中關(guān)村中學(xué)2020-2021高二上學(xué)期期中第一部分 （選擇題共52分）一．選擇題共13小題，每小題4分，共52分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題意要求的一項(xiàng)1. 已知全集,集合,則（   ）A.  B.  C.  D. 2. 已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（    ）A. 是實(shí)數(shù) B. 是純虛數(shù) C. 是實(shí)數(shù) D. 是純虛數(shù)3. 已知向量，，且，那么等于（    ）A.  B.  C.  D. 54. ，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 5. 下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)滿足的是（    ）A.  B.  C.  D. 6. 在下列四個(gè)命題中，正確的是（    ）A. 平面直角坐標(biāo)系中任意一條直線均有傾斜角和斜率B. 四條直線中斜率最大的直線是C. 直線的斜率是2D. 經(jīng)過(guò)和的直線的斜率是1，則7. 如圖在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，則等于（    ）
 A. 1 B. 2 C. 3 D. 8. 如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，若直線與底面所成的角為，則三棱錐的體積等于（    ）．A.  B.  C.  D. 9. 已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（    ）A.  B.  C.  D. 10. 在空間中，已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則“直線與平面相交”是“”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件11. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則的面積的最小值為（    ）A.  B. C.  D. 12. 設(shè)空間直角坐標(biāo)系中有、、、四個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為、、、，下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 存在唯一的一個(gè)不過(guò)點(diǎn)、的平面，使得點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等B. 存在唯一的一個(gè)過(guò)點(diǎn)的平面，使得，C. 存在唯一的一個(gè)不過(guò)、、、的平面，使得，D. 存在唯一的一個(gè)過(guò)、點(diǎn)的平面使得直線與的夾角正弦值為13. 如圖矩形中，.點(diǎn)在邊上， 且，沿直線向上折起成．記二面角的平面角為，當(dāng)時(shí)，                                                  ①存在某個(gè)位置，使；②存在某個(gè)位置，使；③任意兩個(gè)位置，直線和直線所成的角都不相等. 以上三個(gè)結(jié)論中正確的序號(hào)是A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③二、填空題14. 直線的傾斜角是_________，在軸上的截距為_________.15. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線的方向向量為，則直線的斜率為_________.直線的方程為_________.16. 已知向量，，，且，則=_________，=_________.17. 已知平面的一個(gè)法向量是，且平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足的方程是_________.18. 函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則下列函數(shù)的結(jié)論：①一條對(duì)稱軸方程為；②點(diǎn)是對(duì)稱中心；③在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)；④函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.其中所有正確的結(jié)論為______.（寫出正確結(jié)論的序號(hào)）19. 已知.（1）________；（2）若實(shí)數(shù)，則在區(qū)間上的最大值的取值范圍是_______.三、解答題共5小題，共68分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.20. 在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．21. 已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的單調(diào)遞增區(qū)間22. 如圖，在直三棱柱中，，（1）求證：；（2）求直線和所成角的大?。?（3）求直線和平面所成角的大小.23. 如圖，三棱柱的側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形，面面，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離； （3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角為，若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.24. 已知，給定個(gè)整點(diǎn),其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí),從上面的個(gè)整點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的整點(diǎn)，求的所有可能值；（Ⅱ）從上面個(gè)整點(diǎn)中任取個(gè)不同的整點(diǎn)，.（i）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,；（ii）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足,.         1.答案】B【解析】分析：由全集及，求出補(bǔ)集，找出集合的補(bǔ)集與集合的交集即可.詳解：，集合，，又，故選B.點(diǎn)睛：研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性. 研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)是求滿足屬于集合或不屬于集合的元素的集合.2. 答案】B【解析】【分析】由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，所以由題意可得到復(fù)數(shù)，然后代入下面4個(gè)選項(xiàng)判斷.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以復(fù)數(shù)因?yàn)?/span>是純虛數(shù)，所以A不正確，B正確； 因?yàn)?/span>不是實(shí)數(shù)，也不是純虛數(shù)，所以C,D都不正確，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.3. 答案】B【解析】【分析】由，得【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，，且，所以，解得，所以，所以，故選：B4. 答案】B【解析】【分析】利用“分段法”確定正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以.由于，所以，，而，所以.故選：B【點(diǎn)睛】比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小，可以采用“分段法”，即將要比較的式子進(jìn)行分段確定，由此得出大小關(guān)系.5. 答案】C【解析】【分析】根據(jù)，判斷出選項(xiàng)中為奇函數(shù)的函數(shù)即可.