2021北京朝陽高一（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．已知集合，，，0，1，，則　　A．， B．， C．，0， D．，0，1，2．命題“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是　　A． B． C． D．4．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是　　A． B． C． D．5．已知函數(shù)．若，則　　A． B． C． D．6．已知，，，則　　A． B． C． D．7．已知函數(shù)可表示為　　1234則下列結(jié)論正確的是　　A．（4） B．的值域是，2，3， C．的值域是， D．在區(qū)間，上單調(diào)遞增8．在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對(duì)大小的指標(biāo)．聲強(qiáng)級(jí)（單位：與聲強(qiáng)度（單位：之間的關(guān)系為，其中基準(zhǔn)值．若聲強(qiáng)級(jí)為時(shí)的聲強(qiáng)度為，聲強(qiáng)級(jí)為時(shí)的聲強(qiáng)度為，則的值為　　A．10 B．30 C．100 D．10009．已知，均為第一象限角，則“”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，，，滿足當(dāng)時(shí)，，則正整數(shù)的最小值為　　A．505 B．506 C．507 D．508二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>　　．12．已知，，且，則的最大值為　　．13．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則　　．14．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則常數(shù)的一個(gè)取值為　　．15．設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是　　．16．已知函數(shù)．①當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>　　；②若對(duì)于任意，，，（a），（b），（c）的值總可作為某一個(gè)三角形的三邊長，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17．（13分）已知全集，集合，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)非空集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（13分）已知函數(shù)只能同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①最小正周期為；②最大值為2；③；④．（Ⅰ）請(qǐng)指出同時(shí)滿足的三個(gè)條件，并說明理由；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求的單調(diào)遞增區(qū)間．19．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；（Ⅲ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象重合，求實(shí)數(shù)的最小值．20．（15分）設(shè)函數(shù)，且（2）．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，寫出實(shí)數(shù)的取值范圍（不必證明）．21．（15分）“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有”．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，．（Ⅰ）求（2）的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)．（ⅰ）證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ⅱ）若對(duì)任意，，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：，，，0，1，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法和列舉法的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可．【解答】解：命題是全稱命題，則否定是特稱命題，即，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，全稱命題的否定是特稱命題是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．3．【分析】分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是否滿足即可．【解答】解：．是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，滿足條件．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．．當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件．．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4．【分析】判斷函數(shù)的連續(xù)性，由零點(diǎn)判定定理判斷求解即可．【解答】解：函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，（2），（3），（2）（3），由零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)的零點(diǎn)在．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)奇偶性的定義先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，然后利用，得到，再結(jié)合為偶函數(shù)即可得到答案．【解答】解：函數(shù)，所以，故函數(shù)為偶函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以，則，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及了函數(shù)奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得、、1的大小，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得與1的大小，從而可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)在上單調(diào)遞減得，根據(jù)在上單調(diào)遞減得，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)表格，結(jié)合函數(shù)定義域和值域的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由題意知（4），得（4）（3），故錯(cuò)誤，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，2，3，，故正確，錯(cuò)誤，在定義域上不單調(diào)，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域和值域的判斷，結(jié)合函數(shù)定義域和值域的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)題意，得到且，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行求解，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意，聲強(qiáng)級(jí)（單位：與聲強(qiáng)度（單位：之間的關(guān)系為，則有且，故，則，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，涉及了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行變形，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】舉例說明前面不能推后面，后面不能推前面，結(jié)合充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判定即可．【解答】解：取、，、均為第一象限角，且，但，、均為第一象限角，，取、，但，所以“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角不等式，以及充分條件、必要條件的判定，同時(shí)考查了學(xué)生邏輯推理的能力和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】利用函數(shù)，得到的值域，從而得到，然后迭加得到，根據(jù)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由的值域可得，，即，故，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)的最小值為507．