2021北京東城高一（上）期末數(shù)    學(xué)本試卷共4頁，滿分100分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題  共40分）一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1. 已知集合，集合，那么（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則值為（    ）A.  B. C.  D. 3. 若扇形的半徑為1，周長為，則該扇形的圓心角為（    ）A.  B.  C.  D. 4. 下列命題為真命題的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，，則 D. 若，，則5. 已知，則（    ）A.  B. C.  D. 6. 若函數(shù)是上的減函數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 7. 已知，，，則（    ）A.  B. C.  D. 8. “”是“”成立的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件9. 如圖所示，單位圓上一定點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．若單位圓從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正向滾動(dòng)一周，則點(diǎn)形成的軌跡為（ ）A. B.
 C. D.
 10. 已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①，是奇函數(shù)；    ②，不是奇函數(shù)；③，方程有實(shí)根；    ④，方程有實(shí)根．其中，所有正確結(jié)論的序號是（    ）A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ②③④第二部分（非選擇題  共60分）二、填空題：共5小題，每小題4分，共20分.11. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>________．12. 已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，若，則____.(用“”“”“”填空）13. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊與單位圓交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則=____．保持角始邊位置不變，將其終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，則＝____．14. 已知偶函數(shù)，寫出一組使得恒成立的的取值：____，____．15. 某地原有一座外形近似為長方體且底面面積為150平方米的蓄水池，受地形所限，底面長和寬都不超過18米．現(xiàn)將該蓄水池在原有占地面積和高度不變的條件下，重建為兩個(gè)相連的小蓄水池， 其底面由兩個(gè)長方形組成（如圖所示）.若池壁的重建價(jià)格為每平方米300元，池底重建價(jià)格每平方米80元，那么要使重建價(jià)最低，蓄水池的長和寬分別為____，____．三、解答題：共5小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16. 設(shè)全集，集合，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求； （Ⅱ）若，求取值范圍．17. 已知函數(shù) （Ⅰ）求值并直接寫出的零點(diǎn)；（Ⅱ）用定義證明在區(qū)間上減函數(shù).18. 已知函數(shù)其中．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求：（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在區(qū)間的最大值和最小值．條件①：函數(shù)最小正周期為；條件②：函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；條件③： 函數(shù)圖象關(guān)于對稱．19. 已知函數(shù)是奇函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的單調(diào)性；（只需寫出結(jié)論）（Ⅲ）若不等式恒成立，求的取值范圍．20. 中國茶文化博大精深.小明在茶藝選修課中了解到，不同類型的茶葉由于在水中溶解性的差別，達(dá)到最佳口感的水溫不同．為了方便控制水溫，小明聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過時(shí)間（單位：分）后物體溫度將滿足： ，其中為正的常數(shù)．小明與同學(xué)一起通過多次測量求平均值的方法得到初始溫度為的水在室溫中溫度下降到相應(yīng)溫度所需時(shí)間如下表所示：從下降到所用時(shí)間1分58秒從下降到所用時(shí)間3分24秒從下降到所用時(shí)間4分57秒（I）請依照牛頓冷卻模型寫出冷卻時(shí)間（單位：分）關(guān)于冷卻后水溫（單位：）的函數(shù)關(guān)系，并選取一組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的值．（精確到0.01） （II）“碧螺春”用左右的水沖泡可使茶湯清澈明亮，口感最佳.在（I）的條件下，水煮沸后在 室溫下為獲得最佳口感大約冷卻    分鐘左右沖泡，請?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選擇一個(gè)最接近的時(shí)間填在橫線上，并說明理由．A.　　  B.          C.    （參考數(shù)據(jù)： ， ，，，）
