(zhuǎn)化為證明二次函數(shù)不具備性質(zhì)，利用反證法進(jìn)行證明即可；【解答】（Ⅰ）解：函數(shù)不屬于集合，屬于集合；（Ⅱ）證明：因?yàn)?/span>，不妨令，所以，所以，關(guān)于的方程有解，，所以函數(shù)具有性質(zhì)，則；（Ⅲ）證明：根據(jù)題意可知，等價(jià)于二次函數(shù)不具備性質(zhì)，假設(shè)存在二次函數(shù)具備性質(zhì)，所以存在常數(shù)對(duì)于任意都有成立，即成立，即成立，所以，解得，，，這與假設(shè)中的矛盾，所以假設(shè)不成立，故二次函數(shù)不具備性質(zhì)，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

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