2021屆北京市第二中學(xué)高三10月考數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合，則（    ）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤3}【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法化簡集合B,再利用交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以{0，1，2}，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合交集的運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示即可得出．【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間(0，2)遞增的函數(shù)為（    ）A． B．f(x)= ln|x|C．f(x)=sinx D．【答案】A【解析】分別利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)判斷四個選項中函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可得結(jié)果.【詳解】是奇函數(shù)且在區(qū)間(0，2)上遞增，符合題意；f(x)= ln|x|是偶函數(shù)，不符合題意；f(x)=sinx奇函數(shù)且在區(qū)間(0，2)上有增有減，不符合題意；在區(qū)間(0，2)上遞減，不符合題意，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4．若（    ）A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】由已知，，，故，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．直線與曲線y=lnx相切，則實(shí)數(shù)k=（    ）A． B．1 C．2 D．不存在【答案】B【解析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)切點(diǎn)在切線上，列出關(guān)于和的方程組，求解即可求得的值．【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線，，，①又切點(diǎn)在切線上，，②由①②，解得，實(shí)數(shù)的值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．屬于基礎(chǔ)題．6．若實(shí)數(shù)，滿足，，則“”是“”的　　（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，據(jù)，的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定充分條件，還是必要條件即可．【詳解】設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，，所以，即，故充分性成立，因為，所以，，故必要性成立，故“”是“”的充要條件，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查了構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．設(shè)函數(shù)，若，則　　A．1 B． C． D．【答案】D【解析】直接利用分段函數(shù)以及函數(shù)的零點(diǎn)，求解即可．【詳解】函數(shù)，若，可得，若，即，可得，解得．若，即，可得，解得（舍去）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應(yīng)用．8．數(shù)列中，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．數(shù)列的通項公式為 B．數(shù)列為等比數(shù)列C．數(shù)列為等比數(shù)列 D．數(shù)列為等差數(shù)列【答案】C【解析】由已知可得，從而可得數(shù)列是以2為公比，為首項的等比數(shù)列，進(jìn)而可進(jìn)行判斷【詳解】解：因為所以，所以數(shù)列是以2為公比，為首項的等比數(shù)列，所以C正確，D錯誤；所以，所以，所以A錯誤，所以不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，所以B錯誤，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列的判斷，考查對數(shù)的運(yùn)算，考查推理能力，屬于中檔題9．正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E?F?G滿足，則下列各式中值最大的為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】以為原點(diǎn)，AB，AD為x，y軸建立坐標(biāo)系，分別求出，，，的值，從而可得結(jié)論.【詳解】因為，所以分別是的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，AB，AD為x，y軸，建立坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，即最大，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10．在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L，記作）和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L，記作）的乘積等于常數(shù)．已知pH值的定義為，健康人體血液的pH值保持在7．35～7．45之間，那么健康人體血液中的可以為（參考數(shù)據(jù)： ， ）（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)有，又 ，所以，所以．又，只有在范圍之中，故選C．點(diǎn)睛：利用之間的關(guān)系把轉(zhuǎn)化為，再利用指對數(shù)的關(guān)系求出，從而得到的范圍，依次檢驗各值是否在這個范圍中即可．  二、填空題11．命題的否定形式為_______.【答案】【解析】根據(jù)全稱命題“”的否定為特稱命題“”即可得結(jié)果.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，否定全稱命題時，一是要將全稱量詞改寫為存在量詞，二是否定結(jié)論，所以，命題的否定為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱命題的否定，屬于簡單題.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞、存在量詞改寫為全稱量詞;二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.12．已知x>0，y>0，且，則的最小值為_______.【答案】【解析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值，再由基本不等式計算即可得答案．【詳解】由題意，得：，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．13．若函數(shù)在區(qū)間(-2，-1)內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______.【答案】【解析】先求出，再利用在有部分圖象在軸下方可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，因為在上存在單調(diào)區(qū)間，故在有部分圖象在軸下方.若即時，則即，故.若即時，則即，無解.若，則即，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，不是在給定的區(qū)間上有解，而是在給定的區(qū)間上有部分圖象在軸下方，本題屬于基礎(chǔ)題.14．