參考答案一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1. 已知集合，集合，那么（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求得集合，集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，所以.故選：A.2. 已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可知，然后根據(jù)時(shí)的解析式可求解出的值，則的值可求.【詳解】因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，又因?yàn)?/span>，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用奇偶性的定義將計(jì)算的值轉(zhuǎn)化為計(jì)算的值，從而根據(jù)已知條件完成求解.3. 若扇形的半徑為1，周長為，則該扇形的圓心角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件先求解出扇形的弧長，然后根據(jù)扇形的弧長公式求解出扇形的圓心角.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，因?yàn)?/span>，所以，所以，故選：C.4. 下列命題為真命題的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，，則 D. 若，，則【答案】D【解析】分析】采用舉例的方法判斷A；根據(jù)的情況判斷B；根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷CD，由此確定出真命題.【詳解】A．取，此時(shí)，，故為假命題；B．當(dāng)時(shí)，，故為假命題；C．因?yàn)?/span>，所以，所以，故為假命題；D．因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，故為真命題，故選：D.5. 已知，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】弦化切后，代入可求得結(jié)果.【詳解】。故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將分母的1化為是解題關(guān)鍵.6. 若函數(shù)是上的減函數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，以及題中條件，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，，A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，即B不一定成立；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，即B不一定成立；C選項(xiàng)，時(shí)，，則，所以C不成立；D選項(xiàng)，，則；所以，即D一定成立.故選：D.7. 已知，，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的換底公式，化簡得到，，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由對數(shù)的運(yùn)算公式，可得，，又由，所以，即.故選：C.8. “”是“”成立的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由題意分別考查充分性和必要性即可求得最終結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，一定有，即必要性滿足；當(dāng)時(shí)，其正切值不存在，所以不滿足充分性；所以“”是“”成立的必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題主要考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷，正確解題的關(guān)鍵是要注意正切值不存在的情況.9. 如圖所示，單位圓上一定點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．若單位圓從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正向滾動(dòng)一周，則點(diǎn)形成的軌跡為（ ）A.
 B.
 C.
 D.
 【答案】A【解析】【分析】分析當(dāng)單位圓向軸正向滾動(dòng)個(gè)單位長度時(shí)的縱坐標(biāo)，由此判斷出點(diǎn)形成的軌跡.【詳解】如圖所示，記為圓上的三個(gè)四等分圓周的點(diǎn)，由題意可知：圓是逆時(shí)針滾動(dòng)的，因?yàn)閳A的周長為，所以，且圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大值為，當(dāng)圓逆時(shí)針滾動(dòng)單位長度時(shí)，此時(shí)的相對位置互換，所以的縱坐標(biāo)為，排除BCD，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過特殊位置（向右滾動(dòng)個(gè)單位長度）分析對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，通過排除法判斷出軌跡.10. 已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①，是奇函數(shù)；    ②，不是奇函數(shù)；③，方程有實(shí)根；    ④，方程有實(shí)根．其中，所有正確結(jié)論的序號是（    ）A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ②③④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性判斷①②，由時(shí)方程有實(shí)根判斷③④.【詳解】的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則，是奇函數(shù)，故①正確，②錯(cuò)誤；，則，要使得該方程有解，即所以，方程有實(shí)根，故③錯(cuò)誤，④正確故選：B第二部分（非選擇題  共60分）二、填空題：共5小題，每小題4分，共20分.11. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>________．【答案】【解析】【分析】解不等式組可得答案.【詳解】由函數(shù)有意義得，解得且.