?專題06 極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題
【考點(diǎn)預(yù)測】
1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念
所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往．如下圖所示．

圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移
極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏．
2、對(duì)稱變換
主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：（1）定函數(shù)（極值點(diǎn)為），即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0．
（2）構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，若證，則令．
（3）判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．
（4）比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．
（5）轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．
【注意】若要證明的符號(hào)問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．
3、應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；
②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對(duì)數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題．
4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可．
【典型例題】
例1．（2023春·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【解析】(1)的定義域?yàn)椋?br /> 由得，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br /> 于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因?yàn)?，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以，?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> 即．
因?yàn)?，所以，即?br /> 綜上，有結(jié)論得證．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識(shí)和技能.
方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.
例2．（2023春·山東威?！じ叨？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：.
【解析】（1），.
①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，由得，，單調(diào)遞增，
由得，，單調(diào)遞減.
綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）∵在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，不妨設(shè)，
∴在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
令，，∴，
由得，，單調(diào)遞減，由得，，單調(diào)遞增，
，，，，
∴
要證，即證，又∵，
只要證，即證，
∵，即證
即證，即證，即證
令，，∴，
令，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，∴，∴，∴
∴在上遞增，∴，∴
∴.
例3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)、．
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②求證：．
【解析】（1），
令，，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）（i），
要使在上有兩個(gè)極值點(diǎn)、，
則在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
①時(shí)，由（1）知，，
令，故，
所以在上為增函數(shù)，所以，故，
故在上無零點(diǎn)，舍；
②當(dāng)時(shí)，，，，
則在上單調(diào)遞減，故最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；
③當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即要使，解得.
綜上所述，的取值范圍為；
（ii）由（i）知，，，
先證不等式，其中，
即證，即，
令，即證，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，
由已知可得，故，
所以，則，所以，，
因此，.
例4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)．
（1）若為定義域上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，，，為的極小值，求證：．
【解析】（1）由得：．
為上的增函數(shù)，在上恒成立，
即，
令，則，
在上單調(diào)遞減，，即，
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）當(dāng)時(shí)，，則，
，在上單調(diào)遞增，
又，，
，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則為的極小值.
設(shè)，，，，
設(shè)，
，．
，，又，，
在上單調(diào)遞增，
，
，在上單調(diào)遞增，
，

，，，
又在上單調(diào)遞減，，即.
例5．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
（1）若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求的最小值；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)分別是，，證明：．
【解析】（1）定義域?yàn)?，?br /> 在定義域內(nèi)是減函數(shù)，在上恒成立，
即，，
令，則，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，解得：，
的最小值為.
（2）由（1）知：若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則；
令，則，
令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，則；
令，
則，
在上單調(diào)遞增，，
，即，
又，，
，，
又，在上單調(diào)遞增，
，即.
例6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．
(2)若，求證：．
【解析】（1）定義域?yàn)?，?br /> 令，解得：或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
的極大值為，極小值為.
（2）由（1）知：，，．
令，，
則；
令，則；
令，則，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，
對(duì)任意恒成立．
，，又，，
在上單調(diào)遞增，，，即；
令，，
則；
在上單調(diào)遞增，，
在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
，對(duì)任意恒成立．
，．又，，
在上單調(diào)遞增，且，，；
由得：，，.
例7．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)當(dāng)時(shí)，恰好存在一條過原點(diǎn)的直線與，都相切，求b的值；
(2)若，方程有兩個(gè)根，（），求證：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，故切線斜率為1，則切線方程為.
又，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，又切線斜率為1，則
；
（2）當(dāng)時(shí)，，
則由題可得有兩個(gè)根，
令，則可得方程有兩個(gè)根，
則.令，，則，
.注意到，
則構(gòu)造函數(shù)，.
因，則在上單調(diào)遞增，得
.
故命題得證.
例8．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)
(1)若時(shí)，求的最值；
(2)若函數(shù)，且為的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：
【解析】（1），，，，
所以當(dāng)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增.
所以在處有唯一極小值，即最小值，為，無極大值，即無最大值.
（2）證明：，令
因?yàn)?，所以單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，所以.
因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以，且.
所以在、，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減；
因?yàn)?，則，則，
設(shè)，則，
所以在單調(diào)遞減，所以，
所以，因?yàn)樵?，單調(diào)遞減，所以.
所以要證，只需證，即，
令，
令.
所以在單調(diào)遞增，，
所以在單調(diào)遞增，，
所以，即.
【過關(guān)測試】
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
【解析】（1），
該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由，
所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
由，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
如下圖所示：