已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②；③在，上的表達(dá)式為，則函數(shù)與的圖象在區(qū)間，上的交點(diǎn)的個數(shù)為_______.【答案】6【解析】先根據(jù)①②知函數(shù)的對稱中心和對稱軸，再分別畫出和的部分圖象，由圖象觀察交點(diǎn)的個數(shù)．【詳解】①，②，圖象的對稱中心為，圖象的對稱軸為，結(jié)合③畫出和的部分圖象，如圖所示，由圖可知與的圖象在，上有6個交點(diǎn)．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題借助分段函數(shù)考查函數(shù)的對稱性以及函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)等問題，考查作圖能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題． 三、雙空題15．已知向量且，則向量與的夾角大小為___.的值為_______.【答案】        【解析】求出，結(jié)合可求出向量夾角余弦，從而可得夾角，利用可得結(jié)果.【詳解】又，，，因為所以與的夾角大小為，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積求夾角，利用數(shù)量積求向量的模，考查了數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 四、解答題16．已知橢圓C : , 經(jīng)過點(diǎn)P，離心率是．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)，求證：直線l恒過定點(diǎn)．【答案】（1）； （2）詳見解析；【解析】【詳解】試題分析：（1）由橢圓過點(diǎn)P 得，由離心率是得,另外結(jié)合列方程組即可確定 的值從而得到橢圓C的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為 ，或，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個變量，得到關(guān)于 或的一元二次方程，結(jié)合一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理以及平面向量的數(shù)量積確定的關(guān)系，從而找出定點(diǎn)坐標(biāo)．注意不論直線的方程設(shè)為哪一種形式都要先考察它與坐標(biāo)軸平行的特殊情況．試題解析：解：（1）由，解得 ，所以橢圓C的方程是 ． ． 5分（2）方法一（1）由題意可知，直線的斜率為0時，不合題意．（2)不妨設(shè)直線的方程為 ．由 消去得． 7分設(shè)，，則有 ①, ② 8分因為以為直徑的圓過點(diǎn)，所以．由，得．將代入上式，得． ③ 12分將①②代入③，得 ，解得或（舍）．綜上，直線經(jīng)過定點(diǎn) 14分方法二證明：（1）當(dāng)不存在時，易得此直線恒過點(diǎn)． 7分（2）當(dāng)存在時．設(shè)直線，，，．由，可得． ① ．② 9分由題意可知,可得 ． 10分 整理得 ③把①②代入③整理得 由題意可知 解得 （1）當(dāng)，直線過定點(diǎn)（2,0）不符合題意，舍掉． 12分（2），即，直線過定點(diǎn)，經(jīng)檢驗符合題意．綜上所述，直線過定點(diǎn) 14分【考點(diǎn)】1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合問題．17．已知函數(shù)，共中.（1）求的單調(diào)區(qū)間;（2）是否存在，使得對任意恒成立？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由【答案】（1）當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的增區(qū)間，減區(qū)間為.（2）不存在.理由見解析.【解析】（1）求出，再就、分類討論導(dǎo)數(shù)的符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）令，就、分類討論，前者可利用來判斷的存在性，后者利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來處理.【詳解】（1），若，則，故在為增函數(shù).若，當(dāng)，；當(dāng)時，，所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的增區(qū)間，減區(qū)間為.（2）即為，令，則，當(dāng)時，，故在不恒成立.若，則，故在上為增函數(shù)，又，由零點(diǎn)存在定理可知存在，使得，所以在不恒成立.故不存在整數(shù)，使得對任意恒成立.【點(diǎn)睛】本考查函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的恒成立問題，前者利用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷，后者應(yīng)構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論新函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性等，必要時可結(jié)合零點(diǎn)存在定理來說明不等式的不成立，本題屬于較難題.18．已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，.（Ⅰ）當(dāng)和時，分別寫出數(shù)列的前5項；（Ⅱ）證明：當(dāng)時，存在正整數(shù)，使得；（Ⅲ）當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)及正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和？若存在，求出實(shí)數(shù)及正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見解析【解析】（I）利用遞推公式，依次計算出的值.（II）當(dāng)時，，此時數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，且公差為，故總有一項是不大于的.根據(jù)這一項在之間討論，結(jié)合數(shù)列的遞推公式，判斷出正整數(shù)存在.（III）將分成三類，求得的表達(dá)式，由此判斷出不存在實(shí)數(shù)正整數(shù)，使得.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，； 當(dāng)時，. （Ⅱ）當(dāng)時，. 所以，在數(shù)列中直到第一個小于等于的項出現(xiàn)之前，數(shù)列是以為首項，為公差的遞減的等差數(shù)列. 即. 所以，當(dāng)足夠大時，總可以找到，使. （1）若，令，則存在正整數(shù)，使得. （2）若，因為，則，令，則存在正整數(shù)，使得.綜述所述，則存在正整數(shù)，使得. （Ⅲ）①當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，（），令，，而此時為奇數(shù)，所以不成立；又不成立，所以不存在正整數(shù)，使得.②當(dāng)時，……所以數(shù)列的周期是4，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，.所以（）. 所以或者是偶數(shù)，或者不是整數(shù)，即不存在正整數(shù)，使得. ③當(dāng)時，（），不存在正整數(shù)，使得. 綜述所述，不存在實(shí)數(shù)正整數(shù)，使得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用遞推公式求數(shù)列的通項，考查遞推數(shù)列求和，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于較難的題目. 

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