一、選擇題：本大題共8小題， 每小題6分，共48分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：，，通過數(shù)軸表示可知，兩個集合的公共部分為，即，故選C
考點：集合的運算.
2. 在四個函數(shù)①、②、③、④中，在區(qū)間的平均變化率最大的是（ ）
A. ④B. ③C. ②D. ①
【答案】B
【解析】
【分析】分析求出四個函數(shù)的平均變化率，然后比較即可
【詳解】解：對于①，，對于②，，
對于③，，對于④，，
所以區(qū)間的平均變化率最大，
故選：B
3. “”是“直線與垂直”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：兩直線垂直，所以，所以是充分不必要條件.
考點：充要條件.
4. 已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前項和取最小值時，的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由求出的范圍，即可得解
【詳解】解：令，則，解得，
因為
所以當時，，當時，，
所以數(shù)列的前項和取最小值時，，
故選：B
5. 已知函數(shù)，那么下列結(jié)論正確的是
A. 在上是增函數(shù)B. 在上是減函數(shù)
C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：：∵函數(shù)∴f′（x）=csx-；
令f′（x）=0，得x=；∴x∈[0，]時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
x∈[，π]時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；∴f（x）在x=時有極大值，也是最大值f（）．
∴選項A、B、C錯誤，D正確．
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
6. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，當，若直線與函數(shù)的圖像在內(nèi)恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)的值是
A. 0B. 0或C. 或D. 0或
【答案】D
【解析】
【詳解】分析：先根據(jù)條件得函數(shù)周期，結(jié)合奇偶性畫函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像確定滿足條件實數(shù)的值.
詳解：因為，所以周期為2，作圖如下：
由圖知，直線與函數(shù)圖像在內(nèi)恰有兩個不同的公共點時直線 點A(1,1)或與相切，即或
選D.
點睛：
對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．
7. 已知全集，集合是集合的恰有兩個元素的子集，且滿足下列三個條件：
①若，則；
②若，則；
③若，則
則集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將集合的恰有兩個元素的子集的集合全部列出，再檢驗是否滿足①②③即可求解.
【詳解】因為全集，集合是集合的恰有兩個元素的子集，
則集合可能為
，不滿足②；
，不滿足①；
，不滿足①；
，滿足①②③；
，不滿足②；
，不滿足③；
所以，
故選：C.
8. 若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】當時， ，故函數(shù)在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，且過原點，最小值為；當時，若a0,此時圖像是開口向上的二次函數(shù)圖像，最小值在對稱軸處取得，故最小值為
故答案為D．
點睛：這是分段函數(shù)的值域問題，先確定沒有未知量的一支的圖像和單調(diào)性，從而得到函數(shù)的值域，再解決含參數(shù)的一支的值域問題．分段函數(shù)的值域一般是兩段的值域的并集；二次函數(shù)的值域問題和函數(shù)的對稱軸有密切關(guān)系，研究軸處的函數(shù)值，就是函數(shù)的最值．
二、填空題：本大題共6小題， 每小題6分，共36分. 把答案填在題中橫線上.
9. 設(shè)拋物線的焦點為，為其上的一點，為坐標原點，若，則的面積為 _____.
【答案】
【解析】
【分析】求出拋物線的焦點坐標，然后求出點的會標，即可求出三角形的面積
【詳解】解：拋物線的焦點為，
因為為其上的一點，為坐標原點，，
所以點的橫坐標為，
所以當時，，得，
所以的面積為，
故答案為：
10. 已知函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，求出函數(shù)的周期，進而推出的值.
【詳解】，
又的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，
故函數(shù)的周期，
所以，
故答案為：.
11. 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為_____
【答案】
【解析】
【分析】由，，列方程組求解即可
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，得，
由，得，
因為，所以，解得，或（舍去），或（舍去），
所以，得，
故答案為：
12. 已知角頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點．若角滿足，且為第二象限角，則的值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用三角函數(shù)的定義計算、的值，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系計算
的值，由兩角差的余弦公式計算即可求解.
【詳解】點到原點的距離，
由三角函數(shù)的定義可得：， ，
因為，且為第二象限角，
所以，
所以
，
故答案為：.
13. 已知雙曲線：的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于交、兩點，若，則的離心率為__________．
【答案】
【解析】
【詳解】如圖所示，
由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為θ，則tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
點睛：
求雙曲線的離心率的值（或范圍）時，可將條件中提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）．
14. 定義在上的函數(shù)滿足：①當時， ②.