所以要想有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需，即的取值范圍為；
（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以，由（1）可知：，不妨設(shè)，
要證明，只需證明，顯然，
由（2）可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以只需證明，
而，所以證明即可，
即證明函數(shù)在時(shí)恒成立，
由，
顯然當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，因此命題得以證明.
2．（2023春·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）函數(shù)的定義域是.
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，無最大值；
當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
．
（2），
因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)零點(diǎn)，
所以，不妨設(shè)．
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
又證明等價(jià)于證明，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
因此證明原不等式等價(jià)于證明，即要證明，
即要證明，
即恒成立．
令，
則，
所以在上為減函數(shù)，
所以，
即在時(shí)恒成立，
因此不等式恒成立，
即．
3．（2023秋·福建福州·高二福州三中?？计谀┮阎瘮?shù)（）．
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：．
【解析】（1）由已知，的定義域?yàn)椋?br /> ①當(dāng)時(shí)，，恒成立，
∴此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），
則由（1）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需證明，即有.
下面證明，
設(shè)
，，
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，
∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命題得證.
4．（2023秋·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（）．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br />
當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
???????????當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)榉匠檀嬖趦蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
因此不為單調(diào)函數(shù)，所以，
令，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值，
，令，，
，
在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，
，，

，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，、
，.
5．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，不合乎題意，所以，，
由可得，
構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
，由可得，列表如下：









增
極大值
減
所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：

且當(dāng)時(shí)，，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）證明：因?yàn)椋瑒t，
令，其中，則有，
，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根、，令，，
則關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，
要證，即證，即證，即證，
由已知，所以，，整理可得，
不妨設(shè)，即證，即證，
令，即證，其中，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立.
6．（2023秋·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)證明：若，則；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．
【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以等價(jià)于．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故．
因?yàn)?，所以，于是?br /> （2）不妨設(shè)，由（1）可知，也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，于是，由于在單調(diào)遞減，故等價(jià)于．
而，故等價(jià)于．①
設(shè)，則①式為．
因?yàn)椋?br /> 設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，
所以，從而，因此在單調(diào)遞增．
又，故，故，于是．
7．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；
時(shí)，令得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：時(shí)，由（1）知至多有一個(gè)零點(diǎn).
時(shí)，由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，即，故沒有零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，即，
又，
由（1）知在上有一個(gè)零點(diǎn).
又，
由（1）知在有一個(gè)零點(diǎn)，
所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為
不妨設(shè)，則，且，
令

，
則，
由于（且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上單調(diào)遞增，
所以即.
8．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且
(1)求實(shí)數(shù)的值
(2)若關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，求證：．
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
所以，不滿足題意．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，不滿足題意．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，不滿足題意．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以
綜上可知：．
（2）因?yàn)椋裕?br /> 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以．
要證，即證．
因?yàn)?，，所以即證，
因?yàn)?，所以即證
設(shè)，
則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以．
綜上可知，原命題得證．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，求證：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，令，即，解得：.
令，解得：；令，解得：；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
②當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，都有，即，
亦即對(duì)恒成立.
令，只需.
.
令，則，所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單增，所以，
所以當(dāng)時(shí)，.
所以，所以在上單減，
所以.
所以.
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）可化為：.
令，上式即為.
由（1）可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則為的兩根，其中.
不妨設(shè)，要證，只需，即，
只需證.
令.
則
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
由零點(diǎn)存在定理可得：存在，使得.
當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減；
又，所以.
.
因?yàn)椋?，
所以.
所以恒成立.
所以.
所以.
所以
即證.
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若存在，，使得，則．
【解析】（1），，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
所以，要使，則有，而，故，
所以的取值范圍為．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
設(shè)，所以，，
①若，則，成立；
②若，先證，此時(shí)，
要證，即證，即，，
令，，