所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域的方法：1、有分式時(shí)：分母不為0；2、有根號時(shí)：開奇次方，根號下任意實(shí)數(shù)，開偶次方，根號下大于或等于0；3、有指數(shù)時(shí)：當(dāng)指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)一定不能為0；4、有根號與分式結(jié)合時(shí)，根號開偶次方在分母上時(shí)：根號下大于0；5、有指數(shù)函數(shù)形式時(shí)：底數(shù)和指數(shù)都含有，指數(shù)底數(shù)大于0且不等于1；6、有對數(shù)函數(shù)形式時(shí)，自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時(shí)，只需滿足真數(shù)上所有式子大于0，自變量同時(shí)出現(xiàn)在底數(shù)和真數(shù)上時(shí)，要同時(shí)滿足真數(shù)大于0，底數(shù)要大0且不等于1.12. 已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，若，則____.(用“”“”“”填空）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)且，結(jié)合題中條件，確定，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>是指數(shù)函數(shù)，所以可設(shè)且，又，所以，則，即函數(shù)是減函數(shù)，所以.故答案為：.13. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊與單位圓交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則=____．保持角始邊位置不變，將其終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，則＝____．【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得，由平方和得，由題意有根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可.【詳解】解：因?yàn)榻?/span>的終邊與單位圓交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)所以由任意角三角函數(shù)定義可得， 所以所以，由題意可得，故答案為：；【點(diǎn)睛】任意角的三角函數(shù)值：（1）角與單位圓交點(diǎn)，則；（2）角終邊任意一點(diǎn)，則.14. 已知偶函數(shù)，寫出一組使得恒成立的的取值：____，____．【答案】    (1).     (2). （答案不唯一）【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，求得，在由恒成立，得出，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，即，即，可得，所以，又由恒成立，即，即.故答案：，（答案不唯一）15. 某地原有一座外形近似為長方體且底面面積為150平方米的蓄水池，受地形所限，底面長和寬都不超過18米．現(xiàn)將該蓄水池在原有占地面積和高度不變的條件下，重建為兩個(gè)相連的小蓄水池， 其底面由兩個(gè)長方形組成（如圖所示）.若池壁的重建價(jià)格為每平方米300元，池底重建價(jià)格每平方米80元，那么要使重建價(jià)最低，蓄水池的長和寬分別為____，____．【答案】    (1). 15    (2). 10【解析】【分析】設(shè)原蓄水池的長、寬、高分別為a，b，h，重建價(jià)格為y，根據(jù)題意有，且，，利用基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)原蓄水池的長、寬、高分別為a，b，h，重建價(jià)格為y，根據(jù)題意有，且，則重建的池壁造價(jià)為，重建的池底造價(jià)為，，當(dāng)，即，時(shí)取得最小值，此時(shí)，.故答案為：15，10.三、解答題：共5小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16. 設(shè)全集，集合，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求； （Ⅱ）若，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）或，或；（Ⅱ）.【解析】分析】（Ⅰ）先求得集合，，結(jié)合并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）知或，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，集合，當(dāng)時(shí)，集合，所以或，或.   （Ⅱ）由（Ⅰ）知或，當(dāng)時(shí)，，若，則有解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，滿足；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17. 已知函數(shù) （Ⅰ）求的值并直接寫出的零點(diǎn)；（Ⅱ）用定義證明在區(qū)間上為減函數(shù).【答案】（Ⅰ）0，零點(diǎn)為和；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)解析式可求得，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可求得函數(shù)的零點(diǎn)；（Ⅱ）根據(jù)減函數(shù)的定義，按照取值、作差、變形、判號、下結(jié)論這五個(gè)步驟可證結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以．當(dāng)時(shí)，由解得；當(dāng)時(shí)，由解得，所以的零點(diǎn)為和． （Ⅱ），且，則，由， 得，，所以，即，所以在區(qū)間上為減函數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟是解題關(guān)鍵.18. 已知函數(shù)其中．