（i） _____；
（ii）若函數(shù)的零點從小到大依次記為，則當時，_______.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（i）由于，可得，根據(jù)解析式求出，代入可得；
（ii）在同一坐標系內(nèi)做出和的圖像，根據(jù)圖像得到的對稱關(guān)系，把轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列前n項和即可求解.
【詳解】（i）因為，所以，當時，，所以；
（ii）在同一坐標系內(nèi)做出和的圖像如圖所示：
當時，利用對稱性，依次有：，
……
所以
故答案為：3；
【點睛】已知函數(shù)有零點，求零點的和（積）的常用方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再直接求和（積）；
(2)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
三、解答題.本大題共4小題，共66分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cs B＝.
(1)求△ACD的面積；
(2)若BC＝，求AB的長．
【答案】(1) ；（2）4.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)二倍角公式求cs D，再根據(jù)平方關(guān)系求sin D，最后根據(jù)三角形面積公式求求△ACD的面積；（2）根據(jù)余弦定理求AC，再根據(jù)余弦定理求AB
試題解析：(1)因為∠D＝2∠B，cs B＝，
所以cs D＝cs 2B＝2cs2B－1＝－.
因為D∈(0，π)，
所以sin D＝＝.
因AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面積S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cs D＝12，
所以AC＝2.
因為BC＝2，＝，
所以＝＝＝＝，
所以AB＝4.
16. 已知數(shù)列{}的各項均不為0，其前項和為Sn，且滿足=，=．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求{}的通項公式；
（Ⅲ）若，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】
【詳解】試題分析：試題分析：（Ⅰ）因為 ，令得，即,，因為，所以；
（Ⅱ）因為 ， 所以，兩式相減，得到，因為，所以，所以都是公差為的等差數(shù)列，[對和，進行分類討論求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）數(shù)列的通項公式因為，
所以，對分為奇數(shù)和偶數(shù)進行分類討論求最值
試題解析：（Ⅰ）因為，所以，即，
因為，所以．
（Ⅱ）因為，所以，兩式相減，
得到，
因為，所以，
所以都是公差為的等差數(shù)列，
當時，,
當時，,
所以
（Ⅲ）當時，-
因為，
所以
所以當為奇數(shù)時，的最小值為，
當為偶數(shù)時，的最小值為，
所以當時，取得最小值為．
17. 已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是、，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點且斜率不為的直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用離心率為，可得，由橢圓短軸的端點是，，且，可得△是等腰直角三角形，由此可求橢圓的方程；
（2）設(shè)線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合平分，則直線，的傾斜角互補，建立方程，即可求得結(jié)論．
詳解】解：（1）由，得．
依題意△是等腰直角三角形，從而，故．
所以橢圓的方程是．
（2）設(shè)，，，，直線的方程為．
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得．
所以，．
若平分，則直線，的傾斜角互補，所以．
設(shè)，則有．
將，代入上式，整理得，
所以．
將，代入上式，整理得.
由于上式對任意實數(shù)都成立，所以．
綜上，存在定點，使平分．
點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查存在性問題的探究，屬于中檔題．
18. 已知函數(shù)．
Ⅰ求證：1是函數(shù)的極值點；
Ⅱ設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：．
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)極值點的定義知道，要研究函數(shù)值左右兩側(cè)的函數(shù)值都比小即可；（2），轉(zhuǎn)化為求證這個函數(shù)的最小值大于-1即可，對這個函數(shù)再求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負，最終得到，對這個式子求最小值即可．
（1）的定義域為 ，
當時，，即；
當時，，即；
根據(jù)極值的定義， 1是的極值點.
（2）由題意可知，
，
令，
，故在上單調(diào)遞增.
又，又在上連續(xù)，
使得，即，
.（*）
隨x的變化情況如下：
.
由（*）式得，代入上式得
.
令，
，故在上單調(diào)遞減.
，又，.
即 .
點睛：本題是考查了函數(shù)的極值點的問題．一種方法是直接研究導(dǎo)函數(shù)的變號零點，還有就是直接按照極值點的概念，在極值點附近，函數(shù)值都比極值點處的函數(shù)值大或者?。€考查了函數(shù)的最值問題，直接構(gòu)造函數(shù)，使得函數(shù)的最小值大于零即可．
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