，
所以在(1,2)上單調(diào)遞增，所以，
即，，所以，
因?yàn)椋?，所以?br /> 即．
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，其極小值為-4.
(1)求的值；
(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求證：.
【解析】（1）因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，，
所以單調(diào)遞增，沒有極值，舍去.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的極小值為，舍去
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的極小值為.
所以.
（2）由（1）知，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
所以不妨設(shè).
下面先證.
即證，因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)閰^(qū)間上，單調(diào)遞減，
只要證，又因?yàn)椋?br /> 只要證，只要證.
設(shè)，
則，
所以單調(diào)遞增，
所以，所以.
下面證.
設(shè)，因?yàn)椋?br /> 在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.
設(shè)，，因?yàn)椋?br /> 所以，所以.
設(shè)，，因?yàn)椋?br /> 所以，所以.
因?yàn)椋裕?br /> 所以.
12．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期末）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
【解析】（1）由于，則.
設(shè)，則，令，解得.
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以
①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)、，不妨設(shè)，則,
所以函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的范圍時(shí).
（2）由（1）知，、為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減.
下面先證，只需證.
由于，所以，
所以.
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，，
所以.
由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.
要證，只需證，即證.
設(shè)函數(shù),則.
設(shè)，則,
所以在上單調(diào)遞增，，即.
所以在上單調(diào)遞增，.
故當(dāng)時(shí)，,則,
所以,即
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
①求的取值范圍；
②求證：．
【解析】（1）定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）①若是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
由（1）知：，又，
在的圖象如下圖所示，

由圖象可知：，，即的取值范圍為.
②不妨設(shè)，由①知：，
，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，，，
又，，又，；
，，在上單調(diào)遞增，
，則.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，．
(1)若在x＝0處的切線與在x＝1處的切線相同，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)令，直線y＝m與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，證明：．
【解析】（1），．，，1－a＝a－1，a＝1．
檢驗(yàn)a＝1時(shí)兩個(gè)函數(shù)切線方程都是y＝1．
（2），x＞0，令，則，
∴在遞增，，，
因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)不間斷，所以存在唯一實(shí)數(shù)，
，，從而在遞減，遞增．
不妨設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)，則，，在遞增，
，
令，，
令，，
令，，
，在遞減，
因?yàn)?，，，在遞增，
，所以在遞減，
所以，
即，即，
因?yàn)?，，在遞增，
所以，所以．綜上可得，．
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求在上的最小值.
(2)設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
【解析】（1），
令，，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，；
又當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
.
（2）由題意得：，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
有兩個(gè)零點(diǎn)，，；
要證，只需證，
又，，在上單調(diào)遞減，只需證，
又，只需證，
即證：；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，，
；
由（1）知：，成立，
綜上所述：.
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.
【解析】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在遞增，在遞減，則，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在遞增，在遞減.
又∵，，，，且，.
要證，即證.
∵，∴，
又∵，∴只證即可.
令，，
恒成立，
∴在單調(diào)遞增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
17．（2023秋·江蘇南京·高三南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若，且，證明: .
【解析】（1）??
當(dāng)時(shí)，， ， 所以單調(diào)遞增；， ， 所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，， 所以單調(diào)遞減；， 所以單調(diào)遞增；
（2）證明：
， ∴ ，
即當(dāng)時(shí)，
由（1）可知，此時(shí)是的極大值點(diǎn)，因此不妨令
要證，即證：
①當(dāng)時(shí)，成立；
②當(dāng)時(shí)
先證
此時(shí)??
要證，即證：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增
∴，∴①式得證.
∴
∵，
∴??∴???∴
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若時(shí)，，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．
【解析】（1）∵， ，∴，
設(shè) ，，
當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，與已知矛盾．
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿足條件；
綜上，取值范圍是．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，則，要證，只需證，
∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴只需證，
∵，∴只需證．
設(shè)，則，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即成立，
∴．
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且．求證：
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?，即，不符合題意；??????????
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．??????????
所以．??????????
由恒成立可知，所以．??????????
又因?yàn)?，所以的取值范圍為?br /> （2）因?yàn)?，所以，即?br /> 令，由題意可知，存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，，使得．??????????
由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
不妨設(shè)，則．
設(shè)，??????????
則，
所以在上單調(diào)遞增，??????????
所以，即在區(qū)間上恒成立．
因?yàn)?，所以??????????
因?yàn)?，所以??????????
又因?yàn)?，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即．

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