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求：（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在區(qū)間的最大值和最小值．條件①：函數(shù)最小正周期為；條件②：函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；條件③： 函數(shù)圖象關(guān)于對稱．【答案】答案見解析.【解析】【分析】若選擇條件①②，（Ⅰ）根據(jù)最小正周期求出，根據(jù)對稱中心求出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)圖象可求得結(jié)果.若選擇條件①③，（Ⅰ）根據(jù)最小正周期求出，根據(jù)對稱軸求出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可求得結(jié)果.若選擇②③，不能確定函數(shù)最小正周期，無法確定，所以無法確定函數(shù)解析式．【詳解】若選擇條件①②，（Ⅰ）由函數(shù)最小正周期，得因?yàn)?/span>圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以，，所以，，又已知，故．因此．，解得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為． （Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以．當(dāng)，即時(shí)，取得最大值； 當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．  若選擇條件①③，（Ⅰ）由函數(shù)最小正周期，得.又函數(shù)圖象關(guān)于對稱，所以有，所以，，即，，又已知，故．因此．，解得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為． （Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以．當(dāng)，即時(shí)，取得最大值； 當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．若選擇②③，不能確定函數(shù)最小正周期，無法確定，所以無法確定函數(shù)解析式．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.19. 已知函數(shù)是奇函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的單調(diào)性；（只需寫出結(jié)論）（Ⅲ）若不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函數(shù)；（Ⅲ）.【解析】【分析】（I）根據(jù)題意可知，即可列出等式求解a；（Ⅱ）的值隨著x的值增大而增大，故函數(shù)為增函數(shù)；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性可將不等式轉(zhuǎn)化為，再由函數(shù)的單調(diào)性可得恒成立，則，即可得解.【詳解】（I）因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)即，函數(shù)為奇函數(shù).（Ⅱ）為增函數(shù)（Ⅲ）不等式恒成立，即恒成立，因?yàn)?/span>在定義域上是奇函數(shù)，所以，又為增函數(shù)，所以恒成立，由恒成立，有△，解得，所以，的取值范圍是．20. 中國茶文化博大精深.小明在茶藝選修課中了解到，不同類型的茶葉由于在水中溶解性的差別，達(dá)到最佳口感的水溫不同．為了方便控制水溫，小明聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過時(shí)間（單位：分）后物體溫度將滿足： ，其中為正的常數(shù)．小明與同學(xué)一起通過多次測量求平均值的方法得到初始溫度為的水在室溫中溫度下降到相應(yīng)溫度所需時(shí)間如下表所示：從下降到所用時(shí)間1分58秒從下降到所用時(shí)間3分24秒從下降到所用時(shí)間4分57秒（I）請依照牛頓冷卻模型寫出冷卻時(shí)間（單位：分）關(guān)于冷卻后水溫（單位：）的函數(shù)關(guān)系，并選取一組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的值．（精確到0.01） （II）“碧螺春”用左右的水沖泡可使茶湯清澈明亮，口感最佳.在（I）的條件下，水煮沸后在 室溫下為獲得最佳口感大約冷卻    分鐘左右沖泡，請?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選擇一個(gè)最接近的時(shí)間填在橫線上，并說明理由．A.　　  B.          C.    （參考數(shù)據(jù)： ， ，，，）【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）B，理由見解析.【解析】【分析】（I）先由題中條件，得到，化為，從題中所給數(shù)表中選取一組數(shù)據(jù)，計(jì)算值，即可得出結(jié)果；（II）由（I）中，計(jì)算“碧螺春”口感最佳所需時(shí)間，即可得出結(jié)果.【詳解】（I）由得，即，． 在環(huán)境溫度為，選取從下降到所用時(shí)間約為分鐘這組數(shù)據(jù)有，即；選取從下降到所用時(shí)間約為分鐘這組數(shù)據(jù)有，即；選取從下降到所用時(shí)間約為分鐘這組數(shù)據(jù)有，即故 （II）水煮沸后在室溫下大約冷卻7分鐘左右沖泡口感最佳，故選擇B． 理由如下：由（I）得，當(dāng)時(shí)，有．所以水煮沸后在室溫下大約冷卻分鐘沖泡“碧螺春”口感最佳.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解給定函數(shù)模型的問題時(shí)，一般根據(jù)題中所給條件，直接列出等量關(guān)系，進(jìn)行求解即可；解決此類題目要求學(xué)生要具備較強(qiáng)的理解和分析問題的能力，以及較強(qiáng)的計(jì)算能力.

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