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及了三角函數(shù)值域的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造絕對(duì)值相加的等式，屬于中檔題．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的定義域即可．【解答】解：由題意，得，解得，故函數(shù)的定義域是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次根式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)基本不等式可知，，進(jìn)而根據(jù)的值求得的最大值．【解答】解：因?yàn)?/span>，，且，所以由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故最大值為1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了考生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：一個(gè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得常數(shù)的一個(gè)取值．【解答】解：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，令，可得常數(shù)，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】直接利用不等式的性質(zhì)判定①②④的結(jié)論，直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定③的結(jié)論．【解答】解：由于，故，對(duì)于①：由于，，所以，，故，故①正確；對(duì)于②：當(dāng)，時(shí)，所以，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故③正確；④由于，所以，，整理得，所以，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】①，變形可得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的取值范圍，即可得答案；②，由三角形三邊關(guān)系可得（a）（b）（c）對(duì)于，，都恒成立，分三種情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論轉(zhuǎn)化為（a）（b）的最小值與（c）的最大值的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，變形可得，則，解得，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，②根據(jù)題意，，若（a），（b），（c）的值總可作為某一個(gè)三角形的三邊長，則（a）（b）（c）對(duì)于，，都恒成立，當(dāng)，，此時(shí)，（a）（b）（c），構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的三邊長，滿足條件．當(dāng)，在上是減函數(shù)，則有（a），同理（b），（c），由（a）（b）（c），可得，解得．當(dāng)，在上是增函數(shù)，（a），同理（b），（c），由（a）（b）（c），可得，解得，則，綜上，的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)單調(diào)性的判斷以及值域的計(jì)算，屬于難題．三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17．【分析】（Ⅰ）求出集合，，進(jìn)而求出，由此能求出．（Ⅱ）由非空集合，，，列出不等式組，能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）全集，集合，．或，．（Ⅱ）非空集合，，，或，解得或．實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集、補(bǔ)集、實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查交集、補(bǔ)集、子集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）若函數(shù)滿足條件③，則由，推出與，矛盾，可得函數(shù)不能滿足條件③；（Ⅱ）由條件①，利用周期公式可求，由條件②，可得，由條件④，可得，結(jié)合范圍，可求，可得函數(shù)解析式；（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函數(shù)滿足條件③，則，這與，矛盾，故函數(shù)不能滿足條件③，所以函數(shù)只能滿足條件①，②，④，（Ⅱ）由條件①，可得，又因?yàn)?/span>，可得，由條件②，可得，由條件④，可得，又因?yàn)?/span>，所以，所以；（Ⅲ）由，，可得：，，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出結(jié)果；（Ⅱ）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值；（Ⅲ）利用函數(shù)的圖象的平移變換的應(yīng)用和函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)．所以．（Ⅱ）由于，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（Ⅲ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象重合，故，解得，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)的解析式可得（2），解可得的值，即可得答案，（Ⅱ）根據(jù)題意，利用作差法分析可得結(jié)論，（Ⅲ）原問題等價(jià)于的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)的解析式分析的單調(diào)區(qū)間，分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，函數(shù)，若（2）．則（2），解可得，故；（Ⅱ）在區(qū)間上的單調(diào)性為增函數(shù)，證明：設(shè)，則，又由，則，，則有，故，故在區(qū)間上的單調(diào)性為增函數(shù)，（Ⅲ）由（Ⅰ）的結(jié)論，，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于難題．21．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件，計(jì)算可得所求和；（Ⅱ）（ⅰ）計(jì)算，由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件即可得證；（ⅱ）求得的值域，記函數(shù)，，的值域?yàn)?/span>．再由二次函數(shù)的最值求法和恒成立思想，即可得到所求范圍．【解答】解：（Ⅰ）由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，則（2）；（Ⅱ）（ⅰ）證明：，，，，，．即對(duì)任意的，，，都有成立．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（ⅱ），易知在，上單調(diào)遞增，在，時(shí)的值域?yàn)?/span>，．記函數(shù)，，的值域?yàn)?/span>．若對(duì)任意的，，總存在，，使得成立，則，．，時(shí)，，（1），即函數(shù)的圖象過對(duì)稱中心．（1）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增．由對(duì)稱性知，在上單調(diào)遞增．函數(shù)在上單調(diào)遞增．易知．又（2），（2），則，．由，，得，解得．（2）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．由對(duì)稱性，知在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．結(jié)合對(duì)稱性，知（2），或，．，，．又（2），（2）．易知．又，，．當(dāng)時(shí)，，成立．（3）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減．由對(duì)稱性，知在上單調(diào)遞減．函數(shù)在上單調(diào)遞減．易知．又（2），（2），則，．由，，得．解得．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的運(yùn)用，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力、推理能力，屬于難題．

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