【詳解】依題意，所以為奇函數(shù).對(duì)于A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>，不是奇函數(shù).對(duì)于B選項(xiàng)，，定義域?yàn)?/span>，且，所以為偶函數(shù)，不是奇函數(shù).對(duì)于C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>，且，所以為奇函數(shù)，符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>，不是奇函數(shù).故選：C6. 答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，斜率不存在；對(duì)于B，傾斜角為鈍角，其斜率是負(fù)的；對(duì)于C，直線的斜率為，對(duì)于D，由斜率公式求解即可【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，斜率不存在，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線傾斜角為鈍角，其斜率是負(fù)的，而的傾斜角是銳角，其斜率為正數(shù)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，所以直線斜率為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榻?jīng)過(guò)和的直線的斜率是1，所以，解得，所以D正確，故選：D7. 答案】A【解析】【分析】利用向量加法化簡(jiǎn)，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確結(jié)果.【詳解】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，，所以.故選：A8. 答案】D【解析】【分析】由題意可證平面，所以為直線與底面所成的角，所以，可求得體積．【詳解】∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，，兩兩垂直，∴平面，∴為直線與底面所成的角，由題意可知，，∴，∴三棱錐的體積．故選．【點(diǎn)睛】本題綜合考查線面垂直，線面角和三棱錐體積．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．9. 答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)，由此求得，進(jìn)而求得的虛部.【詳解】，所以，則的虛部為.故選：A10. 答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系、空間向量數(shù)量積的知識(shí)，對(duì)充分、必要條件進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)“直線與平面相交”時(shí)，直線的方向向量與平面的法向量為不垂直 ，則“”.當(dāng)“”時(shí)，直線的方向向量與平面的法向量為不垂直，則“直線與平面相交”.所以“直線與平面相交”是“”的充分必要條件.故選：C11. 答案】D【解析】【分析】判斷出軌跡，求得到的最小距離，由此求得三角形面積的最小值.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，與相交于，連接，如圖所示.根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，，所以，所以，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，而，所以平面，所以，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以平面，所以.由于，所以平面，所以的軌跡為（滿足）.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，的最小值為.三角形中，，，解得.所以的面積的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】線線垂直、線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化.求三角形面積的最值，如果三角形一邊固定，則該邊對(duì)應(yīng)的高取最值時(shí)三角形的面積取得最值.12.答案】B【解析】【分析】由平面或平面過(guò)線段的中點(diǎn)可判斷A選項(xiàng)的正誤；推導(dǎo)出以及、、、四點(diǎn)不共面，利用點(diǎn)且與垂直的平面有且只有一個(gè)以及可判斷B選項(xiàng)的正誤；在、的公垂線上的點(diǎn)作的垂面滿足題意，可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)平面的法向量為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，判斷方程組解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)平面或平面過(guò)線段中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，，，，設(shè)，則，該方程組無(wú)解，所以，、、、四點(diǎn)不共面，則與異面，而過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面有且只有一個(gè)，若，由于，則與共面，矛盾，所以，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于、異面，設(shè)為、的公垂線段，且，，在直線（異于、）的任意一點(diǎn)作平面，使得，則，，這樣的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由題意可得，，所以，，整理得，，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，所以，存在兩個(gè)過(guò)、點(diǎn)的平面使得直線與的夾角正弦值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.13. 答案】C【解析】【詳解】對(duì)于①，當(dāng)平面面時(shí)，平面面面，故①正確；對(duì)于②，若存在某個(gè)位置，使，面與為銳角相矛盾，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，是定直線，二面角的平面角變化時(shí)，是動(dòng)直線，所以任意兩個(gè)位置直線和直線所成的角都不相等.③正確，故選：C. 【 方法點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)對(duì)多個(gè)命題真假的判斷，主要綜合考查線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、異面直線所成的角以及空間想象能力與抽象思維能力，屬于難題. 這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R(shí)點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡(jiǎn)單的自己已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.14.答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】先求得斜率，然后求得傾斜角，根據(jù)縱截距的求法求得縱截距.【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為.令，得到，所以縱截距為.故答案為：；15. 答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】設(shè)在直線上，由計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得直線的斜率和方程.【詳解】設(shè)在直線上，且，即，即，所以.故.所以直線的斜率為，直線的方程為，即.故答案為：；16. 答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】由得，，從而可求出，再利用余弦的二倍角公式可求出【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，，且，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，故答案為：，17. 