2020屆北京市西城區(qū)第四中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．的值為（   ）A．               B．             C．              D．【答案】C【解析】試題分析：因,故應(yīng)選C.【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式及運(yùn)用.2．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3+a4+a5＝12，則a1+a2+…+a7＝（    ）A．14 B．21 C．28 D．35【答案】C【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則； 故選：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用.3．設(shè)，則“”是“”的（  ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】 ，得 成立；若 ，得【詳解】若 ，得 成立；反之，若 ，得故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件，屬基礎(chǔ)題.易錯(cuò)點(diǎn)是“”推出“”.4．定義：，若復(fù)數(shù)z滿足，則z等于（    ）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i【答案】B【解析】根據(jù)定義得到，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：故選：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5．已知集合，則等于（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解絕對(duì)值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得。【詳解】集合解絕對(duì)值不等式,可得 集合解分式不等式,可得則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,絕對(duì)值不等式與分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題。6．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)的圖象關(guān)于（    ）A．原點(diǎn)對(duì)稱      B．x軸對(duì)稱        C．y軸對(duì)稱      D．直線y=x對(duì)稱【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，所以兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故選C。7．函數(shù)在點(diǎn)P（2，k）處的切線是（    ）A．x﹣2y＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣1＝0 D．2x﹣2y﹣3＝0【答案】C【解析】求導(dǎo)得到，當(dāng)時(shí)，，計(jì)算得到切線方程.【詳解】，當(dāng)時(shí)， 故切線方程為： 故選：【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的切線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，則（   ）A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】解：x∈（-∞，1）時(shí)，x-1＜0，由（x-1）?f'（x）＜0，知f'（x）＞0，所以（-∞，1）上f（x）是增函數(shù)．∵f（x）=f（2-x），∴f（3）=f（2-3）=f（-1）所以f（-1）＜（0）＜，因此c＜a＜b．故選B．9．已知是定義在上的周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)的周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，代入解析式可得出的值.【詳解】由于函數(shù)定義在上的周期為的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與周期性求值，對(duì)于自變量絕對(duì)值較大的函數(shù)值的求解，一般先利用周期性將自變量的絕對(duì)值變小，然后利用函數(shù)奇偶性求解，考查分析問題和運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10．設(shè)函數(shù)f（x）sin，若存在f（x）的極值點(diǎn)x0滿足x02+[f（x0）]2＜m2，則m的取值范圍是（    ）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C【解析】求導(dǎo)得到，計(jì)算得到，代入式子化簡(jiǎn)得到，取或時(shí)計(jì)算得到答案.【詳解】，則故當(dāng)或時(shí)得：或 故選：【點(diǎn)睛】本題考查了極值，存在性問題，意在考查學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用能力.  二、填空題11．函數(shù)f（x）的定義域是_____．【答案】（，0）∪（0，+∞）．【解析】根據(jù)定義域定義得到計(jì)算得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足： 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為                 .【答案】【解析】解析：依題意得y′=ex，因此曲線y=ex在點(diǎn)A（2，e2）處的切線的斜率等于e2，相應(yīng)的切線方程是y-e2=e2（x-2），當(dāng)x=0時(shí)，y=-e2即y=0時(shí)，x=1，∴切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為：13．已知等比數(shù)列的公比為2,前n項(xiàng)和為,則=______.【答案】 【解析】由等比數(shù)列的定義，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，得＋1＋q＋q2=.14．如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，則A，B兩點(diǎn)的距離為       m【答案】【解析】由正弦定理得 15．已知函數(shù)，且是函數(shù)的極值點(diǎn)。給出以下幾個(gè)命題：①；②；③；④其中正確的命題是__________．（填出所有正確命題的序號(hào)）【答案】①③．【解析】試題分析：的定義域?yàn)?/span>，，所以有，所以有即即，所以有；因?yàn)?/span>，所以有。【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用16．設(shè)函數(shù)f（x），①若a＝1，則f（x）的最小值為_____；②若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．【答案】﹣1    a＜1，或a≥2．    【解析】①分別計(jì)算和的最小值，比較得到答案.②設(shè)h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），討論有一個(gè)零點(diǎn)和沒有零點(diǎn)兩種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】①當(dāng)a＝1時(shí)，f（x），當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝2x﹣1為增函數(shù)，f（x）＞﹣1，當(dāng)x1時(shí)，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x）2﹣1，當(dāng)1＜x時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x時(shí)，f（x）min＝f（）＝﹣1，故最小值為②設(shè)h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1時(shí)，h（x）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以a＞0，并且當(dāng)x＝1時(shí)，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函數(shù)g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1，且a＜1，所以a＜1，若函數(shù)h（x）＝2x﹣a在x＜1時(shí)，與x軸沒有交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）與x軸無交點(diǎn)，g（x）無交點(diǎn)，所以不滿足題意（舍去），當(dāng)h（1）＝2﹣a≤0時(shí)，即a≥2時(shí)，g（x）的兩個(gè)交點(diǎn)滿足x1＝a，x2＝2a，滿足題意的綜上所述：a的取值范圍是a＜1，或a≥2．