答案】【解析】【分析】求出向量，利用平面的一個(gè)法向量是，通過(guò)向量的數(shù)量積為0，求解即可【詳解】解：由題意可知，，因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量是，所以，所以，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程為，故答案為：18. 答案】②③④【解析】【分析】先求得，然后利用代入法判斷①②，根據(jù)單調(diào)區(qū)間和最值的求法判斷③④.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)，，所以①錯(cuò)誤.，所以②正確.由，解得，.令得，所以在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，即③正確.由得，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，所以④正確.故答案為：②③④【點(diǎn)睛】解決有關(guān)三角函數(shù)對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的問(wèn)題，可以考慮代入驗(yàn)證法.考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，可以考慮整體代入法.19.答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式求得.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得所求的最大值的取值范圍.【詳解】（1）.（2），，令，畫出圖象如下圖所示，區(qū)間的長(zhǎng)度為，且，將兩條直線組合在一起，從其開始向右平移，到時(shí)停止.通過(guò)觀察可知區(qū)間上，的最大值的取值范圍是.故答案為：；【點(diǎn)睛】將表示為分段函數(shù)的形式并畫出圖象，是解決本題的關(guān)鍵.利用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究函數(shù)圖象，對(duì)能力要求較高.20. 答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因?yàn)?/span>，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進(jìn)而，所以.【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.21. 答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，然后求得.（2）根據(jù)求得的最小正周期.（3）利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1），所以.（2）的最小正周期為（3）由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要先將函數(shù)解析式化為的形式，然后利用整體代入法求得單調(diào)區(qū)間.22. 答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由證得.（2）利用直線和直線的方向向量，求得直線和所成角的余弦值，由此求得該角的大小.（3）利用直線的方向向量和平面的法向量，求得直線和平面所成角的正弦值，進(jìn)而求得該角的大小.【詳解】（1）由于三棱柱是直三棱柱，所以平面，所以，依題意可知.以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，則，所以，所以.（2），設(shè)直線和所成角為，則，由于，所以.（3），設(shè)平面的法向量為，則，令可得.設(shè)直線和平面所成角為，則，由于，所以.【點(diǎn)睛】要證明線線垂直，可以利用這兩條直線的方向向量的數(shù)量積為來(lái)證明.23. 答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，且，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）通過(guò)三角形的中位線以及線面平行的判定定理，證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式計(jì)算點(diǎn)到平面的距離.（3）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二面角為列方程，解方程求得.【詳解】（1）連接交于，連接，根據(jù)柱體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以，因?yàn)槊?/span>面，面面，所以平面，則.因?yàn)?/span>，，在三角形中由余弦定理得，所以，所以.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則..設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故.設(shè)到平面的距離為，則.（3）假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使二面角為.設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，則，令則，所以.由于平面，所以，是平面的一個(gè)法向量，所以，解得（負(fù)根舍去）.所以在線段上存在一點(diǎn)，使二面角為，且.【點(diǎn)睛】證明線面平行的方法主要是通過(guò)線線平行來(lái)證明，求點(diǎn)面距可以考慮向量法來(lái)計(jì)算.24. 答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）詳見(jiàn)解析；（ii）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（Ⅰ）列出所有整點(diǎn)后可得的所有可能值.（Ⅱ）對(duì)于（i），可用反證法，對(duì)于（ii），可設(shè)直線上選擇了個(gè)的點(diǎn)，計(jì)算可得諸直線上不同兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和的不同個(gè)數(shù)的最小值為，結(jié)合中任意不同兩項(xiàng)之和的不同的值恰有個(gè)可得至少有一個(gè)和出現(xiàn)兩次，從而可證結(jié)論成立.【詳解】解:（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，4個(gè)整點(diǎn)分別為.所以的所有可能值.                                      （Ⅱ）（i）假設(shè)不存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足.即在直線中至多有一條直線上取多于1個(gè)整點(diǎn)，其余每條直線上至多取一個(gè)整點(diǎn)， 此時(shí)符合條件的整點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為.而，與已知矛盾.故存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿足.（ii）設(shè)直線上有個(gè)選定的點(diǎn).若，設(shè)上的這個(gè)選定的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且滿足.由，知中任意不同兩項(xiàng)之和至少有個(gè)不同的值，這對(duì)于也成立.由于中任意不同兩項(xiàng)之和的不同的值恰有個(gè)，而,可知存在四個(gè)不同的點(diǎn)，滿足.【點(diǎn)睛】本題考查集合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題，對(duì)于存在性問(wèn)題，可從反面討論或從不同和的個(gè)數(shù)切入，本題類似于組合數(shù)學(xué)的抽屜原理，本題競(jìng)賽味濃烈，屬于難題. 

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