故答案為：-1；a＜1，或a≥2．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值和函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用. 三、解答題17．已知：{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4構(gòu)成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn＝log2a3n+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N（2）Tn＝（n2+n）【解析】（1）直接利用等比數(shù)列公式和等差中項(xiàng)公式計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算得到，直接利用等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】（1）{an}是公比q大于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，S3＝7，可得a1（1+q+q2）＝7，①a1+3，3a2，a3+4構(gòu)成等差數(shù)列，可得6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，②由①②可得a1＝1，q＝2，則an＝2n﹣1，n∈N；（2），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝3（1+2+…+n）＝3n（n+1）（n2+n）．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式的綜合應(yīng)用.18．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝.(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．【答案】（1）；（2）；（3）圖象見解析.【解析】解：（I）∵，∴．∵，∴．…………4分（II）．由得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．…………8分（Ⅲ）由知
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   故函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示．…………12分19．已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的極值.【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a無極大【解析】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a，又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值．20．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角對(duì)邊分別是，若 （1）當(dāng)求角的度數(shù)；（2）求面積的最大值。【答案】（1）（2）3.【解析】第一問利用正弦定理得到第二問中 得解：（1）。。。。。。。。。。。5分（2） 得所以面積的最大值為。。。。。。。。。。。。。12分21．某制藥廠準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行宣傳，在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷量Q（萬件）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q（x≥0）．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬元，若每件售價(jià)為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”與“后期再投入”）．（1）試將年利潤(rùn)w萬元表示為年廣告費(fèi)x萬元的函數(shù)，并判斷當(dāng)年廣告費(fèi)投入100萬元時(shí)，企業(yè)虧損還是盈利？（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？【答案】（1）w,企業(yè)虧損（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大【解析】（1）先計(jì)算售價(jià)為，再計(jì)算利潤(rùn)為，化簡(jiǎn)得到答案.（2）化簡(jiǎn)得到，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由題意，每件售價(jià)為150%50%，則 ，則當(dāng)x＝100時(shí)，w0，故企業(yè)虧損．（2） （當(dāng)且僅當(dāng)x＝7時(shí)等號(hào)成立）．故當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)和均值不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.22．已知：函數(shù)f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中a∈R．（1）若f（1）＝2，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）若a＝﹣1，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f（x1）+f（x2）＝0，證明：．【答案】（1）f（x）max＝2ln2+2（2）證明見解析【解析】（1）計(jì)算得到，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再計(jì)算最大值得到答案.（2）代入數(shù)據(jù)得到，得到，設(shè)得到函數(shù)的最小值得到不等式（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）∵f（1）＝2，∴﹣a+3＝2，∴a＝1，∴f（x）＝2lnx﹣x2+3x，∴f'（x）2x+3，由f'（x）＞0得，0＜x＜2，有f'（x）＜0得，x＞2，∴f（x）在（0，2）為增函數(shù)，在（2，+∞）為減函數(shù)，∴f（x）max＝f（2）＝2ln2+2；（2）證明：當(dāng)a＝﹣1，f（x）＝2lnx+x2+3x，∵f（x1）+f（x2）＝2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x2＝0，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）＝2（x1x2﹣lnx1x2），令h（t）＝t﹣lnt，∴h'（t）＝1，由h'（x）＞0得，t＞1，由h'（x）＜0得，0＜t＜1，∴h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴h（x）min＝h（1）＝1，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）﹣2≥0，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵. 

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